prueba de Dirichlet-Jordan

En matemáticas , la prueba de Dirichlet-Jordan proporciona condiciones suficientes para una función periódica de valor complejo .${\displaystyle f}$es igual a la suma de su serie de Fourier en un punto de continuidad. Además, también se determina el comportamiento de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad (es el punto medio de los valores de la discontinuidad). Es una de las muchas condiciones para la convergencia de las series de Fourier .

La prueba original fue establecida por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1829, ^{[ 1 ]} para funciones monótonas a trozos (funciones con un número finito de secciones por período, cada una de las cuales es monótona). Fue extendida a finales del siglo XIX por Camille Jordan a funciones de variación acotada en cada período (cualquier función de variación acotada es la diferencia de dos funciones monótonamente crecientes). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dejar${\displaystyle f(x)}$sea ​​una función integrable de valor complejo en el intervalo${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$y las sumas parciales de sus series de Fourier${\displaystyle S_{n}f(x)}$, dado por $${\displaystyle S_{n}f(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$$ con coeficientes de Fourier${\displaystyle c_{k}}$definido como $${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx.}$$ La prueba de Dirichlet-Jordan establece que si${\displaystyle f}$es de variación limitada , entonces para cada${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]}$el límite${\displaystyle S_{n}f(x)}$existe y es igual a ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ Alternativamente, la prueba de Jordan establece que si${\displaystyle f\in L^{1}}$es de variación limitada en un vecindario de${\displaystyle x}$, entonces el límite de${\displaystyle S_{n}f(x)}$existe y converge de manera similar. ^{[ 6 ]}

Si, además,${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle x}$, entonces $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).}$$ Además, si${\displaystyle f}$es continuo en cada punto de${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, entonces la convergencia es uniforme en lugar de ser solo puntual .

La afirmación análoga se mantiene independientemente de la elección del período de${\displaystyle f}$o qué versión de la serie de Fourier se elige.

Para la transformada de Fourier en la recta real, también existe una versión de la prueba. ^{[ 7 ]} Supongamos que${\displaystyle f(x)}$está en${\displaystyle L^{1}(-\infty,\infty)}$y de variación limitada en un entorno del punto${\displaystyle x}$. Entonces $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{M\to \infty }\int _{0}^{M}du\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos u(xt)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ Si${\displaystyle f}$es continua en un intervalo abierto, entonces la integral del lado izquierdo converge uniformemente en el intervalo, y el límite del lado derecho es${\displaystyle f(x)}$.

Esta versión de la prueba (aunque no satisface las exigencias modernas de rigor) es históricamente anterior a la de Dirichlet, ya que se debe a Joseph Fourier . ^{[ 2 ]}

En el procesamiento de señales , la prueba a menudo se conserva en su forma original debido a Dirichlet: ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} una función periódica acotada monótona por partes${\displaystyle f}$(que tiene un número finito de intervalos monótonos por período) tiene una serie de Fourier convergente cuyo valor en cada punto es la media aritmética de los límites izquierdo y derecho de la función. La condición de monotonicidad por partes estipula tener solo un número finito de extremos locales por período, lo que implica${\displaystyle f}$es de variación limitada (aunque lo contrario no es cierto). ^{[ 2 ]} (Dirichlet requería además que la función tuviera solo un número finito de discontinuidades, pero esta restricción es innecesariamente estricta. ^{[ 11 ]} ) Cualquier señal que pueda producirse físicamente en un laboratorio satisface estas condiciones. ^{[ 12 ]}

Como en el caso puntual de la prueba de Jordan, la condición de acotación se puede relajar si se supone que la función es absolutamente integrable (es decir,${\displaystyle L^{1}}$) durante un período, siempre que satisfaga las demás condiciones de la prueba en una vecindad del punto${\displaystyle x}$donde se toma el límite. ^{[ 13 ]}

• Prueba de Dini

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