Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Función eta de Dirichlet

Representación cromática de la función eta de Dirichlet. Se genera como un gráfico de Matplotlib utilizando una versión del método de coloración de dominio . [ 1 ] En matemática...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Representación cromática de la función eta de Dirichlet. Se genera como un gráfico de Matplotlib utilizando una versión del método de coloración de dominio . [ 1 ]

En matemáticas , en el área de la teoría analítica de números , la función eta de Dirichlet se define mediante la siguiente serie de Dirichlet , que converge para cualquier número complejo cuya parte real sea mayor que cero: η(s)=∑norte=1∞(−1)norte−1nortes=11s−12s+13s−14s+⋯.{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .}

Esta serie de Dirichlet es la suma alternada correspondiente al desarrollo en serie de Dirichlet de la función zeta de Riemann , ζ ( s ), y por esta razón la función eta de Dirichlet también se conoce como función zeta alternada , también denotada ζ *( s ). Se cumple la siguiente relación: η(s)=(1−21−s)ζ(s){\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}

Tanto la función eta de Dirichlet como la función zeta de Riemann son casos especiales de polilogaritmos .

Si bien la expansión en serie de Dirichlet para la función eta es convergente solo para cualquier número complejo s con parte real > 0, es sumable de Abel para cualquier número complejo. Esto sirve para definir la función eta como una función entera .

De forma equivalente, podemos comenzar definiendo η(s)=1Γ(s)∫0∞incógnitas−1miincógnita+1dincógnita{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}} que también se define en la región de parte real positiva (Γ(s){\displaystyle \Gamma (s)}representa la función gamma ). Esto da la función eta como una transformada de Mellin .

Hardy dio una demostración simple de la ecuación funcional para la función eta, [ 2 ] que es η(−s)=21−2−s−11−2−sπ−s−1specado⁡(πs2)Γ(s)η(s+1).{\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}

A partir de esto, se obtiene inmediatamente la ecuación funcional de la función zeta, así como otro medio para extender la definición de eta a todo el plano complejo.

Ceros

Los ceros de la función eta incluyen todos los ceros de la función zeta: los enteros pares negativos (ceros simples equidistantes reales); los ceros a lo largo de la línea crítica, ninguno de los cuales se sabe que sea múltiple y más del 40% de los cuales se ha demostrado que son simples, y los hipotéticos ceros en la franja crítica pero no en la línea crítica, que si existen deben ocurrir en los vértices de rectángulos simétricos alrededor del eje x y la línea crítica y cuya multiplicidad es desconocida. Además, el factor1−21−s{\displaystyle 1-2^{1-s}}agrega un número infinito de ceros simples complejos, ubicados en puntos equidistantes en la líneaℜ(s)=1{\displaystyle \Re (s)=1}⁠ , ensnorte=1+2norteπi/ln⁡(2){\displaystyle s_{n}=1+2n\pi i/\ln(2)}donde n es cualquier número entero distinto de cero .

Los ceros de la función eta se ubican simétricamente con respecto al eje real y, según la hipótesis de Riemann, estarían sobre dos líneas paralelas.ℜ(s)=1/2,ℜ(s)=1{\displaystyle \Re (s)=1/2,\Re (s)=1}y en la semirrecta perpendicular formada por el eje real negativo.

El problema de Landau

En la ecuación η ( s ) = (1 − 2 1− s ) ζ ( s ) , "el polo de ζ ( s ) en s = 1 se cancela con el cero del otro factor" (Titchmarsh, 1986, p.  17), y como resultado η (1) no es ni infinito ni cero (véase §  Valores particulares ). Sin embargo, en la ecuación ζ(s)=η(s)1−21−s,{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},}η debe ser cero en todos los puntos .snorte=1+norte2πln⁡2i,norte≠0,norte∈Z{\displaystyle s_{n}=1+n{\frac {2\pi }{\ln {2}}}i,n\neq 0,n\in \mathbb {Z} }donde el denominador es cero, si la función zeta de Riemann es analítica y finita allí. El problema de demostrar esto sin definir primero la función zeta fue señalado y dejado abierto por E. Landau en su tratado de 1909 sobre teoría de números: "Si la serie eta es diferente de cero o no en los puntossnorte≠1{\displaystyle s_{n}\neq 1}Es decir, si se trata de polos de zeta o no, no resulta evidente aquí."

Una primera solución al problema de Landau fue publicada casi 40 años después por DV Widder en su libro La transformada de Laplace . Utiliza el siguiente primo 3 en lugar de 2 para definir una serie de Dirichlet similar a la función eta, que llamaremos laλ{\displaystyle \lambda }función, definida paraℜ(s)>0{\displaystyle \Re (s)>0}y con algunos ceros también enℜ(s)=1{\displaystyle \Re (s)=1}⁠ , pero no iguales a los de eta.

Demostración indirecta de η ( s n ) = 0 según Widder

λ(s)=(1−33s)ζ(s)=(1+12s)−23s+(14s+15s)−26s+⋯{\displaystyle \lambda (s)=\left(1-{\frac {3}{3^{s}}}\right)\zeta (s)=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)-{\frac {2}{3^{s}}}+\left({\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\right)-{\frac {2}{6^{s}}}+\cdots }

Sis{\displaystyle s}es real y estrictamente positivo, la serie converge ya que los términos reagrupados alternan en signo y disminuyen en valor absoluto a cero. Según un teorema sobre la convergencia uniforme de las series de Dirichlet demostrado por primera vez por Cahen en 1894, laλ(s){\displaystyle \lambda (s)}La función es entonces analítica paraℜ(s)>0{\displaystyle \Re (s)>0}⁠ , una región que incluye la línea ⁠ℜ(s)=1{\displaystyle \Re (s)=1}⁠ . Ahora podemos definir correctamente, donde los denominadores no son cero, ζ(s)=η(s)1−22s{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}} o ζ(s)=λ(s)1−33s{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\lambda (s)}{1-{\frac {3}{3^{s}}}}}}

Desderegistro⁡3registro⁡2{\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}}es irracional, los denominadores en las dos definiciones no son cero al mismo tiempo excepto pors=1{\displaystyle s=1}y elζ(s){\displaystyle \zeta (s)\,}La función está, por lo tanto, bien definida y analítica paraℜ(s)>0{\displaystyle \Re (s)>0}excepto ens=1{\displaystyle s=1}Finalmente obtenemos indirectamente queη(snorte)=0{\displaystyle \eta (s_{n})=0}cuandosnorte≠1{\displaystyle s_{n}\neq 1}: η(snorte)=(1−22snorte)ζ(snorte)=1−22snorte1−33snorteλ(snorte)=0.{\displaystyle \eta (s_{n})=\left(1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}\right)\zeta (s_{n})={\frac {1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{\frac {3}{3^{s_{n}}}}}}\lambda (s_{n})=0.}

Un directo elemental yζ{\displaystyle \zeta }-prueba independiente de la desaparición de la función eta ensnorte≠1{\displaystyle s_{n}\neq 1}fue publicado por J. Sondow en 2003. Expresa el valor de la función eta como el límite de sumas de Riemann especiales asociadas a una integral que se sabe que es cero, utilizando una relación entre las sumas parciales de la serie de Dirichlet que define las funciones eta y zeta paraℜ(s)>1{\displaystyle \Re (s)>1}.

Demostración directa de η ( s n ) = 0 por Sondow

Con un poco de álgebra simple aplicada a sumas finitas, podemos escribir para cualquier s complejoη2norte(s)=∑k=12norte(−1)k−1ks=1−12s+13s−14s+⋯+(−1)2norte−1(2norte)s=1+12s+13s+14s+⋯+1(2norte)s−2(12s+14s+⋯+1(2norte)s)=(1−22s)ζ2norte(s)+22s(1(norte+1)s+⋯+1(2norte)s)=(1−22s)ζ2norte(s)+2norte(2norte)s1norte(1(1+1/norte)s+⋯+1(1+norte/norte)s).{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{2n}(s)&=\sum _{k=1}^{2n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}\\&=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}\\[2pt]&=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2\left({\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2}{2^{s}}}\left({\frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2n}{{(2n)}^{s}}}\,{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}\right).\end{aligned}}}

Ahora bien, sis=1+it{\displaystyle s=1+it}y2s=2{\displaystyle 2^{s}=2}, el factor multiplicadorζ2norte(s){\displaystyle \zeta _{2n}(s)}es cero y η2norte(s)=1norteitRnorte(1(1+incógnita)s,0,1),{\displaystyle \eta _{2n}(s)={\frac {1}{n^{it}}}R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right),} donde R n ( f ( x ), a , b ) denota una suma de Riemann especial que aproxima la integral de f ( x ) sobre [ a , b ] . Para t = 0 ie, s = 1 , obtenemos η(1)=límitenorte→∞η2norte(1)=límitenorte→∞Rnorte(11+incógnita,0,1)=∫01dincógnita1+incógnita=registro⁡2≠0.{\displaystyle \eta (1)=\lim _{n\to \infty }\eta _{2n}(1)=\lim _{n\to \infty }R_{n}\left({\frac {1}{1+x}},0,1\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\log 2\neq 0.}

De lo contrario, sit≠0{\displaystyle t\neq 0}, entonces|norte1−s|=|norte−it|=1{\displaystyle |n^{1-s}|=|n^{-it}|=1}, lo que produce |η(s)|=límitenorte→∞|η2norte(s)|=límitenorte→∞|Rnorte(1(1+incógnita)s,0,1)|=|∫01dincógnita(1+incógnita)s|=|21−s−11−s|=|1−1−it|=0.{\displaystyle |\eta (s)|=\lim _{n\to \infty }|\eta _{2n}(s)|=\lim _{n\to \infty }\left|R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right)\right|=\left|\int _{0}^{1}{\frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}\right|=\left|{\frac {2^{1-s}-1}{1-s}}\right|=\left|{\frac {1-1}{-it}}\right|=0.}

Arroganteη(snorte)=0{\displaystyle \eta (s_{n})=0}, para cada puntosnorte≠1{\displaystyle s_{n}\neq 1}dónde2snorte=2{\displaystyle 2^{s_{n}}=2}, ahora podemos definirζ(snorte){\displaystyle \zeta (s_{n})\,}por continuidad de la siguiente manera, ζ(snorte)=límites→snorteη(s)1−22s=límites→snorteη(s)−η(snorte)22snorte−22s=límites→snorteη(s)−η(snorte)s−snortes−snorte22snorte−22s=η′(snorte)registro⁡(2).{\displaystyle \zeta (s_{n})=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}}\,{\frac {s-s_{n}}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}={\frac {\eta '(s_{n})}{\log(2)}}.}

La aparente singularidad de zeta ensnorte≠1{\displaystyle s_{n}\neq 1}Ahora se elimina y se demuestra que la función zeta es analítica en todas partes.ℜs>0{\displaystyle \Re {s}>0}, excepto ens=1{\displaystyle s=1}dónde límites→1(s−1)ζ(s)=límites→1η(s)1−21−ss−1=η(1)registro⁡2=1.{\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=\lim _{s\to 1}{\frac {\eta (s)}{\frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={\frac {\eta (1)}{\log 2}}=1.}

Representaciones integrales

Se pueden enumerar varias fórmulas integrales que involucran la función eta. La primera se deriva de un cambio de variable de la representación integral de la función Gamma (Abel, 1823), dando una transformada de Mellin que puede expresarse de diferentes maneras como una integral doble (Sondow, 2005). Esto es válido paraℜs>0.{\displaystyle \Re s>0.}Γ(s)η(s)=∫0∞incógnitas−1miincógnita+1dincógnita=∫0∞∫0incógnitaincógnitas−2miincógnita+1dydincógnita=∫0∞∫0∞(t+r)s−2mit+r+1drdt=∫01∫01(−registro⁡(incógnitay))s−21+incógnitaydincógnitady.{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}dr\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\left(-\log(xy)\right)^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}

La transformación de Cauchy-Schlömilch (Amdeberhan, Moll et al., 2010) puede utilizarse para demostrar esta otra representación, válida para ⁠ℜs>−1{\displaystyle \Re s>-1}⁠ . La integración por partes de la primera integral anterior en esta sección produce otra derivación.

21−sΓ(s+1)η(s)=2∫0∞incógnita2s+1aporrear2⁡(incógnita2)dincógnita=∫0∞tsaporrear2⁡(t)dt.{\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}

La siguiente fórmula, debida a Lindelöf (1905), es válida en todo el plano complejo, cuando se toma el valor principal para el logaritmo implícito en la exponencial. η(s)=∫−∞∞(1/2+it)−smiπt+mi−πtdt.{\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.} Esto corresponde a una fórmula de Jensen (1895) para toda la función. (s−1)ζ(s){\displaystyle (s-1)\,\zeta (s)}, válido en todo el plano complejo y también demostrado por Lindelöf. (s−1)ζ(s)=2π∫−∞∞(1/2+it)1−s(miπt+mi−πt)2dt.{\displaystyle (s-1)\zeta (s)=2\pi \,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.} "Esta fórmula, notable por su simplicidad, puede demostrarse fácilmente con la ayuda del teorema de Cauchy, tan importante para la suma de series", escribió Jensen (1895). De manera similar, al convertir las trayectorias de integración en integrales de contorno, se pueden obtener otras fórmulas para la función eta, como esta generalización (Milgram, 2013) válida para0<do<1{\displaystyle 0<c<1}y todos{\displaystyle s}: η(s)=12∫−∞∞(do+it)−specado⁡(π(do+it))dt.{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.} Los ceros en el eje real negativo se factorizan limpiamente haciendodo→0+{\displaystyle c\to 0^{+}}(Milgram, 2013) para obtener una fórmula válida paraℜs<0{\displaystyle \Re s<0}: η(s)=−pecado⁡(sπ2)∫0∞t−ssinh⁡(πt)dt.{\displaystyle \eta (s)=-\sin \left({\frac {s\pi }{2}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}

Algoritmos numéricos

La mayoría de las técnicas de aceleración de series desarrolladas para series alternadas pueden aplicarse provechosamente a la evaluación de la función eta. Un método particularmente simple, pero razonable, es aplicar la transformación de Euler de series alternadas para obtener η(s)=∑norte=0∞12norte+1∑k=0norte(−1)k(nortek)1(k+1)s.{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}

Nótese que la segunda suma, la interna, es una diferencia hacia adelante .

El método de Borwein

Peter Borwein utilizó aproximaciones que involucran polinomios de Chebyshev para producir un método para la evaluación eficiente de la función eta. [ 3 ] Si dk=norte∑ℓ=0k(norte+ℓ−1)¡4ℓ(norte−ℓ)¡(2ℓ)¡{\displaystyle d_{k}=n\sum _{\ell =0}^{k}{\frac {(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}}} entonces η(s)=−1dnorte∑k=0norte−1(−1)k(dk−dnorte)(k+1)s+γnorte(s),{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),} dónde paraℜ(s)≥12{\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}El término de error γ n está acotado por |γnorte(s)|≤3(3+8)norte(1+2|ℑ(s)|)exp⁡(π2|ℑ(s)|).{\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp \left({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|\right).}

El factor de3+8≈5.8{\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}El límite de error indica que la serie de Borwein converge con bastante rapidez a medida que n aumenta.

Valores particulares

También:

  • η(1)=ln⁡2{\displaystyle \eta (1)=\ln 2}Esta es la serie armónica alternada.
  • η(2)=π212{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}OEIS : A072691 
  • η(4)=7π4720≈0,94703283{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}
  • η(6)=31π630240≈0,98555109{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}
  • η(8)=127π81209600≈0,99623300{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}
  • η(10)=73π106842880≈0,99903951{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}
  • η(12)=1414477π121307674368000≈0,99975769{\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}

La forma general para los enteros pares positivos es: η(2norte)=(−1)norte+1B2norteπ2norte(22norte−1−1)(2norte)¡.{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}\left(2^{2n-1}-1\right)} \over {(2n)!}}.}

Tomando el límitenorte→∞{\displaystyle n\to \infty }⁠ , se obtiene ⁠η(∞)=1{\displaystyle \eta (\infty )=1}.​

Derivados

La derivada con respecto al parámetro s es paras≠1{\displaystyle s\neq 1}η′(s)=∑norte=1∞(−1)norteln⁡nortenortes=21−sln⁡(2)ζ(s)+(1−21−s)ζ′(s).{\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{1-s})\,\zeta '(s).}η′(1)=ln⁡(2)γ−ln⁡(2)22−1{\displaystyle \eta '(1)=\ln(2)\,\gamma -\ln(2)^{2}\,2^{-1}}

Referencias

  1. ↑ "Visor de Jupyter Notebook" .
  2. ↑ Hardy, GH (1922). Una nueva demostración de la ecuación funcional para la función zeta. Matematisk Tidsskrift. B, 71–73. http://www.jstor.org/stable/24529536
  3. ↑ Borwein, Peter (2000). «Un algoritmo eficiente para la función zeta de Riemann». En Théra, Michel A. (ed.). Análisis constructivo, experimental y no lineal (PDF) . Actas de la conferencia de la Sociedad Matemática Canadiense. Vol. 27. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , en nombre de la Sociedad Matemática Canadiense . págs. 29-34 . ISBN   978-0-8218-2167-1. Archivado del original (PDF) el 26-07-2011 . Consultado el 20-09-2008 .
  • Jensen, JLWV (1895). "Comentarios familiares aux réponses de MM. Franel et Kluyver" . L'Intermédiaire des Mathématiciens . II : 346].
  • Lindelöf, Ernst (1905). El cálculo de residuos y sus aplicaciones según la teoría de las funciones . Gauthier-Villars. pag. 103 . 
  • Widder, David Vernon (1946). La transformada de Laplace . Princeton University Press. pág. 230 . 
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlín, 1909, p.  160. (Segunda edición de Chelsea, Nueva York, 1953, p.  160, 933)
  • Titchmarsh, EC (1986). La teoría de la función zeta de Riemann, segunda edición revisada (Heath-Brown). Oxford University Press.
  • Conrey, JB (1989). "Más de dos quintas partes de los ceros de la función zeta de Riemann están en la línea crítica". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1989 (399): 1– 26. doi : 10.1515/crll.1989.399.1 . S2CID 115910600 . 
  • Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teoría y aplicación de las series infinitas . Dover. ISBN 0-486-66165-2.
  • Borwein, P., Un algoritmo eficiente para la función zeta de Riemann Archivado el 26-07-2011 en Wayback Machine , Análisis experimental constructivo y no lineal, Actas de la Conferencia CMS 27 (2000), 29–34.
  • Sondow, Jonathan (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4/π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". Amer. Math. Monthly . 112 : 61– 65. arXiv : math.CO/0211148 .Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, fórmula 18.
  • Sondow, Jonathan (2003). "Ceros de la función zeta alternada en la línea R(s)=1". Amer. Math. Monthly . 110 : 435– 437. arXiv : math/0209393 .Revista mensual de matemáticas estadounidenses, 110 (2003) 435–437.
  • Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). "Evaluación numérica de la función Riemann Zeta" (PDF) .
  • Amdeberhan, T.; Glasser, ML; Jones, MC; Moll, VH; Posey, R.; Varela, D. (2010). "La transformación de Cauchy-Schlomilch". arXiv : 1004.2445 [ math.CA ].pág.  12.
  • Milgram, Michael S. (2012). "Representaciones integrales y en serie de la función zeta de Riemann, la función eta de Dirichlet y una selección de resultados relacionados" . Journal of Mathematics . 2013 : 1–17 . arXiv : 1208.3429 . doi : 10.1155/2013/181724 ..