Prueba de Dirichlet

En matemáticas , la prueba de Dirichlet es un método para comprobar la convergencia de una serie . Recibe su nombre en honor a su autor, Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y se publicó póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862. ^[1]

La prueba establece que si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle (a_{n})}$es monótono
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$
• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$para cada entero positivo N

donde M es alguna constante, entonces la serie

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$$

converge.

Sea y . ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$

De la suma por partes , tenemos que . Como está acotado por M y , el primero de estos términos tiende a cero, ya que . ${\textstyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle a_{n}\to 0}$${\displaystyle a_{n}B_{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$

Tenemos, para cada k , . ${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|}$

Como es monótona, es decreciente o creciente: ${\displaystyle (a_{n})}$

• Si es decreciente, lo cual es una suma telescópica que es igual a y, por lo tanto, se aproxima a . Por lo tanto, converge. ${\displaystyle (a_{n})}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$${\displaystyle M(a_{1}-a_{n+1})}$${\displaystyle Ma_{1}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$
• Si es creciente, lo que nuevamente es una suma telescópica que es igual a y, por lo tanto, se aproxima a . Por lo tanto, nuevamente, converge. ${\displaystyle (a_{n})}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$${\displaystyle -M(a_{1}-a_{n+1})}$${\displaystyle -Ma_{1}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$

Por lo tanto, la serie converge, según la prueba de convergencia absoluta . Por lo tanto, converge. ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$${\displaystyle S_{n}}$

Un caso particular de la prueba de Dirichlet es la prueba de series alternadas, más comúnmente utilizada para el caso $${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.}$$

Otro corolario es que converge siempre que es una sucesión decreciente que tiende a cero. Para ver que está acotada, podemos utilizar la fórmula de suma ^[2]${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n=\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{in}-e^{-in}}{2i}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}(e^{i})^{n}-\sum _{n=1}^{N}(e^{-i})^{n}}{2i}}={\frac {\sin 1+\sin N-\sin(N+1)}{2-2\cos 1}}.}$$

Se demuestra una afirmación análoga para la convergencia de integrales impropias utilizando la integración por partes . Si la integral de una función f está uniformemente acotada en todos los intervalos y g es una función monótonamente decreciente no negativa , entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.

• Hardy, GH, Un curso de matemáticas puras , Novena edición, Cambridge University Press, 1946. (págs. 379–380).
• Voxman, William L., Cálculo avanzado: una introducción al análisis moderno , Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X . 

• PlanetMath.org