Unión disjunta (topología)

En topología general y áreas afines de las matemáticas , la unión disjunta ^{[ 1 ]} (también llamada suma directa , unión libre , suma libre , suma topológica o coproducto ) de una familia de espacios topológicos es un espacio formado al dotar a la unión disjunta de los conjuntos subyacentes de una topología natural denominada topología de unión disjunta . En términos generales, en la unión disjunta los espacios dados se consideran como parte de un único espacio nuevo donde cada uno se ve como si estuviera solo y están aislados entre sí.

El nombre coproducto proviene del hecho de que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del espacio producto .

Sea { X _i  : i ∈ I } una familia de espacios topológicos indexados por I . Sea

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i}}$

Sea la unión disjunta de los conjuntos subyacentes. Para cada i en I , sea

${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\to X\,}$

ser la inyección canónica (definida por${\displaystyle \varphi _{i}(x)=(x,i)}$). La topología de unión disjunta en X se define como la topología más fina en X para la cual todas las inyecciones canónicas${\displaystyle \varphi _{i}}$son continuas (es decir, es la topología final en X inducida por las inyecciones canónicas).

Explícitamente, la topología de unión disjunta se puede describir de la siguiente manera. Un subconjunto U de X es abierto en X si y solo si su preimagen${\displaystyle \varphi _{i}^{-1}(U)}$es abierto en X _i para cada i ∈ I. Otra formulación es que un subconjunto V de X es abierto con respecto a X si y solo si su intersección con X _i es abierta con respecto a X _i para cada i .

The disjoint union space X, together with the canonical injections, can be characterized by the following universal property: If Y is a topological space, and f_i : X_i → Y is a continuous map for each i ∈ I, then there exists precisely one continuous map f : X → Y such that the following set of diagrams commute:

This shows that the disjoint union is the coproduct in the category of topological spaces. It follows from the above universal property that a map f : X → Y is continuous ifff_i = f o φ_i is continuous for all i in I.

In addition to being continuous, the canonical injections φ_i : X_i → X are open and closed maps. It follows that the injections are topological embeddings so that each X_i may be canonically thought of as a subspace of X.

If each X_i is homeomorphic to a fixed space A, then the disjoint union X is homeomorphic to the product spaceA×I where I has the discrete topology.

• Every disjoint union of discrete spaces is discrete
• Separation
  • Every disjoint union of T₀ spaces is T₀
  • Every disjoint union of T₁ spaces is T₁
  • Every disjoint union of Hausdorff spaces is Hausdorff
• Connectedness
  • The disjoint union of two or more nonempty topological spaces is disconnected

• product topology, the dual construction
• subspace topology and its dual quotient topology
• topological union, a generalization to the case where the pieces are not disjoint