Conjuntos disjuntos

En la teoría de conjuntos en matemáticas y lógica formal , se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. De forma equivalente, dos conjuntos disjuntos son aquellos cuya intersección es el conjunto vacío . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos, mientras que {1, 2, 3} y {3, 4, 5} no lo son. Una colección de dos o más conjuntos se denomina disjunta si cualesquiera dos conjuntos distintos de la colección son disjuntos.

Esta definición de conjuntos disjuntos puede extenderse a familias de conjuntos y a familias de conjuntos indexadas. Por definición, una colección de conjuntos se llama familia de conjuntos (como el conjunto potencia , por ejemplo). En algunas fuentes, se trata de un conjunto de conjuntos, mientras que otras permiten que sea un multiconjunto de conjuntos, con algunos conjuntos repetidos. Una familia de conjuntos indexada${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$es por definición una función con valores de conjunto (es decir, es una función que asigna un conjunto${\displaystyle A_{i}}$a cada elemento${\displaystyle i\in I}$en su dominio) cuyo dominio${\displaystyle I}$se denomina su conjunto de índices (y los elementos de su dominio se denominan índices ).

Hay dos definiciones sutilmente diferentes para cuando una familia de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se denomina disyunción por pares . Según una definición, la familia es disjunta si cada dos conjuntos de la familia son idénticos o disjuntos. Esta definición permitiría que las familias de conjuntos disjuntos por pares tuvieran copias repetidas del mismo conjunto. Según una definición alternativa, cada dos conjuntos de la familia deben ser disjuntos; no se permiten copias repetidas. Estas dos definiciones se pueden aplicar a una familia de conjuntos indexada: según la primera, cada dos índices distintos de la familia deben nombrar conjuntos que sean disjuntos o idénticos, mientras que según la segunda, cada dos índices distintos deben nombrar conjuntos disjuntos. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, la familia de conjuntos { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } es disjunta según ambas definiciones, al igual que la familia { {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } de las dos clases de paridad de enteros. Sin embargo, la familia${\displaystyle (\{n+2k\mid k\in \mathbb {Z} \})_{n\in \{0,1,\ldots ,9\}}}$con 10 miembros tiene cinco repeticiones de cada uno de los dos conjuntos disjuntos, por lo que es disjunto por pares según la primera definición pero no según la segunda.

Se dice que dos conjuntos son conjuntos casi disjuntos si su intersección es pequeña en algún sentido. Por ejemplo, se puede decir que dos conjuntos infinitos cuya intersección es un conjunto finito son casi disjuntos. ^{[ 3 ]}

En topología , existen diversas nociones de conjuntos separados con condiciones más estrictas que la disyunción. Por ejemplo, dos conjuntos pueden considerarse separados cuando tienen clausuras disjuntas o vecindarios disjuntos . De manera similar, en un espacio métrico , los conjuntos positivamente separados son aquellos separados por una distancia no nula . ^{[ 4 ]}

La disyunción de dos conjuntos, o de una familia de conjuntos, puede expresarse en términos de intersecciones de pares de ellos.

Dos conjuntos A y B son disjuntos si y solo si su intersección${\displaystyle A\cap B}$es el conjunto vacío . ^{[ 1 ]} De esta definición se deduce que todo conjunto es disjunto del conjunto vacío, y que el conjunto vacío es el único conjunto que es disjunto de sí mismo. ^{[ 5 ]}

Si una colección contiene al menos dos conjuntos, la condición de que la colección sea disjunta implica que la intersección de toda la colección es vacía. Sin embargo, una colección de conjuntos puede tener una intersección vacía sin ser disjunta. Además, si bien una colección de menos de dos conjuntos es trivialmente disjunta, ya que no hay pares que comparar, la intersección de una colección de un conjunto es igual a ese conjunto, que puede no ser vacío. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, los tres conjuntos { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } tienen una intersección vacía pero no son disjuntos. De hecho, no hay dos conjuntos disjuntos en esta colección.

La familia vacía de conjuntos es disjunta dos a dos. ^{[ 6 ]}

Una familia de Helly es un sistema de conjuntos en el que las únicas subfamilias con intersecciones vacías son aquellas que son disjuntas dos a dos. Por ejemplo, los intervalos cerrados de los números reales forman una familia de Helly: si una familia de intervalos cerrados tiene una intersección vacía y es mínima (es decir, ninguna subfamilia de la familia tiene una intersección vacía), debe ser disjunta dos a dos. ^{[ 7 ]}

Una partición de un conjunto X es cualquier colección de conjuntos no vacíos disjuntos entre sí cuya unión es X. ^{[ 8} ] Toda partición puede describirse de forma equivalente mediante una relación de equivalencia , una relación binaria que describe si dos elementos pertenecen al mismo conjunto en la partición. ^{[ 8 ]} Las estructuras de datos de conjuntos disjuntos ^{[ 9 ]} y el refinamiento de particiones ^{[ 10 ] son ​​dos técnicas en informática para mantener de forma eficiente particiones de un conjunto sujetas, respectivamente, a} operaciones de unión que fusionan dos conjuntos o a operaciones de refinamiento que dividen un conjunto en dos.

Una unión disjunta puede significar una de dos cosas. En su forma más simple, puede significar la unión de conjuntos que son disjuntos. ^{[ 11 ]} Pero si dos o más conjuntos no son disjuntos, su unión disjunta puede formarse modificando los conjuntos para que sean disjuntos antes de formar la unión de los conjuntos modificados. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, dos conjuntos pueden hacerse disjuntos reemplazando cada elemento por un par ordenado formado por el elemento y un valor binario que indique si pertenece al primer o al segundo conjunto. ^{[ 13 ]} Para familias de más de dos conjuntos, se puede reemplazar de manera similar cada elemento por un par ordenado formado por el elemento y el índice del conjunto que lo contiene. ^{[ 14 ]}

• Teorema de separación de hiperplanos para conjuntos convexos disjuntos
• eventos mutuamente excluyentes
• Primos relativos , números con conjuntos disjuntos de divisores primos.
• Separoide
• Empaquetamiento de conjuntos , el problema de encontrar la subfamilia disjunta más grande de una familia de conjuntos.

• Weisstein, Eric W. "Conjuntos disjuntos" . MathWorld .