energía de Dirichlet

En matemáticas , la energía de Dirichlet es una medida de la variabilidad de una función . De forma más abstracta, es un funcional cuadrático en el espacio de Sobolev H ¹ . La energía de Dirichlet está íntimamente ligada a la ecuación de Laplace y recibe su nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Dado un conjunto abierto Ω ⊆ R ⁿ y una función diferenciable u  : Ω → R , la energía de Dirichlet de la función u es el número real 

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}$

donde ∇ u  : Ω → R ⁿ denota el campo vectorial gradiente de la función u . 

Dado que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet es en sí misma no negativa, es decir, E [ u ] ≥ 0 para toda función u . 

Resolver la ecuación de Laplace${\displaystyle -\Delta u(x)=0}$a pesar de${\displaystyle x\in \Omega }$, sujeto a las condiciones de contorno apropiadas , es equivalente a resolver el problema variacional de encontrar una función u que satisfaga las condiciones de contorno y tenga una energía de Dirichlet mínima. 

Dicha solución se denomina función armónica y estas soluciones son objeto de estudio en la teoría del potencial .

En un contexto más general, donde Ω ⊆ R ⁿ se reemplaza por cualquier variedad riemanniana M , y u  : Ω → R se reemplaza por u  : M → Φ para otra variedad riemanniana (diferente) Φ , la energía de Dirichlet viene dada por el modelo sigma . Las soluciones a las ecuaciones de Lagrange para el lagrangiano del modelo sigma son aquellas funciones u que minimizan/maximizan la energía de Dirichlet. Restringir este caso general al caso específico de u  : Ω → R simplemente muestra que las ecuaciones de Lagrange (o, equivalentemente, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi ) proporcionan las herramientas básicas para obtener soluciones extremas.

• Principio de Dirichlet : concepto en la teoría del potencial. 
• Autovalor de Dirichlet : modos de vibración en matemáticas 
• Variación total : medida del comportamiento de oscilación local. 
• Oscilación media acotada – Función de valor real 
• Mapa armónico : un concepto matemático. 
• Capacidad de un conjunto : en el espacio euclidiano, una medida del "tamaño" de ese conjunto. 

• Lawrence C. Evans (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0821807729.