Interpolación discreta mediante splines

En el campo matemático del análisis numérico , la interpolación de splines discretos es una forma de interpolación donde el interpolante es un tipo especial de polinomio por partes llamado spline discreto. Un spline discreto es un polinomio por partes cuyas diferencias centrales son continuas en los nodos, mientras que un spline es un polinomio por partes cuyas derivadas son continuas en los nodos. Los splines cúbicos discretos son splines discretos donde se requiere que las diferencias centrales de órdenes 0, 1 y 2 sean continuas. ^{[ 1 ]}

Las splines discretas fueron introducidas por Mangasarin y Schumaker en 1971 como soluciones de ciertos problemas de minimización que involucran diferencias. ^{[ 2 ]}

Sea x ₁ , x ₂ , . . ., x _{n -1} una sucesión creciente de números reales. Sea g ( x ) un polinomio a trozos definido por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&x<x_{1}\\g_{i}(x)&x_{i-1}\leq x<x_{i}{\text{ para }}i=2,3,\ldots ,n-1\\g_{n}(x)&x\geq x_{n-1}\end{cases}}}$

donde g ₁ ( x ), . . ., g _n ( x ) son polinomios de grado 3. Sea h > 0. Si

${\displaystyle (g_{i+1}-g_{i})(x_{i}+jh)=0{\text{ para }}j=-1,0,1{\text{ y }}i=1,2,\ldots ,n-1}$

entonces g ( x ) se denomina spline cúbico discreto. ^{[ 1 ]}

Sea x ₀ < x ₁ y x _n > x _{n -1} y f ( x ) una función definida en el intervalo cerrado [ x ₀ - h, x _n + h]. Entonces existe una única spline cúbica discreta g ( x ) que satisface las siguientes condiciones:

${\displaystyle g(x_{i})=f(x_{i}){\text{ para }}i=0,1,\ldots ,n.}$

${\displaystyle D^{(1)}g_{1}(x_{0})=D^{(1)}f(x_{0}).}$

${\displaystyle D^{(1)}g_{n}(x_{n})=D^{(1)}f(x_{n}).}$

Esta spline cúbica discreta única es la interpolación spline discreta de f ( x ) en el intervalo [ x ₀ - h, x _n + h]. Esta interpolación coincide con los valores de f ( x ) en x ₀ , x ₁ , . . ., x _n .

• Las splines cúbicas discretas se introdujeron originalmente como soluciones de ciertos problemas de minimización. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• Tienen aplicaciones en el cálculo de splines no lineales. ^{[ 1 ] [ 3 ]}
• Se utilizan para obtener una solución aproximada de un problema de valores en la frontera de segundo orden. ^{[ 4 ]}
• Se han utilizado splines interpolatorios discretos para construir wavelets biorthogonales. ^{[ 5 ]}