Integral directa

En matemáticas y análisis funcional , una integral directa o integral de Hilbert es una generalización del concepto de suma directa . La teoría está más desarrollada para integrales directas de espacios de Hilbert e integrales directas de álgebras de von Neumann . El concepto fue introducido en 1949 por John von Neumann en uno de los artículos de la serie « Sobre anillos de operadores» . Uno de los objetivos de von Neumann en este artículo era reducir la clasificación de las (ahora llamadas) álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables a la clasificación de los llamados factores. Los factores son análogos a las álgebras de matrices completas sobre un cuerpo, y von Neumann quería demostrar un análogo continuo del teorema de Artin-Wedderburn que clasifica los anillos semisimples.

Los resultados sobre integrales directas pueden considerarse generalizaciones de resultados sobre álgebras C* de dimensión finita de matrices; en este caso, los resultados son fáciles de demostrar directamente. El caso de dimensión infinita se complica por tecnicismos de la teoría de la medida.

La teoría integral directa también fue utilizada por George Mackey en su análisis de sistemas de imprimitividad y en su teoría general de representaciones inducidas de grupos separables localmente compactos .

El ejemplo más simple de una integral directa viene dado por los ^espacios L2 asociados a una medida aditiva numerable (σ-finita) μ en un espacio medible X. De forma algo más general, se puede considerar un espacio de Hilbert separable H y el espacio de funciones con valores en H que son de cuadrado integrable.

$${\displaystyle L_{\mu }^{2}(X,H).}$$

Nota terminológica : Aquí se sigue la terminología adoptada por la literatura sobre el tema, según la cual un espacio medible X se denomina espacio de Borel y los elementos de la σ-álgebra distinguida de X se denominan conjuntos de Borel , independientemente de si la σ-álgebra subyacente proviene o no de un espacio topológico (en la mayoría de los ejemplos, sí). Un espacio de Borel es estándar si y solo si es isomorfo al espacio de Borel subyacente de un espacio polaco . Todos los espacios polacos de una cardinalidad dada son isomorfos entre sí (como espacios de Borel). Dada una medida numerablemente aditiva μ en X , un conjunto medible es aquel que difiere de un conjunto de Borel por un conjunto nulo . La medida μ en X es una medida estándar si y solo si existe un conjunto nulo E tal que su complemento X − E es un espacio de Borel estándar . Todas las medidas consideradas aquí son σ-finitas .

Definición . Sea X un espacio de Borel dotado de una medida numerablemente aditiva μ. Una familia medible de espacios de Hilbert en ( X , μ) es una familia { H _x : x ∈ X } que es localmente equivalente a una familia trivial en el siguiente sentido: Existe una partición numerable.

$${\displaystyle \{X_{n}:1\leq n\leq \omega \}}$$

de X por subconjuntos medibles${\displaystyle X_{n}}$de tal manera que

$${\displaystyle H_{x}=\mathbf {H} _{n},\quad \forall x\in X_{n},}$$

donde H _n es el espacio de Hilbert n -dimensional canónico , es decir,

$${\displaystyle \mathbf {H} _{n}={\begin{cases}\mathbb {C} ^{n}&{\text{si }}n<\omega ,\\\ell ^{2}&{\text{si }}n=\omega .\end{cases}}}$$

En lo anterior,${\displaystyle \ell ^{2}}$es el espacio de secuencias sumables cuadradas . Todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos a${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Una sección transversal de { H _x } _{x ∈ X} es una familia { s _x } _{x ∈ X} tal que s _x ∈ H _x para todo x ∈ X . Una sección transversal es medible si y solo si su restricción a cada elemento de partición X _n es medible. Identificaremos secciones transversales medibles que son casi iguales en todas partes . Dada una familia medible de espacios de Hilbert, la integral directa

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

Consiste en clases de equivalencia (con respecto a la igualdad casi en todas partes) de secciones transversales medibles e integrables al cuadrado de { H _x } _{x ∈ X} . Este es un espacio de Hilbert bajo el producto interno.

${\displaystyle \langle s|t\rangle =\int _{X}\langle s(x)|t(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x).}$

Dada la naturaleza local de nuestra definición, muchas definiciones aplicables a espacios de Hilbert individuales también se aplican a familias medibles de espacios de Hilbert.

Nota : Esta definición es aparentemente más restrictiva que la dada por von Neumann y se analiza en el tratado clásico de Dixmier sobre álgebras de von Neumann. En la definición más general, las fibras del espacio de Hilbert H _x pueden variar de un punto a otro sin que exista un requisito de trivialidad local (local en el sentido de la teoría de la medida). Uno de los teoremas principales de la teoría de von Neumann establece que la definición más general es equivalente a la más simple que se presenta aquí.

Nótese que la integral directa de una familia medible de espacios de Hilbert depende únicamente de la clase de medida de la medida μ; más precisamente:

Teorema . Supongamos que μ y ν son medidas aditivas numerables σ-finitas en X que tienen los mismos conjuntos de medida 0. Entonces la aplicación

${\displaystyle s\mapsto \left({\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\right)^{1/2}s}$

es un operador unitario

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \nu (x).}$

Por ejemplo, una medida discreta en un conjunto numerable, cualquier operador lineal acotado T en

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

está dada por una matriz infinita

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Para este ejemplo de una medida discreta en un conjunto numerable, los operadores descomponibles se definen como aquellos operadores que son diagonales por bloques , teniendo cero para todas las entradas no diagonales. Los operadores descomponibles pueden caracterizarse como aquellos que conmutan con matrices diagonales:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

El ejemplo anterior motiva la definición general: Se dice que una familia de operadores acotados { T _x } _{x ∈ X} con T _x ∈ L( H _x ) es fuertemente medible si y solo si su restricción a cada X _n es fuertemente medible. Esto tiene sentido porque H _x es constante en X _n .

Familias medibles de operadores con una norma esencialmente acotada , es decir

${\displaystyle \operatorname {ess-sup} _{x\in X}\|T_{x}\|<\infty }$

definir operadores lineales acotados

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x)\in \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

actuar de manera puntual, es decir

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).}$

Se dice que dichos operadores son descomponibles .

Ejemplos de operadores descomponibles son aquellos definidos por funciones medibles escalares (es decir, con valores C ) λ en X. De hecho,

Teorema . La aplicación

${\displaystyle \phi :L_{\mu }^{\infty }(X)\rightarrow \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

dado por

${\displaystyle \lambda \mapsto \int _{X}^{\oplus }\ \lambda _{x}d\mu (x)}$

es un isomorfismo algebraico involutivo sobre su imagen.

Esto permite identificar L ^∞ _μ ( X ) con la imagen de φ.

Teorema ^{[ 1 ]} Los operadores descomponibles son precisamente aquellos que están en el operador conmutador del álgebra abeliana L ^∞ _μ ( X ).

Sea { H _x } _{x ∈ X} una familia medible de espacios de Hilbert. Una familia de álgebras de von Neumann { A _x } _{x ∈ X} con

${\displaystyle A_{x}\subseteq \operatorname {L} (H_{x})}$

es medible si y solo si existe un conjunto numerable D de familias de operadores medibles que generan puntualmente { A _x } _{x ∈ X} como un álgebra de von Neumann en el siguiente sentido: Para casi todo x ∈ X ,

${\displaystyle \operatorname {W^{*}} (\{S_{x}:S\in D\})=A_{x}}$

donde W*( S ) denota el álgebra de von Neumann generada por el conjunto S . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann, la integral directa de álgebras de von Neumann

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

consta de todos los operadores de la forma

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu (x)}$

para T _x ∈ A _x .

Uno de los principales teoremas de von Neumann y Murray en su serie original de artículos es una demostración del teorema de descomposición: Cualquier álgebra de von Neumann es una integral directa de factores. Enunciado con precisión,

Teorema . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann y μ es estándar, entonces la familia de conmutadores de operadores también es medible y

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x){\bigg ]}'=\int _{X}^{\oplus }A'_{x}d\mu (x).}$

Supongamos que A es un álgebra de von Neumann. Sea Z ( A ) el centro de A. El centro es el conjunto de operadores en A que conmutan con todos los operadores de A :

${\displaystyle \mathbf {Z} (A)=A\cap A'}$

Entonces Z ( A ) es un álgebra de von Neumann abeliana.

Ejemplo . El centro de L( H ) es unidimensional. En general, si A es un álgebra de von Neumann, si el centro es unidimensional decimos que A es un factor .

Cuando A es un álgebra de von Neumann cuyo centro contiene una secuencia de proyecciones no nulas ortogonales por pares mínimas { E _i } _{i ∈ N} tales que

${\displaystyle 1=\sum _{i\in \mathbb {N} }E_{i}}$

entonces A E _i es un álgebra de von Neumann en el rango H _i de E _i . Es fácil ver que A E _i es un factor. Por lo tanto, en este caso especial

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }AE_{i}}$

representa A como una suma directa de factores. Este es un caso especial del teorema de descomposición central de von Neumann.

En general, el teorema de estructura de las álgebras de von Neumann abelianas representa Z( A ) como un álgebra de operadores diagonales escalares. En cualquier representación de este tipo, todos los operadores en A son descomponibles. Esto permite demostrar el resultado fundamental de von Neumann: cualquier álgebra de von Neumann admite una descomposición en factores.

Teorema . Supongamos que

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

es una descomposición integral directa de H y A es un álgebra de von Neumann en H de modo que Z( A ) está representada por el álgebra de operadores diagonales escalares L ^∞ _μ ( X ) donde X es un espacio de Borel estándar. Entonces

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

donde para casi todo x ∈ X , A _x es un álgebra de von Neumann que es un factor .

Si A es un álgebra C* separable , los resultados anteriores pueden aplicarse a familias medibles de representaciones * no degeneradas de A. En el caso de que A tenga una unidad, la no degeneración es equivalente a la preservación de la unidad. Gracias a la correspondencia general que existe entre las representaciones unitarias fuertemente continuas de un grupo localmente compacto G y las representaciones * no degeneradas del álgebra C* de grupos C*( G ), la teoría de las álgebras C* proporciona inmediatamente una teoría de descomposición para representaciones de grupos localmente compactos separables .

Teorema . Sea A un álgebra C* separable y π una representación involutiva no degenerada de A en un espacio de Hilbert separable H. Sea W*(π) el álgebra de von Neumann generada por los operadores π( a ) para a ∈ A. Entonces, correspondiente a cualquier descomposición central de W*(π) sobre un espacio de medida estándar ( X , μ) (que, como se indicó, es única en un sentido de teoría de la medida), existe una familia medible de representaciones de factores.

${\displaystyle \{\pi _{x}\}_{x\in X}}$

de A tal que

${\displaystyle \pi (a)=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu (x),\quad \forall a\in A.}$

Además, existe un subconjunto N de X con medida μ cero, tal que π _x , π _y son disjuntos siempre que x , y ∈ X − N , donde se dice que las representaciones son disjuntas si y solo si no hay operadores entrelazados entre ellas.

Se puede demostrar que la integral directa puede indexarse ​​en el llamado cuasi-espectro Q de A , que consiste en clases de cuasi-equivalencia de representaciones factoriales de A. Así, existe una medida estándar μ en Q y una familia medible de representaciones factoriales indexadas en Q tales que π _x pertenece a la clase de x . Esta descomposición es esencialmente única. Este resultado es fundamental en la teoría de las representaciones de grupos .

• J. Dixmier , Álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7
• J. Dixmier, C* álgebras ISBN 0-7204-0762-1
• GW Mackey , La teoría de las representaciones de grupos unitarios , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Sobre anillos de operadores. Teoría de la reducción. Anales de Matemáticas, 2.ª serie, vol. 50, n.º 2 (abril de 1949), págs.  401-485.
• Masamichi Takesaki Teoría de las álgebras de operadores I, II, III , enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en 1. edición) ISBN 3-540-42248-X