Distribución uniforme discreta

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad simétrica en la que cada uno de un número entero finito n de resultados tiene la misma probabilidad de ocurrir. Por lo tanto, cada uno de los n resultados tiene la misma probabilidad de 1/ n . Intuitivamente, una distribución uniforme discreta es "un número finito y conocido de resultados, todos con la misma probabilidad de ocurrir".

Un ejemplo sencillo de distribución uniforme discreta se obtiene al lanzar un dado justo de seis caras . Los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y la probabilidad de cada valor es de 1/6 en cada lanzamiento. Si se lanzaran dos dados y se sumaran sus valores, las sumas no tendrían la misma probabilidad, por lo que la distribución de las sumas de los dos lanzamientos no es uniforme.

Aunque es común considerar distribuciones uniformes discretas sobre un rango contiguo de enteros, como en este ejemplo del dado de seis caras, se pueden definir distribuciones uniformes discretas sobre cualquier conjunto finito . Por ejemplo, el dado de seis caras podría tener símbolos abstractos en lugar de números en cada una de sus caras. De forma menos sencilla, una permutación aleatoria es una permutación generada uniformemente al azar a partir de las permutaciones de un conjunto dado, y un árbol de expansión uniforme de un grafo es un árbol de expansión seleccionado con probabilidades uniformes del conjunto completo de árboles de expansión del grafo.

La distribución uniforme discreta en sí misma es no paramétrica . Sin embargo, en el caso común en que sus posibles valores de resultado son los enteros en un intervalo${\textstyle [a,b]}$, entonces a y b son parámetros de la distribución y${\textstyle n=b-a+1.}$En estos casos, la función de distribución acumulativa (FDA) de la distribución uniforme discreta se puede expresar, para cualquier k , como

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

o simplemente

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

sobre el soporte de la distribución${\textstyle k\in [a,b].}$

El problema de estimar el máximo${\displaystyle N}$de una distribución uniforme discreta en el intervalo entero${\displaystyle [1,N]}$La estimación de la producción máxima a partir de una muestra de k observaciones se conoce comúnmente como el problema del tanque alemán , debido a la aplicación práctica de este problema de estimación máxima durante la Segunda Guerra Mundial por parte de las fuerzas aliadas que buscaban estimar la producción de tanques alemanes.

Un estimador uniformemente insesgado de varianza mínima (UMVU) para el máximo de la distribución en términos de m, el máximo de la muestra , y k, el tamaño de la muestra , es ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1.}$$

Esto puede considerarse un caso muy simple de estimación de espaciamiento máximo .

Esto tiene una varianza de ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(Nk)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ para muestras pequeñas }}k\ll N}$$ por lo que una desviación estándar de aproximadamente${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$, el tamaño promedio de la brecha entre muestras en la población.

El máximo de la muestra${\displaystyle m}$En sí mismo es el estimador de máxima verosimilitud para el máximo de la población, pero está sesgado.

Si las muestras de una distribución uniforme discreta no están numeradas en orden, pero son reconocibles o se pueden marcar, se puede estimar el tamaño de la población mediante un método de marcado y recaptura .

Consulte rencontres numbers para obtener una explicación de la distribución de probabilidad del número de puntos fijos de una permutación aleatoria uniformemente distribuida .

La familia de distribuciones discretas uniformes sobre rangos de enteros con uno o ambos límites desconocidos tiene una estadística suficiente de dimensión finita , a saber, la tripleta del máximo de la muestra, el mínimo de la muestra y el tamaño de la muestra.

Las distribuciones discretas uniformes sobre rangos enteros acotados no constituyen una familia exponencial de distribuciones porque su soporte varía con sus parámetros.

Para familias de distribuciones cuyos soportes no dependen de sus parámetros, el teorema de Pitman-Koopman-Darmois establece que solo las familias exponenciales poseen estadísticas suficientes de dimensiones acotadas a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La distribución uniforme es, por lo tanto, un ejemplo sencillo que demuestra la necesidad de las condiciones para este teorema.

• distribución delta de Dirac
• Distribución uniforme continua