Función de resumen del divisor

En teoría de números , la función sumatoria del divisor es una función que es una suma sobre la función divisor . Aparece frecuentemente en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Los diversos estudios del comportamiento de la función divisor se denominan a veces problemas del divisor .

La función sumatoria del divisor se define como

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

dónde

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

es la función divisor . La función divisor cuenta el número de maneras en que el entero n puede escribirse como producto de dos enteros. De manera más general, se define

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

donde d _k ( n ) cuenta el número de maneras en que n puede escribirse como un producto de k números. Esta cantidad puede visualizarse como el número de puntos de la red delimitados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Así, para k = 2, D ( x ) = D ₂ ( x ) cuenta el número de puntos en una red cuadrada delimitada a la izquierda por el eje vertical, en la parte inferior por el eje horizontal y en la parte superior derecha por la hipérbola jk  = x . Aproximadamente, esta forma puede visualizarse como un simplex hiperbólico . Esto nos permite proporcionar una expresión alternativa para D ( x ) y una forma sencilla de calcularlo en ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$tiempo:

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$, dónde${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

Si en este contexto la hipérbola se reemplaza por un círculo, entonces determinar el valor de la función resultante se conoce como el problema del círculo de Gauss .

Secuencia de D ( n ) (secuencia A006218 en el OEIS ) : 0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Encontrar una forma cerrada para esta expresión sumada parece estar más allá de las técnicas disponibles, pero es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie viene dado por

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni y el término de error es

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

Aquí,${\displaystyle O}$denota la notación Big-O . Esta estimación se puede demostrar utilizando el método de la hipérbola de Dirichlet , y fue establecida por primera vez por Dirichlet en 1849. ^{[ 1 ] : 37–38, 69} El problema del divisor de Dirichlet , enunciado con precisión, consiste en mejorar esta cota de error encontrando el valor más pequeño de${\displaystyle \theta }$para qué

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

Esto es cierto para todos.${\displaystyle \epsilon >0}$Hasta la fecha, este problema sigue sin resolverse. El progreso ha sido lento. Muchos de los mismos métodos funcionan para este problema y para el problema del círculo de Gauss , otro problema de conteo de puntos reticulares . La sección F1 de Problemas sin resolver en teoría de números ^{[ 2 ]} analiza lo que se sabe y lo que se desconoce sobre estos problemas.

• En 1904, G. Voronoi demostró que el término de error puede mejorarse a${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$^{[ 3 ] : 381}
• En 1916, GH Hardy demostró que${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$. En particular, demostró que para alguna constante${\displaystyle K}$, existen valores arbitrariamente grandes de x para los cuales${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$y valores arbitrariamente grandes de x para los cuales${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$. ^{[ 1 ] : 69}
• En 1922, J. van der Corput mejoró la cota de Dirichlet a${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1928, van der Corput demostró que${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1950, Chih Tsung-tao e independientemente en 1953 HE Richert demostraron que${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1969, Grigori Kolesnik demostró que${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1973, Kolesnik demostró que${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1982, Kolesnik demostró que${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$. ^{[ 3 ] : 381}
• En 1988, H. Iwaniec y C.J. Mozzochi demostraron que${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$. ^{[ 4 ]}
• En 2003, MN Huxley mejoró esto para demostrar que${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$. ^{[ 5 ]}

Entonces,${\displaystyle \inf \theta }$se encuentra en algún punto entre 1/4 y 131/416 (aprox. 0,3149); se conjetura ampliamente que es 1/4. La evidencia teórica da crédito a esta conjetura, ya que${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$tiene una distribución límite (no gaussiana). ^{[ 6 ]} El valor de 1/4 también se derivaría de una conjetura sobre pares de exponentes . ^{[ 7 ]}

En el caso generalizado, uno tiene

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

dónde${\displaystyle P_{k}}$es un polinomio de grado${\displaystyle k-1}$Utilizando estimaciones sencillas, se demuestra fácilmente que

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

para entero${\displaystyle k\geq 2}$. Como en el${\displaystyle k=2}$En este caso, el ínfimo del límite no se conoce para ningún valor de${\displaystyle k}$El cálculo de estos ínfimos se conoce como el problema del divisor de Piltz, en honor al matemático alemán Adolf Piltz (véase también su página en alemán). Definiendo el orden${\displaystyle \alpha _{k}}$como el valor más pequeño para el cual${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$se sostiene, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$, se obtienen los siguientes resultados (nótese que${\displaystyle \alpha _{2}}$es el${\displaystyle \theta }$de la sección anterior):

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^{[ 8 ]} y ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• EC Titchmarsh conjetura que${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Ambas partes pueden expresarse como transformadas de Mellin :

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

para${\displaystyle c>1}$. Aquí,${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann . De manera similar, se tiene

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

con${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$. El término principal de${\displaystyle D(x)}$se obtiene desplazando el contorno más allá del doble polo en${\displaystyle w=1}$: el término principal es simplemente el residuo , según la fórmula integral de Cauchy . En general, se tiene

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

y asimismo para${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$, para${\displaystyle k\geq 2}$.

• HM Edwards , La función zeta de Riemann , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• EC Titchmarsh, La teoría de la función zeta de Riemann , (1951) Oxford en Clarendon Press, Oxford. (Véase el capítulo 12 para un análisis del problema generalizado del divisor).
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001  (Proporciona una introducción al problema del divisor de Dirichlet).
• HE Rose. Un curso de teoría de números. Oxford, 1988.
• MN Huxley (2003) 'Sumas exponenciales y puntos reticulares III', Proc. London Math. Soc. (3)87: 591–609