Baldosas de dominó

En geometría , un recubrimiento de dominó de una región en el plano euclidiano es una teselación de dicha región mediante dominós , figuras formadas por la unión de dos cuadrados unitarios que se encuentran uno junto al otro. De forma equivalente, es un emparejamiento perfecto en la cuadrícula formada al colocar un vértice en el centro de cada cuadrado de la región y conectar dos vértices cuando corresponden a cuadrados adyacentes.

Para algunas clases de teselaciones en una cuadrícula regular en dos dimensiones, es posible definir una función de altura que asocie un número entero a los vértices de la cuadrícula. Por ejemplo, dibujar un tablero de ajedrez, fijar un nodo${\displaystyle A_{0}}$con altura 0, entonces para cualquier nodo hay un camino desde${\displaystyle A_{0}}$a ello. En esta ruta define la altura de cada nodo.${\displaystyle A_{n+1}}$(es decir, las esquinas de los cuadrados) deben tener la altura del nodo anterior.${\displaystyle A_{n}}$más uno si el cuadrado a la derecha del camino desde${\displaystyle A_{n}}$a${\displaystyle A_{n+1}}$es negro, y menos uno en caso contrario.

Se pueden encontrar más detalles en Kenyon y Okounkov (2005) .

William Thurston ( 1990 ) describe una prueba para determinar si una región simplemente conexa, formada como la unión de cuadrados unitarios en el plano, tiene un recubrimiento de dominó. Forma un grafo no dirigido que tiene como vértices los puntos ( x , y , z ) en la red entera tridimensional , donde cada uno de esos puntos está conectado a cuatro vecinos: si x + y es par, entonces ( x , y , z ) está conectado a ( x + 1, y , z + 1), ( x − 1, y , z + 1), ( x , y + 1, z − 1) y ( x , y − 1, z − 1), mientras que si x + y es impar, entonces ( x , y , z ) está conectado a ( x + 1, y , z − 1), ( x − 1, y , z − 1), ( x , y + 1, z + 1) y ( x , y − 1, z + 1). El límite de la región, visto como una secuencia de puntos enteros en el plano ( x , y ), se eleva de forma única (una vez elegida una altura inicial) a una trayectoria en este gráfico tridimensional . Una condición necesaria para que esta región sea teselada es que esta trayectoria se cierre formando una curva cerrada simple en tres dimensiones; sin embargo, esta condición no es suficiente. Mediante un análisis más detallado de la trayectoria límite, Thurston propuso un criterio para la teselación de una región que era suficiente y necesario a la vez.                                     

El número de maneras de cubrir un${\displaystyle m\times n}$rectángulo con${\displaystyle {\frac {mn}{2}}}$El número de fichas de dominó, calculado independientemente por Temperley y Fisher (1961) y Kasteleyn (1961) , viene dado por $${\displaystyle \prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right)}$$(secuencia A099390 en el OEIS ) .

Cuando tanto m como n son impares, la fórmula se reduce correctamente a cero posibles teselaciones de dominó.

Se produce un caso especial al colocar baldosas${\displaystyle 2\times n}$Rectángulo con n fichas de dominó: la secuencia se reduce a la secuencia de Fibonacci . ^{[ 1 ]}

Otro caso especial ocurre para cuadrados con m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... es

Estos números se pueden encontrar escribiéndolos como el Pfaffiano de un${\displaystyle mn\times mn}$Matriz antisimétrica cuyos valores propios pueden hallarse explícitamente. Esta técnica puede aplicarse en diversas áreas relacionadas con las matemáticas, por ejemplo, en el cálculo clásico bidimensional de la función de correlación dímero-dímero en mecánica estadística .

El número de teselaciones de una región es muy sensible a las condiciones de contorno y puede cambiar drásticamente con cambios aparentemente insignificantes en la forma de la región. Esto se ilustra con el número de teselaciones de un diamante azteca de orden n , donde el número de teselaciones es 2 ^{( n  +  1) n /2} . Si esto se reemplaza por el "diamante azteca aumentado" de orden n con 3 filas largas en el medio en lugar de 2, el número de teselaciones se reduce al número mucho menor D( n , n ), un número de Delannoy , que tiene un crecimiento exponencial en lugar de superexponencial en n . Para el "diamante azteca reducido" de orden n con solo una fila central larga, hay solo una teselación.

• 
  Un diamante azteca de orden 4, que tiene 1024 fichas de dominó.
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  Un posible revestimiento

Los tatamis son esteras japonesas con forma de dominó (rectángulo de 1x2). Se utilizan para revestir habitaciones, pero con reglas adicionales sobre su colocación. En particular, las uniones donde se encuentran tres tatamis se consideran de buen augurio, mientras que las uniones donde se encuentran cuatro son de mal augurio; por lo tanto, un revestimiento de tatami adecuado es aquel donde solo tres tatamis se encuentran en cualquier esquina. ^{[ 2 ]} El problema de revestir una habitación irregular con tatamis que se encuentran de tres en tres en una esquina es NP-completo . ^{[ 3 ]}

There is a one-to-one correspondence between a periodic domino tiling and a ground state configuration of the fully frustrated Ising model on a two-dimensional periodic lattice.^[4] At the ground state, each plaquette of the spin model must contain exactly one frustrated interaction. Therefore, viewing from the dual lattice, each frustrated edge must be "covered" by a 1x2 rectangle, such that the rectangles span the entire lattice and do not overlap, or a domino tiling of the dual lattice.

• Gaussian free field, the scaling limit of the height function in the generic situation (e.g., inside the inscribed disk of a large Aztec diamond)
• Mutilated chessboard problem, a puzzle concerning domino tiling of a 62-square area of a standard 8×8 chessboard (or checkerboard)
• Statistical mechanics