Problema elipsoidal de Dirichlet

En astrofísica, el problema elipsoidal de Dirichlet , llamado así por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , plantea la pregunta bajo qué condiciones puede existir una configuración elipsoidal en todo momento de una masa de fluido rotatorio homogéneo en la que el movimiento, en un sistema inercial , sea una función lineal de las coordenadas. La idea básica de Dirichlet era reducir las ecuaciones de Euler a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de modo que la posición de una partícula de fluido en un elipsoide homogéneo en cualquier momento sea una función lineal y homogénea de la posición inicial de la partícula de fluido, utilizando el marco de Lagrange en lugar del marco de Euler. ^{[1] [2] [3]}

En el invierno de 1856-1857, Dirichlet encontró algunas soluciones de las ecuaciones de Euler y las presentó en sus conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales en julio de 1857 y publicó los resultados en el mismo mes. ^[4] Su trabajo quedó inacabado tras su repentina muerte en 1859, pero sus notas fueron recopiladas y publicadas por Richard Dedekind póstumamente en 1860. ^[5]

Bernhard Riemann dijo: "En su artículo póstumo, editado para su publicación por Dedekind, Dirichlet ha abierto, de una manera extraordinaria, una vía completamente nueva para las investigaciones sobre el movimiento de un elipsoide homogéneo autogravitante. El desarrollo posterior de su hermoso descubrimiento tiene un interés particular para el matemático, incluso al margen de su relevancia para las formas de los cuerpos celestes que inicialmente instigaron estas investigaciones".

El problema de Dirichlet fue generalizado por Bernhard Riemann en 1860 ^[6] y por Norman R. Lebovitz en forma moderna en 1965. ^[7] Sean los semiejes del elipsoide, que varía con el tiempo. Como el elipsoide es homogéneo, la constancia de la masa requiere la constancia del volumen del elipsoide, ${\displaystyle a_{1}(t),\a_{2}(t),\a_{3}(t)}$

${\displaystyle a_{1}(t)a_{2}(t)a_{3}(t)=a_{1}(0)a_{2}(0)a_{3}(0)}$

Lo mismo que el volumen inicial. Consideremos un sistema inercial y un sistema rotatorio , siendo la transformación lineal tal que y es claro que es ortogonal, es decir, . Podemos definir una matriz antisimétrica con esto, ${\estilo de visualización (X_{1},X_{2},X_{3})}$${\estilo de visualización (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle \mathbf {L} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {L} \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {L}}$${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {L} ^{T}=\mathbf {L} ^{T}\mathbf {L} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\mathbf {L} ^{T}}$

donde podemos escribir el dual de como (y ), donde no es nada más que la rotación dependiente del tiempo del marco giratorio con respecto al marco inercial. ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}$${\displaystyle \Omega _{ij}^{*}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{k}}$${\displaystyle 2\Omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } (t)}$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que el sistema inercial y el sistema móvil coinciden inicialmente, es decir, . Por definición, el problema de Dirichlet busca una solución que sea una función lineal de la condición inicial . Supongamos la siguiente forma, ${\displaystyle \mathbf {X} (0)=\mathbf {x} (0)}$${\displaystyle \mathbf {X} (0)=\mathbf {x} (0)}$

${\displaystyle X_{i}(t)=\sum _{j=1}^{3}P_{ij}(t){\frac {x_{j}(0)}{a_{j}(0)}}.}$

y definimos una matriz diagonal con elementos diagonales que son los semiejes del elipsoide, entonces la ecuación anterior se puede escribir en forma matricial como ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (t)=\mathbf {P} \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}$

donde . Se puede demostrar entonces que la matriz transforma el vector linealmente al mismo vector en cualquier momento posterior , es decir, . A partir de la definición de , podemos darnos cuenta de que el vector representa una normal unitaria en la superficie del elipsoide (cierto solo en el límite) ya que un elemento de fluido en la superficie se mueve con la superficie. Por lo tanto, vemos que transforma un vector unitario en el límite en otro vector unitario en el límite, en otras palabras, es ortogonal, es decir, . De manera similar a antes, podemos definir otra matriz antisimétrica como ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}=\mathbf {A} (0)}$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {L} \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} =\mathbf {S} \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}=\mathbf {S} ^{T}\mathbf {S} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}={\frac {d\mathbf {S} }{dt}}\mathbf {S} ^{T}}$,

donde su dual se define como (y ). El problema elipsoidal de Dirichlet se reduce entonces a encontrar si existe la matriz que determina el vector y que es expresable en términos de dos matrices ortogonales como en donde, además ${\displaystyle \Lambda _{ij}^{*}=\varepsilon _{ijk}\Lambda _{k}}$${\displaystyle 2\Lambda _{i}=\varepsilon _{ijk}\Lambda _{jk}^{*}}$${\displaystyle \mathbf {P} (t)}$${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {S} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {S} ,\quad {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {L} ,\quad \mathbf {S} (0)=\mathbf {L} (0)=\mathbf {I} .}$

Sea el campo de velocidad visto por el observador en reposo en el marco móvil, que puede considerarse como el movimiento interno del fluido ya que excluye la rotación uniforme vista por el observador inercial. Este movimiento interno se encuentra dado por ${\displaystyle \mathbf {u} =d\mathbf {x} /dt}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {A} ^{-1}+{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}\mathbf {A} ^{-1}\right)\mathbf {x} }$

cuyos componentes, explícitamente, están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {a_{1}}{a_{2}}}\Lambda _{3}x_{2}-{\frac {a_{1}}{a_{3}}}\Lambda _{2}x_{3}+{\frac {1}{a_{1}}}{\frac {da_{1}}{dt}}x_{1},\\u_{2}&={\frac {a_{2}}{a_{3}}}\Lambda _{1}x_{3}-{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\Lambda _{3}x_{1}+{\frac {1}{a_{2}}}{\frac {da_{2}}{dt}}x_{2},\\u_{3}&={\frac {a_{3}}{a_{1}}}\Lambda _{2}x_{1}-{\frac {a_{3}}{a_{2}}}\Lambda _{1}x_{2}+{\frac {1}{a_{3}}}{\frac {da_{3}}{dt}}x_{3}.\end{aligned}}}$

Estos tres componentes muestran que el movimiento interno se compone de dos partes: una con una vorticidad uniforme con componentes ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

${\displaystyle \zeta _{k}=-{\frac {a_{i}^{2}+a_{j}^{2}}{a_{i}a_{j}}}\Lambda _{k},\quad (i\neq j\neq k\neq i).}$

y el otro con un flujo de punto de estancamiento , es decir, . En particular, se puede ver que el significado físico de se atribuye al movimiento de vorticidad uniforme. Se descubre que la presión asume una forma cuadrática, como se deriva de la ecuación de movimiento (y utilizando la condición de desaparición en la superficie) dada por ${\displaystyle (x_{1}d\ln a_{1}/dt,x_{2}d\ln a_{2}/dt,x_{3}d\ln a_{3}/dt)}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$

${\displaystyle p=p_{c}(t)\left(1-\sum _{i=1}^{3}{\frac {x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}}\right)}$

donde es la presión central, de modo que . Sustituyendo esto nuevamente en la ecuación de movimiento, obtenemos ${\displaystyle p_{c}(t)}$${\displaystyle \nabla p=-2p_{c}\mathbf {A} ^{-2}\mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathbf {A} }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dt}}(\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}-\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {A} )+{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}\mathbf {\Lambda } ^{*}-\mathbf {\Omega } ^{*}{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}+\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*2}+\mathbf {\Omega } ^{*2}\mathbf {A} -2\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}\\[8pt]={}&{-2}\pi G\rho \mathbf {B} \mathbf {A} +{\frac {2p_{c}}{\rho }}\mathbf {A} ^{-1}\end{aligned}}}$

donde es la constante gravitacional y es la matriz diagonal, cuyos elementos diagonales están dados por ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle B_{i}=a_{1}a_{2}a_{3}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a_{i}^{2}+u)\Delta }},\quad \Delta ^{2}=(a_{1}^{2}+u)(a_{2}^{2}+u)(a_{3}^{2}+u).}$

La ecuación del momento tensorial y la ecuación de conservación de la masa, es decir, nos proporciona diez ecuaciones para las diez incógnitas,${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}=a_{1}(0)a_{2}(0)a_{3}(0)}$${\displaystyle a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ p_{c},\ \mathbf {\Lambda } ,\ \mathbf {\Omega } .}$

Se afirma que si un movimiento determinado por es admisible en las condiciones del problema de Dirichlet, entonces el movimiento determinado por la transpuesta de también es admisible.${\displaystyle \mathbf {X} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$ En otras palabras, el teorema puede enunciarse como que para cualquier estado de movimientos que conserve una figura elipsoidal, existe un estado adjunto de movimientos que conserva la misma figura elipsoidal .

Al tomar la transposición de la ecuación del momento tensorial, se ve que los roles de y están intercambiados. Si hay una solución para , entonces para el mismo , existe otra solución con el rol de y intercambiado. Pero intercambiar y es equivalente a reemplazar por . Las siguientes relaciones confirman la afirmación anterior. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {A} ,\ \mathbf {\Lambda } ^{*},\ \mathbf {\Omega } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {P} ^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {S} }$

donde, más allá

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {S} ,\quad {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {L} ,\quad {\text{and}}\quad \mathbf {S} (0)=\mathbf {L} (0)=\mathbf {I} .}$

La configuración típica de este teorema es el elipsoide de Jacobi y su adjunto se llama elipsoide de Dedekind, en otras palabras, ambos elipsoides tienen la misma forma, pero sus movimientos de fluidos internos son diferentes.

La ecuación del momento tensorial admite tres integrales, en lo que respecta a la conservación de la energía, el momento angular y la circulación. La integral de energía es ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {da_{i}}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j\neq k}(\Lambda _{i}^{2}+\Omega _{i}^{2})(a_{j}^{2}+a_{k}^{2})-2\sum _{i\neq j\neq k}a_{i}a_{j}\Lambda _{k}\Omega _{k}-2\pi G\rho I={\text{constant}}}$

dónde

${\displaystyle I=a_{1}a_{2}a_{3}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{\Delta }}.}$

A continuación, tenemos la integral

${\displaystyle \sum _{i\neq j\neq k}[(a_{i}^{2}+a_{j}^{2})\Omega _{k}-2a_{i}a_{j}\Lambda _{k}]^{2}={\text{constant}}}$

lo que significa la conservación de , donde los componentes del momento angular están dados por ${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}$

${\displaystyle L_{i}={\frac {M}{5}}[(a_{j}^{2}+a_{k}^{2})\Omega _{i}-2a_{j}a_{k}\Lambda _{i}],\quad i\neq j\neq k}$

donde es la masa total. Como el problema es invariante al intercambio de y , de la integral anterior, obtenemos ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}$

${\displaystyle \sum _{i\neq j\neq k}[(a_{i}^{2}+a_{j}^{2})\Lambda _{k}-2a_{i}a_{j}\Omega _{k}]^{2}=\sum _{i\neq j\neq k}a_{i}^{2}a_{j}^{2}(2\Omega _{k}+\zeta _{k})^{2}={\text{constant}}}$

donde sustituimos la fórmula por en términos del vector de vorticidad . Esta integral significa la conservación de , donde los componentes de circulación (en el marco inercial) están dados por ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle \mathbf {\Gamma } ^{2}}$

${\displaystyle \Gamma _{k}=\pi a_{i}a_{j}(2\Omega _{k}+\zeta _{k}),\quad i\neq j\neq k.}$

• Elipsoide de Maclaurin
• Elipsoide de Jacobi