Teorema de Dini

En el campo matemático del análisis , el teorema de Dini establece que si una sucesión monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y si la función límite también es continua, entonces la convergencia es uniforme. ^{[ 1 ]} El teorema lleva el nombre de Ulisse Dini . ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico compacto y${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una secuencia monótonamente creciente (lo que significa${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle x\in X}$) de funciones continuas de valor real en${\displaystyle X}$que converge puntualmente a una función continua${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, entonces la convergencia es uniforme . La misma conclusión se cumple si${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es monótonamente decreciente en lugar de creciente.

Esta es una de las pocas situaciones en matemáticas donde la convergencia puntual implica convergencia uniforme; la clave es el mayor control que implica la monotonicidad. La función límite debe ser continua, ya que un límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo. La continuidad de la función límite no puede inferirse de la otra hipótesis (considere${\displaystyle x^{n}}$en${\displaystyle [0,1]}$.)

Dejar${\displaystyle \varepsilon >0}$ser dado. Por cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dejar${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}$y dejar${\displaystyle E_{n}}$ser el conjunto de esos${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle g_{n}(x)<\varepsilon }$. Cada${\displaystyle g_{n}}$es continuo, y por lo tanto cada${\displaystyle E_{n}}$está abierto (porque cada${\displaystyle E_{n}}$es la preimagen del conjunto abierto${\displaystyle (-\infty,\varepsilon)}$bajo${\displaystyle g_{n}}$, una función continua). Dado que${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es monótonamente creciente,${\displaystyle (g_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es monótonamente decreciente, por lo tanto, la secuencia${\displaystyle E_{n}}$es ascendente (es decir${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$). Desde${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$converge puntualmente a${\displaystyle f}$De ello se deduce que la colección${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una cubierta abierta de${\displaystyle X}$. Por compacidad, existe una subcubierta finita, y dado que${\displaystyle E_{n}}$son ascendentes el mayor de estos también es una cubierta. Por lo tanto obtenemos que hay algún entero positivo${\displaystyle N}$de tal manera que ${\displaystyle E_{N}=X}$. Es decir, si${\displaystyle n>N}$y${\displaystyle x}$es un punto en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$, según se desee.

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• Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2.
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• Friedman, Avner (2007) [1971]. Cálculo avanzado . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6.
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• Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008) [2001]. Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.