Notación Bra-ket

En matemáticas, el término "vector" se utiliza para un elemento de cualquier espacio vectorial. En física, sin embargo, el término "vector" tiende a referirse casi exclusivamente a cantidades como el desplazamiento o la velocidad , que tienen componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del espacio , o relativísticamente, con las cuatro del espacio-tiempo . Dichos vectores se denotan típicamente con flechas sobre (${\displaystyle {\vec {r}}}$), negrita (${\displaystyle \mathbf {p} }$) o índices (${\displaystyle v^{\mu }}$).

En mecánica cuántica, un estado cuántico se representa típicamente como un elemento de un espacio de Hilbert complejo , por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión infinita de todas las posibles funciones de onda (funciones de cuadrado integrable que asignan a cada punto del espacio 3D un número complejo) o algún espacio de Hilbert más abstracto construido de forma más algebraica. Para distinguir este tipo de vector de los descritos anteriormente, es común y útil en física denotar un elemento${\displaystyle \phi }$de un espacio vectorial complejo abstracto como un ket${\displaystyle |\phi \rangle }$, referirse a él como un "ket" en lugar de como un vector, y pronunciarlo "ket-${\displaystyle \phi }$" o "ket-A" para | A ⟩ .

Símbolos, letras, números o incluso palabras, cualquier cosa que sirva como una etiqueta conveniente, se pueden usar como etiqueta dentro de una bolsa, con el${\displaystyle |\ \rangle }$dejando claro que la etiqueta indica un vector en el espacio vectorial. En otras palabras, el símbolo " | A ⟩ " tiene un significado matemático reconocible en cuanto al tipo de variable que se representa, mientras que la " A " por sí sola no lo tiene. Por ejemplo, | 1 ⟩ + | 2 ⟩ no es necesariamente igual a | 3 ⟩ . Sin embargo, por conveniencia, suele haber algún esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar los eigenkets de energía en mecánica cuántica a través de una lista de sus números cuánticos . En su forma más simple, la etiqueta dentro del ket es el valor propio de un operador físico, como${\displaystyle {\hat {x}}}$,${\displaystyle {\hat {p}}}$,${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, etc.

Dado que los kets son simplemente vectores en un espacio vectorial hermitiano, se pueden manipular utilizando las reglas habituales del álgebra lineal. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Nótese cómo la última línea anterior involucra infinitos kets diferentes, uno para cada número real x .

Dado que el ket es un elemento de un espacio vectorial, un bra${\displaystyle \langle A|}$es un elemento de su espacio dual , es decir, un bra es un funcional lineal que es una aplicación lineal del espacio vectorial a los números complejos. Por lo tanto, es útil pensar en los kets y bras como elementos de diferentes espacios vectoriales (véase más adelante), siendo ambos conceptos útiles distintos.

Un sujetador${\displaystyle \langle \phi |}$y una ket${\displaystyle |\psi \rangle }$(es decir, un funcional y un vector), se pueden combinar en un operador${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$de rango uno con producto externo

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

La notación bra-ket es particularmente útil en espacios de Hilbert que poseen un producto interno ^{[ 5 ]} que permite la conjugación hermitiana y la identificación de un vector con un funcional lineal continuo, es decir, un ket con un bra, y viceversa (véase el teorema de representación de Riesz ). El producto interno en el espacio de Hilbert${\displaystyle (\ ,\ )}$(con el primer argumento antilineal, como prefieren los físicos) es totalmente equivalente a una identificación (antilineal) entre el espacio de kets y el de bras en notación bra-ket: para un vector ket${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$definir un funcional (es decir, sujetador)${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$por

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

La notación Bra-ket se puede utilizar incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert .

En mecánica cuántica, es práctica común escribir kets con norma infinita , es decir, funciones de onda no normalizables . Algunos ejemplos son los estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Dirac u ondas planas infinitas . Técnicamente, estos no pertenecen al espacio de Hilbert propiamente dicho. Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" puede ampliarse para incluir estos estados (véase la construcción de Gelfand-Naimark-Segal o los espacios de Hilbert modificados ). La notación bra-ket sigue funcionando de forma análoga en este contexto más general.

Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio de Banach B , los vectores se pueden denotar con kets y los funcionales lineales continuos con bras. Sobre cualquier espacio vectorial sin una topología dada , también podemos denotar los vectores con kets y los funcionales lineales con bras. En estos contextos más generales, el corchete no tiene el significado de un producto interno, ya que el teorema de representación de Riesz no se aplica.

Componentes discretas A _k de un vector complejo | A ⟩ = Σ _k A _k | e _k ⟩ .

Componentes continuas ψ ( x ) de un vector complejo | ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩ .

Componentes de vectores complejos representadas gráficamente en función del índice; k discreto y x continuo . Se destacan dos componentes particulares de entre un número infinito.

El espacio de Hilbert de una partícula puntual de espín -0 puede representarse en términos de una " base de posición " { | r ⟩ } , donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio de posición . Estos estados satisfacen la ecuación de autovalores para el operador de posición : $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle .}$$ Los estados de posición son " autovectores generalizados ", no elementos del espacio de Hilbert en sí, y no forman una base ortonormal numerable. Sin embargo, como el espacio de Hilbert es separable, admite un subconjunto denso numerable dentro del dominio de definición de sus funciones de onda. Es decir, partiendo de cualquier ket | Ψ ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de r , conocida como función de onda , $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

En el lado izquierdo, Ψ( r ) es una función que asigna a cualquier punto del espacio un número complejo; en el lado derecho, $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$ es un ket que consiste en una superposición de kets con coeficientes relativos especificados por esa función.

Es entonces habitual definir los operadores lineales que actúan sobre las funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre los kets, mediante $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

Por ejemplo, el operador de momento${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$tiene la siguiente representación de coordenadas, $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

Ocasionalmente uno incluso se encuentra con una expresión como${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$, aunque esto es un abuso de notación . El operador diferencial debe entenderse como un operador abstracto, que actúa sobre kets, que tiene el efecto de diferenciar las funciones de onda una vez que la expresión se proyecta sobre la base de posición,${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ aunque, en la base del momento, este operador equivale a un mero operador de multiplicación (por iħ p ). Es decir, $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ o $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

En mecánica cuántica , la expresión ⟨ φ | ψ ⟩ se interpreta típicamente como la amplitud de probabilidad de que el estado ψ colapse en el estado φ . Matemáticamente, esto significa el coeficiente de la proyección de ψ sobre φ . También se describe como la proyección del estado ψ sobre el estado φ .

Una partícula estacionaria de espín 1/2 tiene un espacio de Hilbert bidimensional. Una base ortonormal es: $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ donde | ↑ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de espín S _z igual a + 1 ⁄ 2 y | ↓ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de espín S _z igual a − 1 ⁄ 2 .

Dado que estos son una base, cualquier estado cuántico de la partícula puede expresarse como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica ) de estos dos estados: $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ donde a _ψ y b _ψ son números complejos.

Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert es: $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$ definido en términos de S _x en lugar de S _z .

Nuevamente, cualquier estado de la partícula puede expresarse como una combinación lineal de estos dos: $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

En forma vectorial, podrías escribir $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$ dependiendo de la base que se utilice. En otras palabras, las "coordenadas" de un vector dependen de la base empleada.

Existe una relación matemática entre${\displaystyle a_{\psi }}$,${\displaystyle b_{\psi }}$,${\displaystyle c_{\psi }}$y${\displaystyle d_{\psi }}$; véase cambio de base .

Una causa de confusión es que la notación no separa la operación de producto interno de la notación para un vector (bra). Si un vector bra (de espacio dual) se construye como una combinación lineal de otros vectores bra (por ejemplo, al expresarlo en alguna base), la notación crea cierta ambigüedad y oculta detalles matemáticos. Podemos comparar la notación bra-ket con el uso de negrita para vectores, como${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$, y${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$para el producto interno. Considere el siguiente vector bra del espacio dual en la base${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$, dónde${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$son los coeficientes de números complejos de${\displaystyle \langle \psi |}$: $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

Debe determinarse por convención si los números complejos${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$están dentro o fuera del producto interno, y cada convención da resultados diferentes.

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

Es común usar el mismo símbolo para etiquetas y constantes . Por ejemplo,${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$donde el símbolo${\displaystyle \alpha }$se utiliza simultáneamente como nombre del operador${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$, su vector propio${\displaystyle |\alpha \rangle }$y el valor propio asociado${\displaystyle \alpha }$. A veces, el sombrero también se quita para los operadores, y se puede ver una notación como${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$. ^{[ 7 ]}

Es común ver el uso${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$, donde la daga (${\displaystyle \dagger }$) corresponde al conjugado hermitiano. Sin embargo, esto no es correcto en un sentido técnico, ya que el ket,${\displaystyle |\psi \rangle }$, representa un vector en un espacio de Hilbert complejo${\displaystyle {\mathcal {H}}}$y el sujetador,${\displaystyle \langle \psi |}$, es un funcional lineal sobre vectores en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. En otras palabras,${\displaystyle |\psi \rangle }$es simplemente un vector, mientras que${\displaystyle \langle \psi |}$es la combinación de un vector y un producto escalar.

Esto se hace para una notación rápida de vectores de escala. Por ejemplo, si el vector${\displaystyle |\alpha \rangle }$se escala por${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$, puede denotarse${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$Esto puede ser ambiguo ya que${\displaystyle \alpha }$es simplemente una etiqueta para un estado, y no un objeto matemático sobre el que se puedan realizar operaciones. Este uso es más común cuando se denotan vectores como productos tensoriales, donde parte de las etiquetas se mueven fuera de la ranura diseñada, por ejemplo${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$.

Un operador lineal es una aplicación que toma como entrada un ket y produce como salida un ket. (Para ser llamado "lineal", se requiere que tenga ciertas propiedades ). En otras palabras, si${\displaystyle {\hat {A}}}$es un operador lineal y${\displaystyle |\psi \rangle }$es un vector ket, entonces${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$es otro vector ket.

En un${\displaystyle N}$Espacio de Hilbert de dimensión , podemos imponer una base en el espacio y representar${\displaystyle |\psi \rangle }$en términos de sus coordenadas como un${\displaystyle N\times 1}$vector columna . Usando la misma base para${\displaystyle {\hat {A}}}$, está representado por un${\displaystyle N\times N}$Matriz compleja. El vector ket.${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$Ahora se puede calcular mediante multiplicación de matrices.

Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las magnitudes físicas observables se representan mediante operadores autoadjuntos , como la energía o el momento , mientras que los procesos de transformación se representan mediante operadores lineales unitarios , como la rotación o la progresión del tiempo.

Los operadores también pueden verse como actuando sobre sujetadores desde el lado derecho . Específicamente, si A es un operador lineal y ⟨ φ | es un sujetador, entonces ⟨ φ | A es otro sujetador definido por la regla $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ (en otras palabras, una composición de funciones ). Esta expresión se escribe comúnmente como (cf. producto interno de energía ). $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

En un espacio de Hilbert N- dimensional, ⟨ φ | puede escribirse como un vector fila de 1 × N , y A (como en la sección anterior) es una matriz N × N. Entonces, el bra ⟨ φ | A puede calcularse mediante la multiplicación normal de matrices.

Si el mismo vector de estado aparece tanto en el lado bra como en el lado ket, $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$ Entonces, esta expresión da el valor esperado , o valor medio o promedio, del observable representado por el operador A para el sistema físico en el estado | ψ ⟩ .

Una forma conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H viene dada por el producto exterior : si ⟨ ϕ | es un bra y | ψ ⟩ es un ket, el producto exterior $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ denota el operador de rango uno con la regla $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto exterior puede entenderse como una simple multiplicación de matrices: $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$ El producto exterior es una matriz N × N , como cabría esperar de un operador lineal.

Uno de los usos del producto exterior es construir operadores de proyección . Dado un ket | ψ ⟩ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por | ψ ⟩ es $${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$ Se trata de un idempotente en el álgebra de observables que actúa sobre el espacio de Hilbert.

Así como los kets y bras se pueden transformar entre sí (convirtiendo | ψ ⟩ en ⟨ ψ | ), el elemento del espacio dual correspondiente a A | ψ ⟩ es ⟨ ψ | A ^† , donde A ^† denota el conjugado hermitiano (o adjunto) del operador A . En otras palabras, $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

Si A se expresa como una matriz N × N , entonces A ^† es su transpuesta conjugada.

• Dado que los sujetadores son funcionales lineales,$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• Por definición de suma y multiplicación escalar de funcionales lineales en el espacio dual, ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

Dada cualquier expresión que involucre números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/o operadores lineales (pero no suma), escrita en notación bra-ket, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, se cumple la propiedad asociativa ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Las expresiones de la derecha (sin paréntesis) pueden escribirse sin ambigüedad debido a las igualdades de la izquierda. Cabe destacar que la propiedad asociativa no se cumple para expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión temporal antilineal en física.

La notación bra-ket facilita particularmente el cálculo del conjugado hermitiano (también llamado daga y denotado † ) de expresiones. Las reglas formales son:

• El conjugado hermitiano de un bra es el ket correspondiente, y viceversa.
• El conjugado hermitiano de un número complejo es su conjugado complejo.
• El conjugado hermitiano del conjugado hermitiano de cualquier cosa (operadores lineales, bras, kets, números) es él mismo, es decir,$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• Dada cualquier combinación de números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/o operadores lineales, escritos en notación bra-ket, su conjugado hermitiano se puede calcular invirtiendo el orden de los componentes y tomando el conjugado hermitiano de cada uno.

Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermitiano de cualquier expresión de este tipo; algunos ejemplos son los siguientes:

• Kets:$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• Productos internos:$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$Nótese que ⟨ φ | ψ ⟩ es un escalar, por lo que el conjugado hermitiano es simplemente el conjugado complejo, es decir,$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• Elementos de la matriz:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• Productos externos:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$