Punto aislado

En los tres ejemplos siguientes, los espacios topológicos se consideran subespacios de la recta real con la topología estándar.

• Para el conjunto${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$El punto 0 es un punto aislado.
• Para el conjunto${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$cada uno de los puntos${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$⁠ es un punto aislado, pero 0 no es un punto aislado porque hay otros puntos en S tan cerca de 0 como se desee.
• El conjunto${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto.

En el espacio topológico${\displaystyle X=\{a,b\}}$con topología${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$El elemento a es un punto aislado, aunque${\displaystyle b}$pertenece al cierre de${\displaystyle \{a\}}$(y por lo tanto, en cierto sentido, está "cerca" de un ). Tal situación no es posible en un espacio de Hausdorff .

El lema de Morse establece que los puntos críticos no degenerados de ciertas funciones están aislados.

Consideremos el conjunto F de puntos x en el intervalo real (0,1) tales que cada dígito x _i de su representación binaria cumple las siguientes condiciones:

• Cualquiera${\displaystyle x_{i}=0}$o${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$solo para un número finito de índices i .
• Si m denota el índice más grande tal que${\displaystyle x_{m}=1,}$entonces${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• Si${\displaystyle x_{i}=1}$y${\displaystyle i<m,}$Entonces, se cumple exactamente una de las dos condiciones siguientes:${\displaystyle x_{i-1}=1}$o${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

De manera informal, estas condiciones significan que cada dígito de la representación binaria de${\displaystyle x}$que es igual a 1 pertenece a un par ...0110..., excepto por ...010... al final.

Ahora bien, F es un conjunto explícito que consta enteramente de puntos aislados, pero tiene la propiedad contraintuitiva de que su clausura es un conjunto no numerable . ^{[ 1 ]}

Otro conjunto F con las mismas propiedades se puede obtener de la siguiente manera. Sea C el conjunto de Cantor de tercios medios , sea${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$sean los intervalos componentes de${\displaystyle [0,1]-C}$Sea F un conjunto formado por un punto de cada I _k . Dado que cada I _k contiene solo un punto de F , cada punto de F es un punto aislado. Sin embargo, si p es un punto cualquiera del conjunto de Cantor, entonces cada entorno de p contiene al menos un I _k , y por lo tanto al menos un punto de F. De ello se deduce que cada punto del conjunto de Cantor pertenece a la clausura de F , y por consiguiente F tiene una clausura no numerable.