Series discretas de Fourier

La forma exponencial de la serie de Fourier viene dada por :

${\displaystyle s(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t},}$

que es periódica con un período arbitrario denotado por${\displaystyle P.}$ Cuando el tiempo continuo${\displaystyle t}$es reemplazado por tiempo discreto${\displaystyle nT,}$para valores enteros de${\displaystyle n}$y el intervalo de tiempo${\displaystyle T,}$La serie se convierte en :

${\displaystyle s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}nT},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Con${\displaystyle n}$restringido a valores enteros, normalmente restringimos la razón${\displaystyle P/T=N}$a un valor entero, lo que resulta en un${\displaystyle N}$-función periódica :

que son armónicos de una frecuencia digital fundamental${\displaystyle 1/N.}$ El${\displaystyle N}$El subíndice nos recuerda su periodicidad. Y observamos que algunos autores se referirán simplemente al${\displaystyle S[k]}$los coeficientes mismos como una serie de Fourier discreta. ^{[ 2 ] : p.85 (ecuación 15a)}

Debido a la${\displaystyle N}$-periodicidad de la${\displaystyle e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$núcleo, la suma infinita se puede "plegar" de la siguiente manera :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{_{N}}[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k-mN}{N}}n}\ S[k-mN]\right)\\&=\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }S[k-mN]\right)} _{\triangleq S_{N}[k]},\end{aligned}}}$

que es la DFT inversa de un ciclo de la suma periódica ,${\displaystyle S_{N}.}$^{[ 1 ] : pág. 542 (ecuación 8.4) [ 3 ] : pág. 77 (ecuación 4.24)}