núcleo de Dirichlet

En análisis matemático , el núcleo de Dirichlet es el conjunto de funciones periódicas definidas como

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$$

donde n es cualquier entero no negativo . Las funciones del núcleo son periódicas con período${\displaystyle 2\pi }$.

La importancia del núcleo de Dirichlet proviene de su relación con las series de Fourier . La convolución de${\displaystyle D_{n}(x)}$con cualquier función${\displaystyle f}$del período${\displaystyle 2\pi }$es el${\displaystyle n}$aproximación de la serie de Fourier de grado n a${\displaystyle f}$, es decir, tenemos

$${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(xy)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$$

dónde

$${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iky}\,dy}$$

es el${\displaystyle k}$coeficiente de Fourier de${\displaystyle f}$Esto implica que para estudiar la convergencia de las series de Fourier basta con estudiar las propiedades del núcleo de Dirichlet.

El núcleo de Dirichlet recibió su nombre en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

En el procesamiento de señales , el núcleo de Dirichlet se suele denominar función sinc periódica :

${\displaystyle P(\omega )=D_{n}(x)|_{x=2\pi \omega /\omega _{0}}={\sin(\pi M\omega /\omega _{0}) \over \sin(\pi \omega /\omega _{0})}}$

dónde${\displaystyle M=2n+1\geq 3}$es un número entero impar. De esta forma,${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular y${\displaystyle \omega _{0}}$es la mitad de la periodicidad en frecuencia. En este caso, la función sinc periódica en el dominio de la frecuencia puede considerarse como la transformada de Fourier de un tren de impulsos acotado en el tiempo en el dominio del tiempo :

${\displaystyle p(t)=\sum _{k=-n}^{n}\delta (t-kT)}$

dónde${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega _ {0}}}}$es el incremento de tiempo entre cada impulso y${\displaystyle M=2n+1}$representa el número de impulsos en el tren de impulsos.

En óptica , el núcleo de Dirichlet forma parte de la descripción matemática del patrón de difracción que se forma cuando la luz monocromática pasa a través de una abertura con múltiples rendijas estrechas de igual ancho y espaciadas uniformemente a lo largo de un eje perpendicular al eje óptico. En este caso,${\displaystyle M}$es el número de ranuras.

De particular importancia es el hecho de que el${\displaystyle L^{1}}$norma de${\displaystyle D_{n}}$en${\displaystyle [0,2\pi ]}$diverge al infinito como${\displaystyle n\to \infty }$Se puede estimar que (usando la notación omega grande )

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).}$$

Al utilizar un argumento de suma de Riemann para estimar la contribución en el entorno más grande de cero en el que${\displaystyle D_{n}}$es positivo, y la desigualdad de Jensen para la parte restante, también es posible demostrar que:

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n}$$

dónde${\textstyle \operatorname {Si} (x)}$es la integral del seno${\textstyle \int _{0}^{x}(\sin t)/t\,dt.}$

Esta falta de integrabilidad uniforme subyace a muchos fenómenos de divergencia en las series de Fourier. Por ejemplo, junto con el principio de acotación uniforme , puede utilizarse para demostrar que la serie de Fourier de una función continua puede no converger puntualmente, de forma bastante drástica. Véase la sección sobre convergencia de series de Fourier para más detalles.

Una prueba precisa del primer resultado que${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$es dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {\left|\sin[(2n+1)x]\right|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\left|\sin s\right|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin s}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la identidad de la serie Taylor que${\displaystyle 2/x\leq 1/\left|\sin(x/2)\right|}$y dónde${\displaystyle H_{n}}$son los números armónicos de primer orden .

El núcleo de Dirichlet es una función periódica que se convierte en el peine de Dirac , es decir, la función delta periódica, en el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }D_{n}(\omega )=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}e^{\pm i\omega k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pm i2\pi kx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (xk)=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)~,}$

con la frecuencia angular${\displaystyle \omega =2\pi x}$.

Esto se puede inferir de la propiedad de autoconjugación del núcleo de Dirichlet bajo la transformada de Fourier directa e inversa :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}\,dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \operatorname {comb} _{n}(\xi )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}\,d\xi =D_{n}(2\pi x),}$

y${\displaystyle \operatorname {comb} _{n}(x)}$va al peine de Dirac${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$del período${\displaystyle T=1}$como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, que permanece invariante bajo la transformada de Fourier :${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$. De este modo${\displaystyle D_{n}(2\pi x)}$También debe haber convergido a${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

En otro orden de cosas, considere${\displaystyle \Delta (x)}$como elemento identidad para la convolución en funciones de período${\displaystyle 2\pi }$. En otras palabras, tenemos

$${\displaystyle f*(\Delta )=f}$$

para cada función${\displaystyle f}$de periodo  2π . La representación en serie de Fourier de esta "función" es

$${\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$$

(Esta serie de Fourier no converge a la función en casi ningún punto). Por lo tanto, el núcleo de Dirichlet, que es simplemente la sucesión de sumas parciales de esta serie, puede considerarse una identidad aproximada . Sin embargo, en abstracto, no es una identidad aproximada de elementos positivos (de ahí los fallos de convergencia puntual mencionados anteriormente).

La identidad trigonométrica

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

Lo que se muestra en la parte superior de este artículo se puede establecer de la siguiente manera. Primero recordemos que la suma de una serie geométrica finita es

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

En particular, tenemos

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$$

Multiplica tanto el numerador como el denominador por${\displaystyle r^{-1/2}}$, conseguir

$${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$$

En el caso${\displaystyle r=e^{ix}}$tenemos

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

según sea necesario.

Si la suma se realiza únicamente sobre enteros no negativos (lo que puede ocurrir al calcular una transformada discreta de Fourier que no está centrada), entonces, utilizando técnicas similares, podemos demostrar la siguiente identidad:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$$

Otra variante es

${\displaystyle D_{n}(x)-\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{\tan({\frac {x}{2}})}}}$

y esto se puede demostrar fácilmente utilizando una identidad.${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}$. ^{[ 1 ]}

• Fejér kernel

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). "15 Series de Fourier §15.2 Núcleo de Dirichlet" . Análisis real . Prentice-Hall. págs. 619–622 . ISBN  0-13-458886-X.
• Podkorytov, AN (1988). "Comportamiento asintótico del núcleo de Dirichlet de sumas de Fourier con respecto a un polígono". Revista de Matemáticas Soviéticas . 42 (2): 1640– 6. doi : 10.1007/BF01665052 .
• Levi, H. (1974). "Una construcción geométrica del núcleo de Dirichlet". Transactions of the New York Academy of Sciences . 36 (7 Serie II): 640–3 . doi : 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x .
• "Núcleo de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Núcleo de Dirichlet en PlanetMath