Producto de anillos

En matemáticas , un producto de anillos o producto directo de anillos es un anillo formado por el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de varios anillos (posiblemente un infinito), dotado de operaciones componente a componente . Es un producto directo en la categoría de anillos .

Dado que los productos directos se definen salvo isomorfismo , se dice coloquialmente que un anillo es el producto de algunos anillos si es isomorfo al producto directo de estos anillos. Por ejemplo, el teorema chino del resto se puede enunciar como: si m y n son enteros coprimos , el anillo cociente es...${\displaystyle \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} }$es el producto de${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$y${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}.}$

Un ejemplo importante es Z / n Z , el anillo de enteros módulo n . Si n se escribe como un producto de potencias de primos (véase el Teorema fundamental de la aritmética ),

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots \ p_{k}^{n_{k}},}$

donde los p _i son primos distintos , entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al producto

${\displaystyle \mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} .}$

Esto se deduce del teorema chino del resto .

Si R = Π _{i ∈ I} R _i es un producto de anillos, entonces para cada i en I tenemos un homomorfismo de anillos sobreyectivo p _i : R → R _i que proyecta el producto sobre la i- ésima coordenada. El producto R junto con las proyecciones p _i tiene la siguiente propiedad universal : 

Si S es cualquier anillo y f _i  : S → R _i es un homomorfismo de anillos para cada i en I , entonces existe precisamente un homomorfismo de anillos f  : S → R tal que p _i ∘ f = f _i para cada i en I .

Esto demuestra que el producto de anillos es un ejemplo de productos en el sentido de la teoría de categorías .

Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π _{i ∈ I} R _i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de los R _i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R _i " y escriben ⊕ _{i ∈ I} R _i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías , ya que generalmente no es un coproducto en la categoría de anillos (con identidad): por ejemplo, cuando dos o más de los R _i no son triviales , el mapa de inclusión R _i → R no mapea 1 a 1 y por lo tanto no es un homomorfismo de anillos.

(Un coproducto finito en la categoría de álgebras conmutativas sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto libre de álgebras .)

Los productos directos son conmutativos y asociativos salvo isomorfismo natural, lo que significa que no importa en qué orden se formen.

Si A _i es un ideal de R _i para cada i en I , entonces A = Π _{i ∈ I} A _i es un ideal de R . Si I es finito, entonces el recíproco es cierto, es decir, todo ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R _i no son triviales, entonces el recíproco es falso: el conjunto de elementos con todas menos un número finito de coordenadas no nulas forma un ideal que no es un producto directo de ideales de los R _i . El ideal A es un ideal primo en R si todos menos uno de los A _i son iguales a R _i y el A _i restante es un ideal primo en R _i . Sin embargo, el recíproco no es cierto cuando I es infinito. Por ejemplo, la suma directa de los R _i forma un ideal que no está contenido en ningún A de este tipo , pero el axioma de elección da que está contenido en algún ideal maximal que es un primo fortiori.

Un elemento x en R es una unidad si y solo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y solo si p _i ( x ) es una unidad en R _i para cada i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R _i .

Un producto de dos o más anillos no triviales siempre tiene divisores de cero distintos de cero : si x es un elemento del producto cuyas coordenadas son todas cero excepto p _i ( x ) e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p _j ( y ) donde i  ≠ j , entonces xy = 0 en el anillo producto.   

• Herstein, IN (2005) [1968], Anillos no conmutativos (5.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-88385-039-8
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, pág.  91, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001