Producto directo

En matemáticas , el producto directo de una colección de estructuras algebraicas (como grupos , anillos o espacios vectoriales ) es una estructura del mismo tipo construida mediante la combinación de las estructuras dadas de una manera específica, descrita a continuación. ^{[ 1 ]} Su conjunto subyacente es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de las estructuras dadas.

La suma directa de una colección de estructuras coincide con el producto directo en algunos casos, pero no en todos. Un producto directo es un ejemplo de producto en una categoría , mientras que una suma directa es un ejemplo de coproducto . ^{[ 2 ]}

• Si${\displaystyle \mathbb {R} }$se considera como el conjunto de números reales sin estructura adicional, el producto directo${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$es simplemente el producto cartesiano${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• Si${\displaystyle \mathbb {R} }$se considera como el grupo de números reales bajo la suma, el producto directo${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$todavía tiene${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$como su conjunto subyacente. La diferencia entre este y los ejemplos anteriores es que${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ahora es un grupo y por lo tanto también debe indicarse cómo agregar sus elementos. Eso se hace definiendo${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• Si${\displaystyle \mathbb {R} }$se considera como el anillo de números reales, el producto directo${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$otra vez tiene${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$como su conjunto subyacente. La estructura de anillo para${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$consiste en una suma definida por${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$y la multiplicación definida por${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• Aunque el anillo${\displaystyle \mathbb {R} }$es un campo ,${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$no es porque el elemento distinto de cero${\displaystyle (1,0)}$no tiene un inverso multiplicativo .

De manera similar, se puede hablar del producto directo de un número finito de estructuras algebraicas; por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$Eso depende de que el producto directo sea asociativo salvo isomorfismo . Es decir,${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$para cualquier estructura algebraica${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$y${\displaystyle C}$del mismo tipo. El producto directo también es conmutativo salvo isomorfismo; es decir,${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$para cualquier estructura algebraica${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$del mismo tipo. Incluso se puede hablar del producto directo de infinitas estructuras algebraicas; por ejemplo, el producto directo de una cantidad numerable de copias de${\displaystyle \mathbb {R} ,}$se escribe como${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

En teoría de grupos , defina el producto directo de dos grupos.${\displaystyle (G,\circ )}$y${\displaystyle (H,\cdot ),}$puede denotarse por${\displaystyle G\times H.}$Para los grupos abelianos que se escriben aditivamente, también se puede llamar suma directa de dos grupos , denotada por${\displaystyle G\oplus H.}$

Se define de la siguiente manera:

• el conjunto de los elementos del nuevo grupo es el producto cartesiano de los conjuntos de elementos de${\displaystyle G{\text{ y }}H,}$eso es${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• Sobre estos elementos se aplica una operación, definida elemento a elemento:$${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle (G,\circ )}$puede ser lo mismo que${\displaystyle (H,\cdot ).}$

La construcción da un nuevo grupo, que tiene un subgrupo normal que es isomorfo a${\displaystyle G}$(dado por los elementos de la forma)${\displaystyle (g,1)}$) y uno que es isomorfo a${\displaystyle H}$(que comprende los elementos${\displaystyle (1,h)}$).

Lo contrario también se cumple en el teorema de reconocimiento. Si un grupo${\displaystyle K}$contiene dos subgrupos normales${\displaystyle G{\text{ y }}H,}$de tal manera que${\displaystyle K=GH}$y la intersección de${\displaystyle G{\text{ y }}H}$contiene únicamente la identidad,${\displaystyle K}$es isomorfo a${\displaystyle G\times H.}$Una relajación de esas condiciones al requerir que solo un subgrupo sea normal da como resultado el producto semidirecto .

Por ejemplo,${\displaystyle G{\text{ y }}H}$se toman como dos copias del grupo único (salvo isomorfismos) de orden 2,${\displaystyle C^{2}:}$decir${\displaystyle \{1,a\}{\text{ y }}\{1,b\}.}$Entonces,${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$con la operación elemento por elemento. Por ejemplo,${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$y${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

Con un producto directo, se obtienen gratuitamente algunos homomorfismos de grupo naturales: los mapas de proyección definidos por$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$ se denominan funciones de coordenadas .

Además, cada homomorfismo${\displaystyle f}$El producto directo está totalmente determinado por sus funciones componentes.${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

Para cualquier grupo${\displaystyle (G,\circ )}$y cualquier número entero${\displaystyle n\geq 0,}$La aplicación repetida del producto directo da como resultado el grupo de todos${\displaystyle n}$- tuplas${\displaystyle G^{n}}$(para${\displaystyle n=0,}$ese es el grupo trivial ); por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El producto directo para módulos (que no debe confundirse con el producto tensorial ) es muy similar al que se define para grupos anteriormente mediante el uso del producto cartesiano, donde la operación de suma se realiza componente a componente, y la multiplicación escalar simplemente se distribuye sobre todos los componentes. Partiendo de${\displaystyle \mathbb {R} }$, espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se obtiene, el ejemplo prototípico de un real${\displaystyle n}$Espacio vectorial de dimensión . El producto directo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

Un producto directo para un índice finito${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$es canónicamente isomorfo a la suma directa${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$La suma directa y el producto directo no son isomorfos para índices infinitos, ya que los elementos de una suma directa son cero para todos excepto para un número finito de entradas. Son duales en el sentido de la teoría de categorías : la suma directa es el coproducto y el producto directo es el producto.

Por ejemplo, para${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$y${\textstyle Y=\bigoplus _ {i=1}^{\infty }\mathbb {R},}$el producto directo infinito y la suma directa de los números reales. Solo las secuencias con un número finito de elementos distintos de cero están en${\displaystyle Y.}$Por ejemplo,${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$está en${\displaystyle Y}$pero${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$No lo es. Ambas secuencias están en el producto directo.${\displaystyle X;}$En realidad,${\displaystyle Y}$es un subconjunto propio de${\displaystyle X}$(eso es,${\displaystyle Y\subset X}$). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El producto directo para una colección de espacios topológicos${\displaystyle X_{i}}$para${\displaystyle i}$en${\displaystyle I,}$algún conjunto de índices , una vez más hace uso del producto cartesiano $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

Definir la topología es un poco complicado. Para un número finito de factores, lo obvio y natural es simplemente tomar como base de conjuntos abiertos la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\$$ :\ U_{i}\ \mathrm {abierto\ en} \ X_{i}\right\}.}

Esa topología se llama topología de producto . Por ejemplo, definiendo directamente la topología de producto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$por los conjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} }$(uniones disjuntas de intervalos abiertos), la base de esa topología consistiría en todas las uniones disjuntas de rectángulos abiertos en el plano (resulta que coincide con la topología métrica usual).

La topología de producto para productos infinitos tiene una particularidad, que tiene que ver con la posibilidad de hacer continuas todas las proyecciones y de que todas las funciones en el producto sean continuas si y solo si todas sus funciones componentes son continuas (es decir, para satisfacer la definición categórica de producto: los morfismos aquí son funciones continuas). La base de conjuntos abiertos se toma como la colección de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, con la condición de que todos los subconjuntos abiertos, salvo un número finito, sean el factor completo: $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\$$ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}

La topología que suena más natural sería, en este caso, tomar productos de infinitos subconjuntos abiertos como antes, lo que da como resultado una topología algo interesante: la topología de caja . Sin embargo, no es demasiado difícil encontrar un conjunto de funciones componentes continuas cuya función producto no sea continua (véase la entrada aparte sobre topología de caja para un ejemplo y más). El problema que hace necesaria esta modificación radica, en última instancia, en que la intersección de conjuntos abiertos está garantizada como abierta solo para un número finito de conjuntos en la definición de topología.

Los productos (con la topología de producto) son agradables con respecto a la preservación de las propiedades de sus factores; por ejemplo, el producto de espacios de Hausdorff es de Hausdorff, el producto de espacios conexos es conexo y el producto de espacios compactos es compacto. Este último, llamado teorema de Tychonoff , es otra equivalencia con el axioma de elección .

Para obtener más información sobre propiedades y formulaciones equivalentes, consulte la topología del producto .

Sobre el producto cartesiano de dos conjuntos con relaciones binarias${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$definir${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$como${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$Si${\displaystyle R{\text{ and }}S}$son reflexivos , irreflexivos , transitivos , simétricos o antisimétricos , entonces${\displaystyle T}$también lo será. ^{[ 5 ]} De manera similar, la totalidad de${\displaystyle T}$se hereda de${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$Si se combinan las propiedades, eso también se aplica para ser un preorden y ser una relación de equivalencia . Sin embargo, si${\displaystyle R{\text{ and }}S}$son relaciones conectadas ,${\displaystyle T}$no tienen por qué estar conectados; por ejemplo, el producto directo de${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle \mathbb {N} }$con sí mismo no se relaciona${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

Si${\displaystyle \Sigma }$es una firma fija ,${\displaystyle I}$es un conjunto de índices arbitrario (posiblemente infinito), y${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$es una familia indexada de${\displaystyle \Sigma }$álgebras, el producto directo${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$es un${\displaystyle \Sigma }$Álgebra definida de la siguiente manera:

• El universo se estableció${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbf {A} }$es el producto cartesiano de los conjuntos del universo${\displaystyle A_{i}}$de${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$formalmente:${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Para cada${\displaystyle n}$y cada uno${\displaystyle n}$-ario símbolo de operación${\displaystyle f\in \Sigma ,}$su interpretación${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$en${\displaystyle \mathbf {A} }$se define componente por componente, formalmente. Para todos${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$y cada uno${\displaystyle i\in I,}$el${\displaystyle i}$el componente de${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$se define como${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

Para cada${\displaystyle i\in I,}$el${\displaystyle i}$la proyección${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$se define por${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$Es un homomorfismo sobreyectivo entre el${\displaystyle \Sigma }$álgebras${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$^{[ 6 ]}

Como caso especial, si el conjunto de índices${\displaystyle I=\{1,2\},}$el producto directo de dos${\displaystyle \Sigma }$álgebras${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$se obtiene, escrito como${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$Si${\displaystyle \Sigma }$contiene solo una operación binaria${\displaystyle f,}$La definición anterior del producto directo de grupos se obtiene utilizando la notación${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$De igual modo, la definición del producto directo de módulos queda incluida aquí.

El producto directo puede abstraerse a una categoría arbitraria . En una categoría, dada una colección de objetos${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$indexado por un conjunto${\displaystyle I}$, un producto de esos objetos es un objeto${\displaystyle A}$junto con los morfismos${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, de tal manera que si${\displaystyle B}$es cualquier otro objeto con morfismos${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, hay un morfismo único${\displaystyle B\to A}$cuya composición con${\displaystyle p_{i}}$igual${\displaystyle f_{i}}$por cada${\displaystyle i}$. Semejante${\displaystyle A}$y${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$no siempre existen. Si existen, entonces${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$es único salvo isomorfismo, y${\displaystyle A}$se denota${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$.

En el caso especial de la categoría de grupos , siempre existe un producto. El conjunto subyacente de${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de la${\displaystyle A_{i}}$, la operación de grupo es la multiplicación componente a componente, y el (homo)morfismo${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$es la proyección que envía cada tupla a su${\displaystyle i}$coordenada.

Algunos autores establecen una distinción entre un producto directo interno y un producto directo externo . Por ejemplo, si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son subgrupos de un grupo abeliano aditivo${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle A+B=G}$y${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$,${\displaystyle A\times B\cong G,}$y se dice que${\displaystyle G}$es el producto interno directo de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Para evitar ambigüedad, el conjunto${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$puede denominarse producto directo externo de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.

• Suma directa : estructura algebraica formada a partir de una colección de estructuras algebraicas. 
• Producto cartesiano : conjunto matemático formado a partir de dos conjuntos dados. 
• Anillo de productos : Anillo construido a partir de otros anillos (matemáticas). Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Coproducto – Construcción basada en la teoría de categorías 
• Producto gratuito : operación que combina grupos. 
• Producto semidirecto : operación en teoría de grupos. 
• Producto Zappa–Szep – Concepto matemático Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Producto tensorial de grafos : una operación en teoría de grafos. 
• Órdenes en el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados : orden cuyos elementos son todos comparables. 
• El producto tensorial y el producto de Kronecker también utilizan el símbolo ⊗ para producir un espacio más grande.

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556