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Plano de polarización

Figura 1 : Vectores de campo ( E , D , B , H ) y direcciones de propagación (rayo y normal de onda) para ondas electromagnéticas planas linealmente polarizadas en un cristal b...

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Figura 1 :  Vectores de campo ( E , D , B , H ) y direcciones de propagación (rayo y normal de onda) para ondas electromagnéticas planas linealmente polarizadas en un cristal birrefringente no magnético. [ 1 ] El plano de vibración, que contiene tanto los vectores eléctricos ( E y D ) como los vectores de propagación, es a veces denominado "plano de polarización" por autores modernos. El "plano de polarización" de Fresnel, tradicionalmente utilizado en óptica, es el plano que contiene los vectores magnéticos ( B y H ) y la normal de onda . El "plano de polarización" original de Malus era el plano que contenía los vectores magnéticos y el rayo . (En un medio isotrópico, θ = 0 y el plano de Malus se fusiona con el de Fresnel).     

Para la luz y otras radiaciones electromagnéticas , el plano de polarización es el plano definido por la dirección de propagación y el vector eléctrico o el vector magnético , según la convención. Se puede definir para luz polarizada , permanece fijo en el espacio para luz polarizada linealmente y experimenta una rotación axial para luz polarizada circularmente .

Lamentablemente, ambas convenciones son contradictorias. Tal como lo definió originalmente Étienne-Louis Malus en 1811, [ 2 ] el plano de polarización coincidía (aunque esto no se sabía en ese momento) con el plano que contenía la dirección de propagación y el vector magnético . [ 3 ] En la literatura moderna, el término plano de polarización , si es que se usa, probablemente se refiera al plano que contiene la dirección de propagación y el vector eléctrico , [ 4 ] porque el campo eléctrico tiene mayor propensión a interactuar con la materia. [ 5 ]

Para ondas en un cristal birrefringente (doblemente refractivo), según la definición antigua, también se debe especificar si la dirección de propagación se refiere a la dirección del rayo ( vector de Poynting ) o a la dirección normal de la onda , ya que estas direcciones generalmente difieren y ambas son perpendiculares al vector magnético (Fig. 1). Malus, como defensor de la teoría corpuscular de la luz , solo podía elegir la dirección del rayo. Pero Augustin-Jean Fresnel , en su exitoso esfuerzo por explicar la doble refracción bajo la teoría ondulatoria (a partir de 1822), encontró más útil elegir la dirección normal de la onda, con el resultado de que las supuestas vibraciones del medio eran entonces consistentemente perpendiculares al plano de polarización. [ 6 ] En un medio isotrópico como el aire, las direcciones del rayo y normal de la onda son las mismas, y la modificación de Fresnel no hace ninguna diferencia.

Fresnel también admitió que, de no haberse sentido limitado por la terminología establecida, habría sido más natural definir el plano de polarización como el plano que contiene las vibraciones y la dirección de propagación. [ 7 ] Ese plano, que llegó a conocerse como el plano de vibración , es perpendicular al "plano de polarización" de Fresnel, ¡pero idéntico al plano que los autores modernos suelen denominar así!

Se ha argumentado que el término plano de polarización , debido a su ambigüedad histórica, debería evitarse en los textos originales. Es fácil especificar la orientación de un vector de campo particular; e incluso el término plano de vibración conlleva menos riesgo de confusión que plano de polarización . [ 8 ]

Física del término

Figura 2 : Onda electromagnética sinusoidal  polarizada linealmente (polarización plana) en un medio isótropo , propagándose en la dirección x (dirección del rayo y dirección normal a la onda), con los vectores del campo eléctrico E y D en la dirección y , y los vectores del campo magnético B y H en la dirección z . (La situación en un medio no isótropo es más compleja; véase la figura 1). 

Para ondas electromagnéticas (EM) en un medio isótropo (es decir, un medio cuyas propiedades son independientes de la dirección), los vectores del campo eléctrico ( E y D ) apuntan en una dirección, y los vectores del campo magnético ( B y H ) apuntan en otra dirección, perpendicular a la primera, y la dirección de propagación es perpendicular tanto a los vectores eléctricos como a los magnéticos. En este caso, la dirección de propagación es tanto la dirección del rayo como la dirección normal a la onda (la dirección perpendicular al frente de onda ). Para una onda polarizada linealmente (también llamada onda polarizada plana ), las orientaciones de los vectores de campo son fijas (Fig. 2).

Debido a que innumerables materiales son dieléctricos o conductores , mientras que relativamente pocos son ferromagnéticos , la reflexión o refracción de las ondas electromagnéticas (incluida la luz ) se debe con mayor frecuencia a diferencias en las propiedades eléctricas de los medios que a diferencias en sus propiedades magnéticas. Esta circunstancia tiende a centrar la atención en los vectores eléctricos , de modo que solemos considerar la dirección de polarización como la dirección de los vectores eléctricos, y el "plano de polarización" como el plano que contiene los vectores eléctricos y la dirección de propagación.

Figura 3 : Antena de microondas de  rejilla parabólica con polarización vertical . En este caso, la polarización indicada se refiere a la alineación del campo eléctrico ( E ), y por lo tanto, a la alineación de las nervaduras metálicas muy próximas entre sí en el reflector.

En efecto, esa es la convención utilizada en la Encyclopædia Britannica en línea [ 4 ] y en la conferencia de Feynman sobre polarización [ 9 ] . En este último caso, la convención debe inferirse del contexto: Feynman enfatiza la dirección del vector eléctrico ( E ) y deja que el lector suponga que el "plano de polarización" contiene dicho vector, y esta interpretación se ajusta a los ejemplos que proporciona. El mismo vector se utiliza para describir la polarización de las señales de radio y las antenas (Fig. 3) [ 10 ] .

Si el medio es magnéticamente isótropo pero eléctricamente no isótropo (como un cristal birrefringente ), los vectores magnéticos B y H siguen siendo paralelos, y los vectores eléctricos E y D siguen siendo perpendiculares a ambos, y la dirección del rayo sigue siendo perpendicular a E y a los vectores magnéticos, y la dirección normal de la onda sigue siendo perpendicular a D y a los vectores magnéticos; pero generalmente hay un pequeño ángulo entre los vectores eléctricos E y D , por lo tanto el mismo ángulo entre la dirección del rayo y la dirección normal de la onda (Fig. 1). [ 1 ] [ 11 ] Por lo tanto , D , E , la dirección normal de la onda y la dirección del rayo están todos en el mismo plano, y es aún más natural definir ese plano como el "plano de polarización".

Sin embargo, esta definición "natural" depende de la teoría de las ondas electromagnéticas desarrollada por James Clerk Maxwell en la década de 1860, mientras que la palabra polarización se acuñó unos 50 años antes, y el misterio asociado se remonta aún más atrás.

Historia del término

Tres candidatos

Ya sea por casualidad o por diseño, el plano de polarización siempre se ha definido como el plano que contiene un vector de campo y una dirección de propagación. En la figura 1, hay tres de estos planos, a los que podemos asignar números para facilitar la referencia:

(1)  el plano que contiene ambos vectores eléctricos y ambas direcciones de propagación  (es decir, el plano normal a los vectores magnéticos);
(2a)  el plano que contiene los vectores magnéticos y la normal de onda  (es decir, el plano normal a D );
(2b)  el plano que contiene los vectores magnéticos y el rayo  (es decir, el plano normal a E ).

En un medio isotrópico, E y D tienen la misma dirección, [ Nota 1 ] de modo que las direcciones del rayo y la normal de la onda se fusionan, y los planos (2a) y (2b) se convierten en uno solo:

(2)  el plano que contiene ambos vectores magnéticos y ambas direcciones de propagación  (es decir, el plano normal a los vectores eléctricos).

La elección de Malus

Figura 4 :  Etiqueta impresa vista a través de un cristal de calcita birrefringente y un filtro polarizador moderno (rotada para mostrar las diferentes polarizaciones de las dos imágenes).

La polarización fue descubierta —pero no nombrada ni comprendida— por Christiaan Huygens , mientras investigaba la doble refracción del "cristal de Islandia" ( calcita transparente , ahora llamada espato de Islandia ). La esencia de su descubrimiento, publicado en su Tratado sobre la luz (1690), fue la siguiente. Cuando un rayo (es decir, un haz estrecho de luz) pasa a través de dos cristales de calcita orientados de manera similar con incidencia normal, el rayo ordinario que emerge del primer cristal sufre solo la refracción ordinaria en el segundo, mientras que el rayo extraordinario que emerge del primero sufre solo la refracción extraordinaria en el segundo. Pero cuando el segundo cristal se rota 90° alrededor de los rayos incidentes, los roles se intercambian, de modo que el rayo ordinario que emerge del primer cristal sufre solo la refracción extraordinaria en el segundo, y viceversa. En posiciones intermedias del segundo cristal, cada rayo que emerge del primero es doblemente refractado por el segundo, dando cuatro rayos en total; y a medida que el cristal gira desde la orientación inicial hasta la perpendicular, los brillos de los rayos varían, dando una transición suave entre los casos extremos en los que solo hay dos rayos finales. [ 12 ]

Huygens definió una sección principal de un cristal de calcita como un plano normal a una superficie natural y paralelo al eje del ángulo sólido obtuso . [ 13 ] Este eje era paralelo a los ejes de las ondas secundarias esferoidales mediante las cuales explicó (correctamente) las direcciones de la refracción extraordinaria.

Étienne-Louis Malus (1775–1812).

El término polarización fue acuñado por Étienne-Louis Malus en 1811. [ 2 ]  En  1808, mientras confirmaba la descripción geométrica de Huygens sobre la doble refracción (aunque cuestionaba su explicación física), Malus descubrió que cuando un rayo de luz se refleja en una superficie no metálica con el ángulo apropiado, se comporta como uno de los dos rayos que emergen de un cristal de calcita. [ 14 ] [ Nota 2 ] Como este comportamiento solo se conocía previamente en relación con la doble refracción, Malus lo describió en ese contexto. En particular, definió el plano de polarización de un rayo polarizado como el plano, que contiene el rayo, en el que debe encontrarse una sección principal de un cristal de calcita para causar únicamente refracción ordinaria . [ 15 ] Esta definición era aún más razonable porque significaba que cuando un rayo se polarizaba por reflexión (en un medio isotópico), el plano de polarización era el plano de incidencia y reflexión; es decir, el plano que contenía el rayo incidente, la normal a la superficie reflectante y el rayo reflejado polarizado. Pero, como ahora sabemos, este plano contiene los vectores magnéticos del rayo polarizado, no los vectores eléctricos. [ 16 ]

El plano del rayo y los vectores magnéticos es el numerado (2b) arriba. La implicación de que el plano de polarización contiene los vectores magnéticos todavía se encuentra en la definición dada en el diccionario en línea Merriam-Webster. [ 17 ] Incluso Julius Adams Stratton , habiendo dicho que "Es costumbre definir la polarización en términos de E ", agrega rápidamente: "En óptica, sin embargo, la orientación de los vectores se especifica tradicionalmente por el 'plano de polarización', por el cual se entiende el plano normal a E que contiene tanto H como el eje de propagación". [ 10 ] Esa definición es idéntica a la de Malus.

La elección de Fresnel

Augustin-Jean Fresnel (1788–1827).

En 1821, Augustin-Jean Fresnel anunció su hipótesis de que las ondas de luz son exclusivamente transversales y, por lo tanto, siempre polarizadas en el sentido de tener una orientación transversal particular, y que lo que llamamos luz no polarizada es, de hecho, luz cuya orientación cambia rápida y aleatoriamente. [ 18 ] [ 19 ] Suponiendo que las ondas de luz eran análogas a las ondas de cizallamiento en sólidos elásticos , y que un índice de refracción más alto correspondía a una mayor densidad del éter luminífero , descubrió que podía explicar la reflexión parcial (incluida la polarización por reflexión) en la interfaz entre dos medios isótropos transparentes, siempre que las vibraciones del éter fueran perpendiculares al plano de polarización. [ 20 ] Así, la polarización, según la definición recibida, estaba "en" un cierto plano si las vibraciones eran perpendiculares a ese plano.

Al propio Fresnel le resultó inconveniente esta implicación; más tarde ese mismo año escribió:

Adoptando esta hipótesis, habría sido más natural haber llamado al plano de polarización aquel en el que se supone que se producen las oscilaciones; pero quise  evitar cualquier cambio en las denominaciones recibidas. [ 7 ] [ Nota 3 ]

Pero pronto se vio obligado a realizar un cambio menos radical. En su exitoso modelo de doble refracción, el desplazamiento del medio se restringió a ser tangencial al frente de onda, mientras que la fuerza podía desviarse tanto del desplazamiento como del frente de onda. [ 21 ] Por lo tanto, si las vibraciones eran perpendiculares al plano de polarización, entonces el plano de polarización contenía la normal de onda, pero no necesariamente el rayo. [ 22 ] En su "Segunda Memoria" sobre la doble refracción, Fresnel adoptó formalmente esta nueva definición, reconociendo que coincidía con la definición anterior en un medio isotrópico como el aire, pero no en un cristal birrefringente. [ 6 ]

Las vibraciones normales al plano de polarización de Malus son eléctricas, y la vibración eléctrica tangente al frente de onda es D (Fig. 1). Por lo tanto, en términos de la numeración anterior, Fresnel cambió el "plano de polarización" de (2b) a (2a) . La definición de Fresnel sigue siendo compatible con la definición de Merriam-Webster, [ 17 ] que no especifica la dirección de propagación. Y sigue siendo compatible con la definición de Stratton, [ 10 ] porque esta se da en el contexto de un medio isotrópico, en el que los planos (2a) y (2b) se fusionan en (2) .

Lo que Fresnel denominó la opción "más natural" fue un plano que contuviera D y una dirección de propagación. En la figura 1, el único plano que cumple con esta especificación es el etiquetado como "Plano de vibración" y posteriormente numerado (1) , es decir, el que los autores modernos tienden a identificar con el "plano de polarización". Por lo tanto, podríamos desear que Fresnel hubiera sido menos complaciente con sus predecesores. Sin embargo, este escenario es menos realista de lo que parece, ya que incluso después de que la teoría de ondas transversales de Fresnel fuera generalmente aceptada, la dirección de las vibraciones siguió siendo objeto de debate.

"Plano de vibración"

El principio de que el índice de refracción dependía de la densidad del éter fue fundamental para la hipótesis de Fresnel sobre el arrastre del éter . [ 23 ] Pero no podía extenderse a cristales birrefringentes —en los que al menos un índice de refracción varía con la dirección— porque la densidad no es direccional. Por lo tanto, su explicación de la refracción requería una variación direccional en la rigidez del éter dentro de un medio birrefringente, además de una variación en la densidad entre medios. [ 24 ]

James MacCullagh y Franz Ernst Neumann evitaron esta complicación al suponer que un índice de refracción más alto correspondía siempre a la misma densidad, pero a una mayor elasticidad ( menor rigidez). Para obtener resultados que coincidieran con las observaciones sobre reflexión parcial, tuvieron que suponer, a diferencia de Fresnel, que las vibraciones se producían dentro del plano de polarización. [ 25 ]

George Gabriel Stokes (1819–1903).

La pregunta requería una determinación experimental de la dirección de vibración, y George Gabriel Stokes respondió al desafío . Definió el plano de vibración como "el plano que pasa por el rayo y la dirección de vibración" [ 26 ] (de acuerdo con la Fig. 1). Ahora supongamos que una rejilla de difracción fina se ilumina con incidencia normal. En ángulos de difracción grandes, la rejilla aparecerá algo de canto, de modo que las direcciones de vibración se concentrarán en la dirección paralela al plano de la rejilla. Si los planos de polarización coinciden con los planos de vibración (como dijeron MacCullagh y Neumann), se concentrarán en la misma dirección; y si los planos de polarización son normales a los planos de vibración (como dijo Fresnel), los planos de polarización se concentrarán en la dirección normal. Para encontrar la dirección de la concentración, se podría variar la polarización de la luz incidente en pasos iguales y determinar los planos de polarización de la luz difractada de la manera habitual. Stokes realizó un experimento de este tipo en 1849, y este favoreció a Fresnel. [ 26 ] [ 27 ]

En 1852, Stokes observó un experimento mucho más sencillo que conduce a la misma conclusión. Mediante los métodos de Malus, se encontró que la luz solar dispersada desde una porción de cielo azul a 90° del sol se polariza en el plano que contiene la línea de visión y el sol. Pero es obvio, a partir de la geometría, que las vibraciones de esa luz solo pueden ser perpendiculares a ese plano. [ 28 ]

Sin embargo, en cierto sentido, MacCullagh y Neumann tenían razón. Si intentamos establecer una analogía entre las ondas de cizallamiento en un sólido elástico no isótropo y las ondas electromagnéticas en un cristal magnéticamente isótropo pero eléctricamente no isótropo, la densidad debe corresponder a la permeabilidad magnética (ambas no direccionales) y la compliancia debe corresponder a la permitividad eléctrica (ambas direccionales). El resultado es que la velocidad del sólido corresponde al campo H , [ 29 ] de modo que las vibraciones mecánicas de la onda de cizallamiento están en la dirección de las vibraciones magnéticas de la onda electromagnética. Pero los experimentos de Stokes estaban destinados a detectar las vibraciones eléctricas , porque estas tienen mayor propensión a interactuar con la materia. En resumen, las vibraciones de MacCullagh-Neumann eran las que tenían un análogo mecánico, pero las vibraciones de Fresnel eran las que tenían más probabilidades de ser detectadas en experimentos. [ Nota 4 ]

Práctica moderna

La teoría electromagnética de la luz enfatizó aún más las vibraciones eléctricas debido a sus interacciones con la materia, [ 5 ] mientras que el antiguo "plano de polarización" contenía los vectores magnéticos . Por lo tanto, la teoría electromagnética habría reforzado la convención de que las vibraciones eran normales al plano de polarización, siempre y cuando, por supuesto, se conociera la definición histórica de dicho plano. Pero si uno se guiara únicamente por consideraciones físicas , entonces, como ilustran Feynman [ 9 ] y la Enciclopedia Británica [ 4 ] , prestaría atención a los vectores eléctricos y asumiría que el "plano" de polarización (si se necesitara tal concepto) contenía esos vectores.

Sin embargo, no está claro que se necesite un "plano de polarización": conociendo los vectores de campo involucrados, se puede especificar la polarización indicando la orientación de un vector en particular o, como sugieren Born y Wolf , indicando el "plano de vibración" de ese vector. [ 5 ] Hecht también prefiere el término plano de vibración (o, más comúnmente, plano-de-vibración ), que define como el plano de E y la normal de onda, de acuerdo con la Fig. 1 anterior. [ 30 ] 

Usos restantes

En un medio ópticamente quiral —es decir, uno en el que la dirección de polarización gira gradualmente a medida que la onda se propaga— la elección de la definición del "plano de polarización" no afecta la existencia ni la dirección ("quiralidad") de la rotación. Este es un contexto en el que la ambigüedad del término plano de polarización no causa mayor confusión. [ 31 ]

También existe un contexto en el que la definición original aún podría ser relevante. En un cristal no magnético y no quiral de la clase biaxial (en el que no hay refracción ordinaria, pero ambas refracciones violan la ley de Snell ), existen tres planos mutuamente perpendiculares para los cuales la velocidad de la luz es isotrópica dentro del plano, siempre que los vectores eléctricos sean normales al plano. [ 32 ] Esta situación, naturalmente, llama la atención sobre un plano normal a las vibraciones, tal como lo concibió Fresnel, y ese plano es, de hecho, el plano de polarización definido por Fresnel o Malus.

En la mayoría de los contextos, sin embargo, el concepto de un "plano de polarización" distinto de un plano que contiene las "vibraciones" eléctricas se ha vuelto, posiblemente, redundante y, sin duda, fuente de confusión. En palabras de Born y Wolf, "es mejor no usar este término". [ 33 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Esta conclusión no se deduce si el medio está en rotación óptica (véase, por ejemplo, Darrigol, 2012, pp.253n,257n); sin embargo, a lo largo de este artículo, la existencia de un plano de polarización estable requiere la ausencia de rotación óptica.
  2. ↑ El ángulo de reflexión en el que se produce esta modificación se conoció como ángulo de Brewster , después de que David Brewster determinara experimentalmente su dependencia del índice de refracciónen 1815.
  3. ↑ La redacción de este tratado (Fresnel, 1822) aparentemente se completó a mediados de 1821; véase I. Grattan-Guinness, Convolutions in French Mathematics, 1800–1840 , Basilea: Birkhäuser, 1990, vol.2, pág.884.
  4. ↑ En cuanto a las limitaciones de las analogías elástico-electromagnéticas, véase (por ejemplo) Born y Wolf, 1970, págs.xxiv–xxv; Darrigol, 2012, págs.227–32.

Referencias

  1. 1 2 J.G. Lunney y D. Weaire, "Los entresijos de la refracción cónica", Europhysics News , vol.37, n.º3 (mayo-junio de 2006), págs.26-29, doi.org/10.1051/epn:2006305 , en las págs.26-27.
  2. 1 2 Buchwald, 1989, pág.54.
  3. ↑ Stratton, 1941, pág.280; Born y Wolf, 1970, págs.43,681.
  4. 1 2 3 M. Luntz (?) et al., "Doble refracción" , Encyclopædia Britannica , consultado el 15 de septiembre de 2017.
  5. 1 2 3 Born & Wolf, 1970, pág.28.
  6. 1 2 Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág.318.
  7. 1 2 Fresnel, 1822, trad. Young, parte 7, pág. 406 .
  8. ↑ Born & Wolf, 1970, págs.28,43.
  9. 1 2 R.P. Feynman, RB Leighton y M. Sands, Las conferencias de Feynman sobre física , Instituto Tecnológico de California, 1963–2013, Volumen I , Conferencia 33 .  
  10. 1 2 3 Stratton, 1941, pág.280.
  11. ↑ Born & Wolf, 1970, pág.668.
  12. ↑ Huygens, 1690, trad. Thompson, págs.92–4.
  13. ↑ Huygens, 1690, trad. Thompson, págs.55–6.
  14. ^ Buchwald, 1989, págs.31–43; Darrigol, 2012, págs.191-2.
  15. ↑ Buchwald, 1989, pág.45.
  16. ↑ Born & Wolf, 1970, págs.43,681.
  17. 1 2 Merriam-Webster, Inc., "Plano de polarización" , consultado el 15 de septiembre de 2017.
  18. ↑ Buchwald, 1989, págs.227–9.
  19. ^ A. Fresnel, "Note sur le calcul des teintes que la polarization développe dans les lames cristallisées" et seq., Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, vol. 17, págs. 102–11 (mayo de 1821), 167–96 (junio de 1821), 312–15 ("Posdata", julio de 1821); reimpreso (con números de sección añadidos) en H. de Sénarmont, E. Verdet y L. Fresnel (eds.), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , vol. 1 (1866), págs. 609–48; traducido como "Sobre el cálculo de los tintes que desarrolla la polarización en placas cristalinas, y  posdata", Zenodo : 4058004 (Creative Commons), 2021. 
  20. ↑ Darrigol, 2012, pág.212.
  21. ↑ Aldis, 1879, págs.8–9.
  22. ↑ Aldis, 1879, págs.9,20.
  23. ^ Darrigol, 2012, págs.258–60.
  24. ↑ Whittaker, 1910, págs.127,132–5.
  25. ↑ Powell, 1856, págs.4–5; Whittaker, 1910, pág.149.
  26. 1 2 G.G. Stokes, "Sobre la teoría dinámica de la difracción" (leído el 26 de noviembre de 1849), Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol.9, parte 1 (1851), pp.1–62, en pp.4–5.
  27. ↑ Powell, 1856, págs.19–20; Whittaker, 1910, págs.168–9.
  28. ↑ Whittaker, 1910, págs.169–70.
  29. ↑ JM Carcione y F. Cavallini, "Sobre la analogía acústico-electromagnética" , Wave Motion , vol.21 (1995), págs.149-162. (Nótese que la analogía de los autores es solo bidimensional).
  30. ↑ Hecht, 2017, pág.338.
  31. ↑ De hecho, este es el único contexto en el que Hecht (5.ª ed., 2017) utiliza el término plano de polarización (págs.386,392).
  32. ↑ Cf. FA Jenkins y HE White, Fundamentos de Óptica , 4.ª ed., Nueva York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-032330-5, págs. 553–4, incluyendo la Fig. 26 I .
  33. ↑ Born & Wolf, 1970, pág.43.

Bibliografía

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  • JA Stratton, 1941, Teoría electromagnética , Nueva York: McGraw-Hill.
  • ET Whittaker , 1910, Historia de las teorías del éter y la electricidad: desde la época de Descartes hasta finales del siglo XIX , Londres: Longmans, Green & Co.