materia de Dirac

La definición general de materia de Dirac es un sistema de materia condensada donde las excitaciones de cuasipartículas pueden describirse en el espaciotiempo curvo mediante la ecuación generalizada de Dirac:

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }d_{\mu }(p)-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

En la definición anterior${\displaystyle d_{\mu }}$denota un vector covariante que depende de la${\displaystyle (d+1)}$momento dimensional${\displaystyle p}$(${\displaystyle d}$espacio${\displaystyle +1}$dimensión temporal),${\displaystyle e_{a}^{\mu }}$es el vierbein que describe la curvatura del espacio,${\displaystyle m}$la masa de cuasipartícula y${\displaystyle v_{\rm {D}}}$la velocidad de Dirac. Nótese que, dado que en la materia de Dirac la ecuación de Dirac proporciona la teoría efectiva de las cuasipartículas, la energía del término de masa es${\displaystyle mv_{\rm {D}}^{2}}$, no la masa en reposo${\displaystyle mc^{2}}$de una partícula masiva .${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$se refiere a un conjunto de matrices de Dirac , donde la definición para la construcción viene dada por la relación de anticonmutación,

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }I_{d}.}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$es la métrica de Minkowski con signatura (+ - - -) y${\displaystyle I_{d}}$es el${\displaystyle d\times d}$Matriz unitaria de dimensión . En todas las ecuaciones, suma implícita sobre${\displaystyle a}$y${\displaystyle \mu }$se utiliza ( convención de Einstein ). Además,${\displaystyle \Psi }$es la función de onda . La característica unificadora de toda la materia de Dirac es la estructura matricial de la ecuación que describe las excitaciones de cuasipartículas.

En el límite donde${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$, es decir, la derivada covariante , se obtiene la materia de Dirac convencional. Sin embargo, esta definición general permite la descripción de la materia con relaciones de dispersión de orden superior y en el espaciotiempo curvo siempre que el hamiltoniano efectivo exhiba la estructura matricial específica de la ecuación de Dirac .

La mayoría de las realizaciones experimentales de materia de Dirac hasta la fecha se encuentran en el límite de${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$lo que define, por lo tanto, la materia de Dirac convencional en la que las cuasipartículas se describen mediante la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo ,

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }D_{\mu }-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

Aquí,${\displaystyle D_{\mu }}$denota la derivada covariante . Como ejemplo, para la métrica plana, la energía de una partícula de Dirac libre difiere significativamente de la energía cinética clásica , donde la energía es proporcional al cuadrado del momento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Free~Dirac~particle:\;} E&=\pm {\sqrt {\hbar ^{2}v_{\rm {D}}^{2}\mathbf {k} ^{2}+m^{2}c^{4}}}\\\mathrm {Kinetic\;energy:\;} E&={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2}}={\frac {|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}.\end{aligned}}}$

La velocidad de Dirac${\displaystyle v_{\rm {D}}}$da el gradiente de la${\displaystyle E-k}$dispersión a grandes momentos${\displaystyle k}$,${\displaystyle m}$es la masa de la partícula u objeto. En el caso de la materia de Dirac sin masa, como las cuasipartículas fermiónicas en el grafeno o los semimetales de Weyl , la relación energía-momento es lineal,

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=\hbar v_{\rm {D}}|\mathbf {k} |}$

Por lo tanto, la materia de Dirac convencional incluye todos los sistemas que tienen un cruce lineal o un comportamiento lineal en alguna región de la relación energía-momento. Se caracterizan por rasgos que se asemejan a una 'X', a veces inclinada o sesgada y a veces con un espacio entre la parte superior${\displaystyle \vee }$y menor${\displaystyle \wedge }$partes (cuyos puntos de inflexión se vuelven redondeados si el origen de la brecha es un término de masa).

En las siguientes secciones se analizan las características generales y algunos ejemplos específicos de la materia de Dirac convencional.

La materia de Dirac, especialmente la materia de Dirac fermiónica, tiene un gran potencial para aplicaciones tecnológicas. Por ejemplo, el Premio Nobel de Física de 2010 fue otorgado a Andre Geim y Konstantin Novoselov "por experimentos innovadores relacionados con el material grafeno". En el comunicado de prensa oficial de la Real Academia Sueca de Ciencias se afirma que ^{[ 6 ]}

[...] Ahora parece posible una gran variedad de aplicaciones prácticas, incluyendo la creación de nuevos materiales y la fabricación de electrónica innovadora. Se prevé que los transistores de grafeno sean sustancialmente más rápidos que los transistores de silicio actuales y que den como resultado ordenadores más eficientes.

En general, las propiedades de la materia de Dirac fermiónica sin masa pueden controlarse modificando el potencial químico mediante dopaje o en un sistema de efecto de campo . Al ajustar el potencial químico , es posible controlar con precisión el número de estados presentes, ya que la densidad de estados varía de forma definida con la energía.

Además, dependiendo de la realización específica del material de Dirac, puede ser posible introducir un término de masa.${\displaystyle m}$Esto abre una brecha en el espectro: una banda prohibida . En general, el término de masa es el resultado de romper una simetría específica del sistema. El tamaño de la banda prohibida se puede controlar con precisión controlando la intensidad del término de masa.

La densidad de estados de${\displaystyle d}$La materia de Dirac de -dimensiones cerca del punto de Dirac escala como${\displaystyle N(\epsilon )\propto |\epsilon |^{d-1}}$dónde${\displaystyle \epsilon }$es la energía de la partícula. ^{[ 7 ]} La densidad de estados evanescente para cuasipartículas en materia de Dirac imita la física de semimetales para la dimensión física.${\displaystyle d>1}$En los sistemas bidimensionales como el grafeno y los aislantes topológicos, la densidad de estados presenta una forma de V, en comparación con el valor constante para partículas masivas con dispersión.${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$.

La medición experimental de la densidad de estados cerca del punto de Dirac mediante técnicas estándar como la microscopía de efecto túnel de barrido a menudo difiere de la forma teórica debido a los efectos del desorden y las interacciones. ^{[ 8 ]}

El calor específico, la capacidad calorífica por unidad de masa, describe la energía necesaria para cambiar la temperatura de una muestra. El calor específico electrónico a baja temperatura de la materia de Dirac es${\displaystyle C(T\to 0)\sim T^{d}}$lo cual es diferente de${\displaystyle C(T\to 0)\sim T}$encontrado para metales normales. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, para sistemas cuya dimensión física es mayor que 1, el calor específico puede proporcionar una señal clara de la naturaleza de Dirac subyacente de las cuasipartículas.

La cuantización de Landau se refiere a la cuantización de las órbitas ciclotrónicas de partículas cargadas en campos magnéticos. Como resultado, las partículas cargadas solo pueden ocupar órbitas con valores de energía discretos, llamados niveles de Landau. Para sistemas bidimensionales con un campo magnético perpendicular, la energía de los niveles de Landau para la materia ordinaria descrita por la ecuación de Schrödinger y la materia de Dirac viene dada por ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ordinary\;matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\\\mathrm {Dirac\;Matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}{\sqrt {|n|}}.\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle \omega _{c}}$es la frecuencia ciclotrónica que depende linealmente del campo magnético aplicado y de la carga de la partícula. Hay dos características distintas entre la cuantización del nivel de Landau para fermiones de Schrödinger 2D (materia ordinaria) y fermiones de Dirac 2D. Primero, la energía para los fermiones de Schrödinger depende linealmente con respecto al número cuántico entero${\displaystyle n}$, mientras que exhibe una dependencia de raíz cuadrada para los fermiones de Dirac. Esta diferencia clave juega un papel importante en la verificación experimental de la materia de Dirac. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Además, para${\displaystyle n=0}$Existe un nivel de energía 0 para los fermiones de Dirac que es independiente de la frecuencia ciclotrónica.${\displaystyle \omega _{c}}$y con la del campo magnético aplicado. Por ejemplo, la existencia del nivel cero de Landau da lugar a un efecto Hall cuántico donde la conductancia Hall está cuantizada en valores semienteros . ^{[ 11 ] [ 7 ]}

El grafeno es un alótropo cristalino bidimensional del carbono , donde los átomos de carbono están dispuestos en una red hexagonal . Cada átomo de carbono forma${\displaystyle \sigma }$-enlaces con los tres átomos vecinos que se encuentran en el plano del grafeno en ángulos de 120${\displaystyle ^{\circ }}$Estos enlaces están mediados por tres de los cuatro electrones del carbono , mientras que el cuarto electrón, que ocupa un${\displaystyle \mathrm {p} _{z}}$El orbital media un enlace π fuera del plano que conduce a las bandas electrónicas en el nivel de Fermi . Las propiedades de transporte únicas y el estado semimetálico del grafeno son el resultado de los electrones deslocalizados que ocupan estos orbitales p _{z .} ^{[ 12 ]}

El estado semimetálico corresponde a un cruce lineal de bandas de energía en el${\displaystyle K}$y${\displaystyle K'}$puntos de la zona de Brillouin hexagonal del grafeno . En estos dos puntos, la estructura electrónica puede describirse eficazmente mediante el hamiltoniano.

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}\right).}$

Aquí,${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{y}}$son dos de las tres matrices de Pauli . El factor${\displaystyle \tau =+/-}$indica si el hamiltoniano descrito está centrado en el${\displaystyle K}$o${\displaystyle K'}$valle en la esquina de la zona de Brillouin hexagonal . Para el grafeno, la velocidad de Dirac es aproximadamente${\displaystyle \hbar v_{\rm {D}}\approx 5.8}$eV${\displaystyle \mathrm {\AA} }$. ^{[ 12 ]} Se puede obtener una brecha de energía en la dispersión del grafeno a partir de un hamiltoniano de baja energía de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+M\sigma _{z},\end{aligned}}}$

que ahora contiene un término masivo${\displaystyle M}$. Hay varias formas distintas de introducir un término de masa, y los resultados tienen características diferentes. ^{[ 13 ] [ 14 ]} El enfoque más práctico para crear una brecha (introduciendo un término de masa) es romper la simetría de la subred de la red donde cada átomo de carbono es ligeramente diferente a su vecino más cercano pero idéntico a sus vecinos más próximos; un efecto que puede resultar de efectos del sustrato.

Un aislante topológico es un material que se comporta como un aislante en su interior (volumen) pero cuya superficie contiene estados conductores. Esta propiedad representa un orden topológico no trivial, protegido por simetría . En consecuencia, los electrones en los aislantes topológicos solo pueden moverse a lo largo de la superficie del material. En el volumen de un aislante topológico no interactuante, el nivel de Fermi se sitúa dentro de la brecha entre las bandas de conducción y de valencia . En la superficie, existen estados especiales dentro de la brecha de energía del volumen que pueden describirse eficazmente mediante un hamiltoniano de Dirac:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\mathbf {k} \times {\boldsymbol {\sigma }})\cdot {\hat {\mathbf {z} }}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$es normal a la superficie y${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }}$está en la base de espín real . Sin embargo, si rotamos el espín mediante un operador unitario ,${\displaystyle U={\rm {diag}}[1,i]}$, terminaremos con la notación estándar del hamiltoniano de Dirac,${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {k} }}$. En experimentos se observaron conos de Dirac de este tipo que emergen en la superficie de cristales tridimensionales, por ejemplo: seleniuro de bismuto (Bi${\displaystyle _{2}}$Se${\displaystyle _{3}}$), ^{[ 15 ] [ 16 ]} telururo de estaño (SnTe) ^{[ 17 ]} y muchos otros materiales. ^{[ 18 ]}

Las propiedades de baja energía de algunas monocapas de dicalcogenuros de metales de transición semiconductores pueden describirse mediante un hamiltoniano de Dirac masivo bidimensional (con brecha) con un término adicional que describe un fuerte acoplamiento espín-órbita : ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+\Delta \sigma _{z}+\lambda (1-\sigma _{z})\tau s+(\alpha +\beta \sigma _{z})(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}).\end{aligned}}}$

El acoplamiento espín-órbita${\displaystyle \lambda }$proporciona una gran división de espín en la banda de valencia y${\displaystyle s}$indica el grado de libertad de espín . En cuanto al grafeno,${\displaystyle \tau }$le da al valle grado de libertad -ya sea cerca del${\displaystyle K}$o${\displaystyle K^{\prime }}$punto de la zona de Brillouin hexagonal. Las monocapas de dicalcogenuros de metales de transición se discuten a menudo en referencia a posibles aplicaciones en valletrónica .

Semimetales de Weyl , por ejemplo arseniuro de tantalio (TaAs) y materiales relacionados, ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} siliciuro de estroncio (SrSi${\displaystyle _{2}}$) ^{[ 29 ]} tienen un hamiltoniano muy similar al del grafeno, pero ahora incluye las tres matrices de Pauli y los cruces lineales ocurren en 3D:

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}+k_{z}\sigma _{z}).}$

Dado que las tres matrices de Pauli están presentes, no hay ninguna otra matriz de Pauli que pueda abrir una brecha en el espectro y, por lo tanto, los puntos de Weyl están protegidos topológicamente . ^{[ 7 ]} La inclinación de los conos lineales de modo que varíe la velocidad de Dirac conduce a semimetales de Weyl de tipo II. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Una característica distintiva y experimentalmente observable de los semimetales de Weyl es que los estados superficiales forman arcos de Fermi ya que la superficie de Fermi no forma un bucle cerrado.

Si bien la ecuación de Weyl se derivó originalmente para dimensiones espaciales impares, la generalización de un estado fermiónico de Weyl tridimensional en dos dimensiones conduce a un estado topológico de la materia distinto, denominado semimetal de Weyl bidimensional. Los semimetales de Weyl bidimensionales son análogos polarizados por espín del grafeno que prometen acceso a las propiedades topológicas de los fermiones de Weyl en el espaciotiempo de (2+1) dimensiones. En 2024, se descubrió un semimetal de Weyl bidimensional intrínseco con conos de Weyl polarizados por espín y cadenas de Fermi topológicas (análogo unidimensional de los arcos de Fermi) en una monocapa epitaxial de bismuteno. ^{[ 32 ]}

En cristales simétricos bajo inversión y reversión temporal , las bandas de energía electrónica presentan una degeneración doble. Esta degeneración se conoce como degeneración de Kramers . Por lo tanto, los semimetales con cruces lineales de dos bandas de energía (degeneración doble) en la energía de Fermi exhiben una degeneración cuádruple en el punto de cruce. El hamiltoniano efectivo para estos estados se puede escribir como

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left({\begin{array}{cc}\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&-\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\end{array}}\right).}$

Esto tiene exactamente la estructura matricial de la materia de Dirac. Ejemplos de semimetales de Dirac realizados experimentalmente son el bismuturo de sodio (Na${\displaystyle _{3}}$Bi) ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} y arseniuro de cadmio (Cd${\displaystyle _{3}}$Como${\displaystyle _{2}}$) ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}