Transformada discreta de ondículas

La transformada discreta de ondículas (DWT) de una señal${\displaystyle x}$Se calcula haciéndolo pasar a través de una serie de filtros. Primero, las muestras se pasan a través de un filtro de paso bajo con respuesta impulsional.${\displaystyle g}$ lo que resulta en una convolución de los dos:

${\displaystyle y[n]=(x*g)[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[nk]}}$

La señal también se descompone simultáneamente mediante un filtro de paso alto.${\displaystyle h}$Las salidas proporcionan los coeficientes de detalle (del filtro de paso alto) y los coeficientes de aproximación (del filtro de paso bajo). Es importante destacar que ambos filtros están relacionados entre sí y se conocen como filtro de espejo en cuadratura .

Sin embargo, dado que ahora se ha eliminado la mitad de las frecuencias de la señal, la mitad de las muestras se pueden descartar según la regla de Nyquist. La salida del filtro de paso bajo${\displaystyle g}$En el diagrama anterior, la señal se submuestrea por 2 y se procesa aún más haciéndola pasar nuevamente a través de un nuevo filtro de paso bajo.${\displaystyle g}$y un filtro de paso alto${\displaystyle h}$con la mitad de la frecuencia de corte de la anterior, es decir:

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}$

Esta descomposición ha reducido a la mitad la resolución temporal, ya que solo la mitad de la salida de cada filtro caracteriza la señal. Sin embargo, cada salida tiene la mitad del ancho de banda de frecuencia de la entrada, por lo que la resolución de frecuencia se ha duplicado.

Con el operador de submuestreo${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[kn]}$

El resumen anterior se puede redactar de forma más concisa.

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2}$

Sin embargo, calcular una convolución completa${\displaystyle x*g}$El submuestreo posterior supondría un desperdicio de tiempo de cálculo.

El método Lifting es una optimización en la que estos dos cálculos se intercalan.

Esta descomposición se repite para aumentar aún más la resolución de frecuencia y los coeficientes de aproximación se descomponen con filtros de paso alto y paso bajo y luego se submuestrean. Esto se representa como un árbol binario cuyos nodos representan un subespacio con una localización tiempo-frecuencia diferente. El árbol se conoce como banco de filtros .

En cada nivel del diagrama anterior, la señal se descompone en frecuencias bajas y altas. Debido al proceso de descomposición, la señal de entrada debe ser un múltiplo de${\displaystyle 2^{n}}$dónde${\displaystyle n}$es el número de niveles.

Por ejemplo, una señal con 32 muestras, rango de frecuencia de 0 a${\displaystyle f_{n}}$y 3 niveles de descomposición, se producen 4 escalas de salida:

La implementación de wavelets mediante bancos de filtros puede interpretarse como el cálculo de los coeficientes wavelet de un conjunto discreto de wavelets hijas para una wavelet madre dada.${\displaystyle \psi (t)}$En el caso de la transformada wavelet discreta, la wavelet madre se desplaza y escala por potencias de dos.

${\displaystyle \psi _{j,k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)}$

dónde${\displaystyle j}$es el parámetro de escala y${\displaystyle k}$es el parámetro de desplazamiento, ambos son números enteros.

Recordemos que el coeficiente wavelet${\displaystyle \gamma }$de una señal${\displaystyle x(t)}$es la proyección de${\displaystyle x(t)}$sobre una ondícula y dejar${\displaystyle x(t)}$ser una señal de longitud${\displaystyle 2^{N}}$. En el caso de una ondícula hija en la familia discreta anterior,

${\displaystyle \gamma _{jk}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)dt}$

Ahora arregla${\displaystyle j}$a una escala particular, de modo que${\displaystyle \gamma _{jk}}$es una función de${\displaystyle k}$solamente. A la luz de la ecuación anterior,${\displaystyle \gamma _{jk}}$puede verse como una convolución de${\displaystyle x(t)}$con una versión dilatada, reflejada y normalizada de la ondícula madre,${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {-t}{2^{j}}}\right)}$, muestreados en los puntos${\displaystyle 1,2^{j},2\cdot {2^{j}},...,2^{N}}$. Pero esto es precisamente lo que proporcionan los coeficientes de detalle a nivel${\displaystyle j}$de la transformada wavelet discreta. Por lo tanto, para una elección apropiada de${\displaystyle h[n]}$y${\displaystyle g[n]}$Los coeficientes de detalle del banco de filtros corresponden exactamente a un coeficiente de ondícula de un conjunto discreto de ondículas hijas para una ondícula madre dada.${\displaystyle \psi (t)}$.

Como ejemplo, consideremos la ondícula discreta de Haar , cuya ondícula madre es${\displaystyle \psi =[1,-1]}$. Entonces, la versión dilatada, reflejada y normalizada de esta ondícula es${\displaystyle h[n]={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,1]}$, que es, de hecho, el filtro de descomposición de paso alto para la transformada wavelet discreta de Haar.

La implementación del banco de filtros de la transformada discreta de ondículas solo toma O( N ) en ciertos casos, en comparación con O( N  log N ) para la transformada rápida de Fourier . 

Tenga en cuenta que si${\displaystyle g[n]}$y${\displaystyle h[n]}$Si ambas tienen una longitud constante (es decir, su longitud es independiente de N), entonces${\displaystyle x*h}$y${\displaystyle x*g}$cada una toma un tiempo O( N ) . El banco de filtros wavelet realiza cada una de estas dos convoluciones O( N ) , luego divide la señal en dos ramas de tamaño N/2. Pero solo divide recursivamente la rama superior convolucionada con${\displaystyle g[n]}$(a diferencia de la FFT, que divide recursivamente tanto la rama superior como la inferior). Esto conduce a la siguiente relación de recurrencia.

${\displaystyle T(N)=2N+T\left({\frac {N}{2}}\right)}$

lo que lleva a un tiempo O( N ) para toda la operación, como se puede demostrar mediante un desarrollo en serie geométrica de la relación anterior.

Como ejemplo, la transformada wavelet discreta de Haar es lineal, ya que en ese caso${\displaystyle h[n]}$y${\displaystyle g[n]}$son de longitud constante  2.

${\displaystyle h[n]=\left[{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]g[n]=\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$

La localidad de las ondículas, junto con la complejidad O( N ), garantiza que la transformada se pueda calcular en línea (en tiempo real). Esta propiedad contrasta notablemente con la FFT, que requiere acceso a toda la señal de una sola vez. También se aplica a la transformada multiescala y a las transformadas multidimensionales (por ejemplo, DWT 2D). ^{[ 1 ]}

La primera DWT fue inventada por el matemático húngaro Alfréd Haar . Para una entrada representada por una lista de${\displaystyle 2^{n}}$números, la transformada wavelet de Haar puede considerarse para emparejar valores de entrada, almacenando la diferencia y pasando la suma. Este proceso se repite recursivamente, emparejando las sumas para demostrar la siguiente escala, lo que lleva a${\displaystyle 2^{n}-1}$diferencias y una suma final.

El conjunto más utilizado de transformadas wavelet discretas fue formulado por la matemática belga Ingrid Daubechies en 1988. Esta formulación se basa en el uso de relaciones de recurrencia para generar muestreos discretos progresivamente más finos de una función wavelet madre implícita; cada resolución es el doble de la escala anterior. En su artículo fundamental, Daubechies deriva una familia de wavelets , la primera de las cuales es la wavelet de Haar. El interés en este campo se ha disparado desde entonces, y se han desarrollado muchas variaciones de las wavelets originales de Daubechies. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La transformada wavelet compleja de doble árbol (${\displaystyle \mathbb {C} }$La transformada wavelet discreta (WT) es una mejora relativamente reciente de la transformada wavelet discreta (DWT), con importantes propiedades adicionales: es casi invariante a la traslación y selectiva direccionalmente en dos o más dimensiones. Lo logra con un factor de redundancia de solo${\displaystyle 2^{d}}$, sustancialmente inferior a la DWT no diezmada. El árbol dual multidimensional (MD)${\displaystyle \mathbb {C} }$WT no es separable, pero se basa en un banco de filtros (FB) separable y computacionalmente eficiente. ^{[ 5 ]}

Otras formas de transformada discreta de ondículas incluyen la ondícula Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 desarrollada por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai en 1988 (utilizada en JPEG 2000 o JPEG XS ), ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} la QMF binomial desarrollada por Ali Naci Akansu en 1990, ^{[ 9 ]} el algoritmo de partición de conjuntos en árboles jerárquicos (SPIHT) desarrollado por Amir Said con William A. Pearlman en 1996, ^{[ 10 ]} la transformada de ondículas no diezmada o no diezmada (donde se omite el submuestreo), y la transformada de Newland (donde se forma una base ortonormal de ondículas a partir de filtros top-hat construidos apropiadamente en el espacio de frecuencias ). Las transformadas de paquetes de ondículas también están relacionadas con la transformada discreta de ondículas. La transformada compleja de ondículas es otra forma.

El código Java completo para una transformada wavelet discreta (DWT) unidimensional y bidimensional, utilizando wavelets de Haar , Daubechies , Coiflet y Legendre , está disponible en el proyecto de código abierto JWave . Además, una implementación rápida de la transformada wavelet CDF 9/7 biorthogonal discreta en C , utilizada en el estándar de compresión de imágenes JPEG 2000, se puede encontrar aquí (archivado el 5 de marzo de 2012).

A continuación se muestra un ejemplo de la ondícula de Haar en Java :

public static int [] discreteHaarWaveletTransform ( int [] input ) { // Esta función asume que input.length=2^n, n>1 int [] output = new int [ input . length ] ;for ( int length = input . length / 2 ; ; length = length / 2 ) { // length es la longitud actual del área de trabajo del array de salida. // length comienza en la mitad del tamaño del array y en cada iteración se reduce a la mitad hasta que sea 1. for ( int i = 0 ; i < length ; ++ i ) { int sum = input [ i * 2 ] + input [ i * 2 + 1 ] ; int difference = input [ i * 2 ] - input [ i * 2 + 1 ] ; output [ i ] = sum ; output [ length + i ] = difference ; } if ( length == 1 ) { return output ; }// Intercambiar matrices para realizar la siguiente iteración System.arraycopy ( output , 0 , input , 0 , length ); } }

La figura de la derecha muestra un ejemplo de cómo aplicar el código anterior para calcular los coeficientes de la transformada wavelet de Haar en una forma de onda sonora. Este ejemplo destaca dos propiedades clave de la transformada wavelet:

• Las señales naturales suelen presentar cierto grado de suavidad, lo que las hace dispersas en el dominio de las ondículas. En este ejemplo, hay muchos menos componentes significativos en el dominio de las ondículas que en el dominio del tiempo , y la mayoría de los componentes significativos se encuentran hacia los coeficientes más gruesos de la izquierda. Por lo tanto, las señales naturales son compresibles en el dominio de las ondículas.
• La transformada wavelet es una representación de paso de banda y multirresolución de una señal. Esto se puede ver directamente en la definición de banco de filtros de la transformada wavelet discreta que se da en este artículo. Para una señal de longitud${\displaystyle 2^{N}}$, los coeficientes en el rango${\displaystyle [2^{N-j},2^{N-j+1}]}$representa una versión de la señal original que se encuentra en la banda de paso${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2^{j}}},{\frac {\pi }{2^{j-1}}}\right]}$. Por eso, al ampliar estos rangos de los coeficientes wavelet, la estructura se ve tan similar a la de la señal original. Los rangos que están más cerca de la izquierda (mayores${\displaystyle j}$En la notación anterior, los rangos a la derecha representan representaciones más generales de la señal, mientras que los rangos a la derecha representan detalles más finos.

Debido a los operadores de cambio de tasa en el banco de filtros, la transformada wavelet discreta no es invariante en el tiempo, sino que es muy sensible a la alineación temporal de la señal. Para abordar el problema de la variabilidad temporal de las transformadas wavelet, Mallat y Zhong propusieron un nuevo algoritmo para la representación wavelet de una señal, que es invariante a los desplazamientos temporales. ^{[ 11 ]} Según este algoritmo, que se denomina TI-DWT, solo se muestrea el parámetro de escala a lo largo de la secuencia diádica 2^j (j∈Z) y se calcula la transformada wavelet para cada punto en el tiempo. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Las ondículas se utilizan a menudo para eliminar el ruido de señales bidimensionales, como las imágenes. El siguiente ejemplo muestra tres pasos para eliminar el ruido gaussiano blanco no deseado de la imagen con ruido que se muestra. Se utilizó Matlab para importar y filtrar la imagen.

El primer paso consiste en elegir un tipo de ondícula y un nivel N de descomposición. En este caso, se eligieron ondículas biorthogonales 3.5 con un nivel N de 10. Las ondículas biorthogonales se utilizan comúnmente en el procesamiento de imágenes para detectar y filtrar ruido gaussiano blanco ^{[ 22 ]} , debido al alto contraste entre los valores de intensidad de los píxeles vecinos. Mediante estas ondículas, se realiza una transformación wavelet en la imagen bidimensional.

Tras la descomposición del archivo de imagen, el siguiente paso consiste en determinar los valores umbral para cada nivel, del 1 al N. La estrategia de Birgé-Massart ^{[ 23 ]} es un método bastante común para seleccionar estos umbrales. Mediante este proceso, se establecen umbrales individuales para N = 10 niveles. La aplicación de estos umbrales constituye la mayor parte del filtrado real de la señal.

El paso final consiste en reconstruir la imagen a partir de los niveles modificados. Esto se logra mediante una transformada wavelet inversa. La imagen resultante, con el ruido gaussiano blanco eliminado, se muestra debajo de la imagen original. Al filtrar cualquier tipo de datos, es importante cuantificar la relación señal-ruido (SNR) del resultado. En este caso, la SNR de la imagen con ruido en comparación con la original fue del 30,4958 %, y la SNR de la imagen sin ruido es del 32,5525 %. La mejora resultante del filtrado wavelet es una ganancia de SNR del 2,0567 %. ^{[ 24 ]}

La elección de otras ondículas, niveles y estrategias de umbralización puede dar lugar a distintos tipos de filtrado. En este ejemplo, se optó por eliminar el ruido gaussiano blanco. Sin embargo, con una umbralización diferente, también podría haberse amplificado.

Para ilustrar las diferencias y similitudes entre la transformada discreta de ondículas y la transformada discreta de Fourier , consideremos la DWT y la DFT de la siguiente secuencia: (1,0,0,0), un impulso unitario .

La DFT tiene una base ortogonal ( matriz DFT ):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{bmatrix}}}$

mientras que la DWT con ondículas de Haar para datos de longitud 4 tiene una base ortogonal en las filas de:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}}$

(Para simplificar la notación, se utilizan números enteros, por lo que las bases son ortogonales pero no ortonormales ).

Las observaciones preliminares incluyen:

• Las ondas sinusoidales se diferencian únicamente en su frecuencia. La primera no completa ningún ciclo, la segunda completa un ciclo completo, la tercera completa dos ciclos y la cuarta completa tres ciclos (lo que equivale a completar un ciclo en sentido contrario). Las diferencias de fase se pueden representar multiplicando un vector base dado por una constante compleja.
• En cambio, las ondículas poseen tanto frecuencia como ubicación. Como antes, la primera completa cero ciclos y la segunda un ciclo. Sin embargo, la tercera y la cuarta tienen la misma frecuencia, el doble que la primera. En lugar de diferir en frecuencia, difieren en ubicación : la tercera es distinta de cero en los dos primeros elementos, y la cuarta lo es en los dos últimos.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,1,-1,-1)+{\frac {1}{2}}(1,-1,0,0)\qquad {\text{Haar DWT}}\\(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,i,-1,-i)+{\frac {1}{4}}(1,-1,1,-1)+{\frac {1}{4}}(1,-i,-1,i)\qquad {\text{DFT}}\end{aligned}}}$

La DWT demuestra la localización: el término (1,1,1,1) da el valor promedio de la señal, el (1,1,–1,–1) coloca la señal en el lado izquierdo del dominio, y el (1,–1,0,0) la coloca en el lado izquierdo del lado izquierdo, y el truncamiento en cualquier etapa produce una versión submuestreada de la señal:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,0\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

La DFT, por el contrario, expresa la secuencia mediante la interferencia de ondas de diversas frecuencias; por lo tanto, al truncar la serie se obtiene una versión filtrada de paso bajo de la misma:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

Cabe destacar que la aproximación intermedia (de 2 términos) difiere. Desde la perspectiva del dominio de la frecuencia, esta es una mejor aproximación, pero desde la perspectiva del dominio del tiempo tiene inconvenientes: presenta un subimpulso (uno de los valores es negativo, aunque la serie original es no negativa en todas partes) y oscilaciones , donde el lado derecho es distinto de cero, a diferencia de la transformada wavelet. Por otro lado, la aproximación de Fourier muestra correctamente un pico, y todos los puntos están dentro de${\displaystyle 1/4}$de su valor correcto, aunque todos los puntos tienen error. La aproximación wavelet, por el contrario, coloca un pico en la mitad izquierda, pero no tiene pico en el primer punto, y si bien es exactamente correcta para la mitad de los valores (lo que refleja la ubicación), tiene un error de${\displaystyle 1/2}$para los demás valores.

Esto ilustra el tipo de compensaciones que existen entre estas transformadas y cómo, en algunos aspectos, la DWT proporciona un comportamiento preferible, en particular para el modelado de transitorios.

La marca de agua mediante DCT-DWT altera los coeficientes wavelet de los conjuntos de coeficientes de frecuencia media de la imagen anfitriona transformada mediante DWT de 5 niveles, seguido de la aplicación de las transformaciones DCT a los conjuntos de coeficientes seleccionados. Prasanalakshmi B propuso un método ^{[ 25 ]} que utiliza la subbanda de frecuencia HL en los conjuntos de coeficientes de frecuencia media LHx y HLx en una imagen transformada mediante la Transformada Discreta Wavelet (DWT) de 5 niveles.

Este algoritmo selecciona un nivel de DWT más grueso en términos de imperceptibilidad y robustez para aplicar DCT basada en bloques de 4×4. En consecuencia, se puede lograr una mayor imperceptibilidad y robustez . Además, se utiliza una operación de prefiltrado antes de la extracción de la marca de agua, el realce y el filtrado Laplaciano de Gauss (LoG) , lo que aumenta la diferencia entre la información de la marca de agua y la imagen original.

La idea básica de la DWT para una imagen bidimensional se describe de la siguiente manera: una imagen se descompone primero en cuatro partes de subcomponentes de alta, media y baja frecuencia (es decir, LL1, HL1, LH1, HH1) mediante el submuestreo crítico de los canales horizontales y verticales utilizando filtros de subcomponentes.

Los subcomponentes HL1, LH1 y HH1 representan los coeficientes de ondícula de menor escala. El subcomponente LL1 se descompone y se submuestrea críticamente para obtener los siguientes componentes de ondícula de menor escala. Este proceso se repite varias veces, según lo determine la aplicación en cuestión.

Se consideran componentes de alta frecuencia para incrustar la marca de agua, ya que contienen información de bordes y el ojo humano es menos sensible a los cambios en los bordes. En los algoritmos de marcas de agua, además de la invisibilidad de la marca, la principal preocupación es elegir los componentes de frecuencia para incrustarla y así proteger la imagen transmitida de posibles ataques. Las técnicas en el dominio de la transformada tienen la ventaja de poseer propiedades únicas de dominios alternativos para abordar las limitaciones del dominio espacial y ofrecen características adicionales.

La imagen principal se somete a una marca de agua DWT de 5 niveles. La incrustación de la marca de agua en las subbandas de frecuencia de nivel medio LLx proporciona un alto grado de imperceptibilidad y robustez. Por consiguiente, se eligen conjuntos de coeficientes LLx en el nivel cinco para aumentar la robustez de la marca de agua frente a ataques comunes, especialmente la adición de ruido y el desenfoque, con un impacto mínimo o nulo en la calidad de la imagen. A continuación, se aplica la DCT basada en bloques a estos conjuntos de coeficientes DWT seleccionados, incrustando secuencias pseudoaleatorias en las frecuencias medias. El procedimiento de incrustación de la marca de agua se explica a continuación:

1. Lee la imagen de portada I, de tamaño N×N.
2. Inicialmente se obtienen los cuatro conjuntos de coeficientes multirresolución no superpuestos LL1, HL1, LH1 y HH1.
3. La descomposición se realiza hasta 5 niveles y los subcomponentes de frecuencia {HH1, HL1, LH1, {{HH2, HL2, LH2, {HH3, HL3, LH3, {HH4, HL4, LH4, {HH5, HL5, LH5, LL5}} }}}} se obtienen calculando la DWT de quinto nivel de la imagen I.
4. Divide los últimos cuatro conjuntos de coeficientes: HH5, HL5, LH5 y LL5 en bloques de 4 x 4.
5. La transformada discreta del coseno (DCT) se aplica a cada bloque de los conjuntos de coeficientes seleccionados. Estos conjuntos de coeficientes se eligen para evaluar por igual la imperceptibilidad y la robustez de los algoritmos.
6. Mezcla la imagen de la huella digital para obtener la marca de agua mezclada WS (i, j).
7. Reformule la imagen de marca de agua distorsionada en un vector de ceros y unos.
8. Se generan dos secuencias pseudoaleatorias no correlacionadas a partir de la clave obtenida de la vena de la palma de la mano. El número de elementos en ambas secuencias pseudoaleatorias debe ser igual al número de elementos de banda media de los conjuntos de coeficientes DWT transformados mediante DCT.
9. Incruste las dos secuencias pseudoaleatorias con un factor de ganancia α en los bloques 4x4 transformados DCT de los conjuntos de coeficientes DWT seleccionados de la imagen anfitriona. En lugar de incrustar en todos los coeficientes del bloque DCT, se aplica solo a los coeficientes DCT de banda media. Si X se denota como la matriz de los coeficientes de banda media del bloque transformado DCT, entonces la incrustación se realiza con el bit de marca de agua 0, y X' se actualiza como X+∝*PN ₀ ,watermarkbit=0 y se realiza con el bit de marca de agua 1 y X' se actualiza como X+∝*PN ₁ . La DCT inversa (IDCT) se realiza en cada bloque después de que sus coeficientes de banda media se hayan modificado para incrustar los bits de marca de agua.
10. Para producir la imagen anfitriona con marca de agua, realice la transformada discreta de ondículas inversa (IDWT) sobre la imagen transformada mediante transformada discreta de ondículas (DWT), incluidos los conjuntos de coeficientes modificados.