Función L de Dirichlet

En matemáticas , una serie L de Dirichlet es una función de la forma

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$$

dónde${\displaystyle \chi }$es un personaje de Dirichlet y${\displaystyle s}$una variable compleja con parte real mayor que${\displaystyle 1}$Es un caso especial de una serie de Dirichlet . Mediante continuación analítica , se puede extender a una función meromorfa en todo el plano complejo ; entonces se la denomina función L de Dirichlet .

Estas funciones reciben su nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, quien las introdujo en 1837 ^{[ 1 ]} para probar su teorema sobre los números primos en progresiones aritméticas . En su demostración, Dirichlet mostró que${\displaystyle L(s,\chi )}$es distinto de cero en${\displaystyle s=1}$. Además, si${\displaystyle \chi }$es principal, entonces la función L de Dirichlet correspondiente tiene un polo simple en${\displaystyle s=1}$. De lo contrario, la función L es completa .

Dado que un personaje de Dirichlet${\displaystyle \chi }$es completamente multiplicativa , su función L también puede escribirse como un producto de Euler en el semiplano de convergencia absoluta : $${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ para }}{\text{Re}}(s)>1,}$$ donde el producto se realiza sobre todos los números primos . ^{[ 2 ]}

Los resultados sobre las funciones L a menudo se enuncian de forma más sencilla si se supone que el carácter es primitivo, aunque los resultados normalmente se pueden extender a caracteres imprimitivos con pequeñas complicaciones. ^{[ 3 ]} Esto se debe a la relación entre un carácter imprimitivo${\displaystyle \chi }$y el carácter primitivo${\displaystyle \chi ^{\star }}$lo cual lo induce: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \chi (n)={\begin{casos}\chi ^{\star }(n)&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1,\\\;\;\;0&\mathrm {de lo contrario}.\end{casos}}}$$ (Aquí,${\displaystyle q}$es el módulo de${\displaystyle \chi }$.) Una aplicación del producto de Euler da una relación simple entre las funciones L correspondientes : ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right).}$$ Por continuación analítica, esta fórmula se cumple para todos los complejos.${\displaystyle s}$, aunque el producto de Euler solo es válido cuando${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$. La fórmula muestra que la función L de${\displaystyle \chi }$es igual a la función L del carácter primitivo que induce${\displaystyle \chi }$, multiplicado por un número finito de factores. ^{[ 7 ]}

Como caso especial, la función L del carácter principal${\displaystyle \chi _{0}}$módulo${\displaystyle q}$puede expresarse en términos de la función zeta de Riemann : ^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s}).}$$

Las funciones L de Dirichlet satisfacen una ecuación funcional , que proporciona una forma de continuarlas analíticamente a lo largo del plano complejo. La ecuación funcional relaciona los valores de${\displaystyle L(s,\chi )}$a los valores de${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$.

Dejar${\displaystyle \chi }$ser un carácter primitivo módulo${\displaystyle q}$, dónde${\displaystyle q>1}$. Una forma de expresar la ecuación funcional es como ^{[ 10 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}),}$$ dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma ,${\displaystyle \delta \in \{0,1\}}$de tal manera que${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$, y $${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}},}$$ dónde${\displaystyle \tau (\chi )}$es la suma de Gauss$${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$$ Es una propiedad de las sumas de Gauss que${\displaystyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q}}}$, entonces${\displaystyle |W(\chi )|=1}$. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Otra ecuación funcional es $${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ),}$$ que se puede expresar como ^{[ 10 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$$

Esto implica que${\displaystyle L(s,\chi )}$y${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$son funciones enteras de${\displaystyle s}$. Nuevamente, esto supone que${\displaystyle \chi }$es carácter primitivo módulo${\displaystyle q}$con${\displaystyle q>1}$. Si ${\displaystyle q=1}$, entonces${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$tiene un poste en${\displaystyle s=1}$. ^{[ 10 ] [ 12 ]}

Para generalizaciones , consulte el artículo sobre ecuaciones funcionales de funciones L.

Dejar${\displaystyle \chi }$ser un carácter primitivo módulo${\displaystyle q}$, con${\displaystyle q>1}$.

No hay ceros de${\displaystyle L(s,\chi )}$con${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$. Para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$, hay ceros en ciertos números enteros negativos${\displaystyle s}$:

• Si${\displaystyle \chi (-1)=1}$, los únicos ceros de${\displaystyle L(s,\chi )}$con${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$son ceros simples en${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$También hay un cero en${\displaystyle s=0}$cuando${\displaystyle \chi }$no es principal. Estos corresponden a los polos de${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$. ^{[ 13 ]}
• Si${\displaystyle \chi (-1)=-1}$, entonces los únicos ceros de${\displaystyle L(s,\chi )}$con${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$son ceros simples en${\displaystyle -1,-3,-5,\dots }$Estos corresponden a los polos de${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$. ^{[ 13 ]}

Estos se denominan ceros triviales. ^{[ 10 ]}

Los ceros restantes se encuentran en la franja crítica.${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$y se denominan ceros no triviales. Los ceros no triviales son simétricos respecto a la línea crítica.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$. Es decir, si${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$, entonces${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$también debido a la ecuación funcional. Si${\displaystyle \chi }$es un carácter real, entonces los ceros no triviales también son simétricos con respecto al eje real, pero no si${\displaystyle \chi }$es un carácter complejo. La hipótesis generalizada de Riemann es la conjetura de que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$. ^{[ 10 ]}

Hasta la posible existencia de un cero de Siegel , regiones libres de ceros que incluyen y más allá de la línea${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1}$Se sabe que existen funciones similares a la función zeta de Riemann para todas las funciones L de Dirichlet : por ejemplo, para${\displaystyle \chi }$un carácter no real del módulo${\displaystyle q}$, tenemos

$${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$$

para${\displaystyle \beta +i\gamma }$un cero no real. ^{[ 14 ]}

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como combinaciones lineales de la función zeta de Hurwitz en valores racionales. Fijando un número entero${\displaystyle k\geq 1}$, funciones L de Dirichlet para caracteres módulo${\displaystyle k}$son combinaciones lineales con coeficientes constantes de la${\displaystyle \zeta (s,a)}$dónde${\displaystyle a=r/k}$y${\displaystyle r=1,2,\dots ,k}$Esto significa que la función zeta de Hurwitz para racional${\displaystyle a}$tiene propiedades analíticas que están estrechamente relacionadas con las funciones L de Dirichlet . Específicamente, si${\displaystyle \chi }$es un carácter módulo${\displaystyle k}$, podemos escribir su función L de Dirichlet como ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$$

• Hipótesis generalizada de Riemann
• Función L
• Teorema de modularidad
• Conjetura de Artin
• Valores especiales de las funciones L

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001  
• Apostol, TM (2010), "Función L de Dirichlet" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Davenport, H. (2000). Teoría multiplicativa de números (3.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, PGL (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Alaska. Wiss. Berlín . 48 .
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría moderna de números (2.ª  ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan , Robert C. (2006). Teoría multiplicativa de números. I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol.  97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana. Vol.  53. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana.
• "Función L de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]