Función de preservación de la dirección

Una célula es un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que se puede expresar por${\displaystyle k+[0,1]^{n}}$para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$Por ejemplo, el cuadrado${\displaystyle [2,3]\times [6,7]}$es una célula.

Dos puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se denominan células conectadas si existe una célula que contiene ambas.

Las propiedades de preservación de la dirección hipercúbicas requieren que la función no cambie demasiado drásticamente en los puntos conectados a la celda (puntos en la misma celda hipercúbica).

f se denomina hipercúbico que preserva la dirección (HDP) si, para cualquier par de puntos conectados por celda x , y en X, para todo${\displaystyle i\in [n]}$:${\displaystyle f_{i}(x)\cdot f_{i}(y)\geq 0}$. El término preservación de la dirección local (LDP) se usa a menudo en su lugar. ^{[ 1 ]} La función f ^a de la derecha es DP.

• Algunos autores ^{[ 4 ] : Def.1} utilizan una variante que requiere que, para cualquier par de puntos conectados por celdas x , y en X, para todos${\displaystyle i\in [n]}$:${\displaystyle (f_{i}(x)-x_{i})\cdot (f_{i}(y)-y_{i})\geq 0}$. Una función f ( x ) es HDP por la segunda variante, si y solo si la función g ( x ):= f ( x )- x es HDP por la primera variante.

f se denomina hipercúbico que preserva la dirección bruta (HGDP) , o localmente que preserva la dirección bruta (LGDP) , si para cualquier par de puntos conectados por celdas x , y en X,${\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$. ^{[ 3 ] : Def.2.2} Toda función HDP es HGDP, pero lo contrario no es cierto. La función f ^b es HGDP, ya que el producto escalar de cada par de vectores en la tabla es no negativo. Pero no es HDP, ya que el segundo componente cambia de signo entre (2,6) y (3,6):${\displaystyle f_{2}^{b}(2,6)\cdot f_{2}^{b}(3,6)=-1<0}$.

• Algunos autores ^{[ 5 ]} utilizan una variante que requiere que, para cualquier par de puntos conectados por celdas x , y en X,${\displaystyle (f(x)-x)\cdot (f(y)-y)\geq 0}$. Una función f ( x ) es HGDP por la segunda variante, si y solo si la función g ( x ):= f ( x )- x es HGDP por la primera variante.

Un simplex se denomina integral si todos sus vértices tienen coordenadas enteras y todos se encuentran en la misma celda (de modo que la diferencia entre las coordenadas de diferentes vértices es como máximo 1).

Una triangulación de algún subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se denomina integral si todos sus símplices son enteros.

Dada una triangulación, dos puntos se consideran conectados simplicialmente si existe un simplex de la triangulación que los contiene a ambos.

Nótese que, en una triangulación integral, todos los puntos conectados simplicialmente también están conectados a la celda, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, consideremos la celda ${\displaystyle [2,3]\times [6,7]}$Consideremos la triangulación integral que la divide en dos triángulos: {(2,6),(2,7),(3,7)} y {(2,6),(3,6),(3,7)}. Los puntos (2,7) y (3,6) son conexos por celda pero no simplicialmente conexos.

Las propiedades de conservación de la dirección simplicial presuponen una triangulación integral fija del dominio de entrada. Requieren que la función no cambie drásticamente en los puntos conectados simplicialmente (puntos en el mismo símplex de la triangulación). En general, este requisito es mucho menos exigente que la conservación de la dirección hipercúbica.

f se denomina preservadora de la dirección simplicial (SDP) si, para alguna triangulación integral de X , para cualquier par de puntos conectados simplicialmente x , y en X, para todo${\displaystyle i\in [n]}$:${\displaystyle (f_{i}(x)-x_{i})\cdot (f_{i}(y)-y_{i})\geq 0}$. ^{[ 4 ] : Def.4}

f se denomina preservadora de la dirección gruesa simplicial (SGDP) o preservadora de la dirección gruesa local simplicial (SLGDP) si existe una triangulación integral de ch( X ) tal que, para cualquier par de puntos conectados simplicialmente x , y en X,${\displaystyle f(x)\cdot f(y)\geq 0}$. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Cada función HGDP es SGDP, pero HGDP es mucho más fuerte: es equivalente a SGDP con respecto a todas las triangulaciones integrales posibles de ch( X ), mientras que SGDP se relaciona con una sola triangulación. ^{[ 3 ] : Def.2.3} Como ejemplo, la función f ^c de la derecha es SGDP por la triangulación que divide la celda en los dos triángulos {(2,6),(2,7),(3,7)} y {(2,6),(3,6),(3,7)}, ya que en cada triángulo, el producto escalar de cada par de vectores es no negativo. Pero no es HGDP, ya que${\displaystyle f^{c}(3,6)\cdot f^{c}(2,7)=-1<0}$.