Polinomios de q -Hermite discretos

En matemáticas, los polinomios q -Hermite discretos son dos familias estrechamente relacionadas, h _n ( x ; q ) y ĥ _n ( x ; q ), de polinomios ortogonales hipergeométricos básicos en el esquema Askey básico , introducido por Al-Salam y Carlitz ( 1965 ) . Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw ( 2010 , 14) ofrecen una lista detallada de sus propiedades. h _n ( x ; q ) también se denomina polinomio q-Hermite I discreto y ĥ _n ( x ; q ) también se denomina polinomio q-Hermite II discreto.  

Los polinomios discretos q -Hermite se dan en términos de funciones hipergeométricas básicas y los polinomios de Al-Salam-Carlitz por

${\displaystyle \displaystyle h_{n}(x;q)=q^{\binom {n}{2}}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{(-1)}(x;q)}$

${\displaystyle \displaystyle {\hat {h}}_{n}(x;q)=i^{-n}q^{-{\binom {n}{2}}}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},ix;;q,-q^{n})=x^{n}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},q^{-n+1};0;q^{2},-q^{2}/x^{2})=i^{-n}V_{n}^{(-1)}(ix;q)}$

y están relacionados por

${\displaystyle h_{n}(ix;q^{-1})=i^{n}{\hat {h}}_{n}(x;q)}$

• Berg, Christian; Ismael, Mourad (1994), Polinomios Q-Hermite y polinomios ortogonales clásicos , arXiv : math/9405213
• Al-Salam, WA; Carlitz, L. (1965), "Algunos polinomios q ortogonales", Mathematische Nachrichten , 30 ( 1– 2): 47– 61, doi : 10.1002/mana.19650300105 , ISSN 0025-584X , MR 0197804  
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol.  96 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 
• Jazmati, M. Saleh; Mezlini, Kamel; Bettaibi, Neji (2014), "Polinomios q-Hermite generalizados y la ecuación del calor q-Dunkl", Boletín de Análisis Matemático y Aplicaciones , 6 (4), Prishtina, Serbia: Prishtina: Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación: 16–43 , ISSN 1821-1291 
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Capítulo 18 Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .