Unión disjunta

En matemáticas , la unión disjunta (o unión discriminada )${\displaystyle A\sqcup B}$La unión disjunta de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A y B etiquetados (indexados) con el nombre del conjunto del que provienen. Por lo tanto, un elemento que pertenece tanto a A como a B aparece dos veces en la unión disjunta, con dos etiquetas diferentes.

Una unión disjunta de una familia indexada de conjuntos${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$es un conjunto${\displaystyle A,}$a menudo denotado por${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$con una inyección de cada uno${\displaystyle A_{i}}$en${\displaystyle A,}$de tal manera que las imágenes de estas inyecciones forman una partición de${\displaystyle A}$(es decir, cada elemento de${\displaystyle A}$pertenece exactamente a una de estas imágenes). Una unión disjunta de una familia de conjuntos disjuntos por pares es su unión .

En teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto de la categoría de conjuntos y, por lo tanto, se define salvo una biyección . En este contexto, la notación${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$Se usa con frecuencia.

La unión disjunta de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$se escribe con notación infija como${\displaystyle A\sqcup B}$Algunos autores utilizan la notación alternativa.${\displaystyle A\uplus B}$o${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$(junto con el correspondiente${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$o${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$).

Una forma estándar de construir la unión disjunta es definir${\displaystyle A}$como el conjunto de pares ordenados${\displaystyle (x,i)}$de tal manera que${\displaystyle x\in A_{i},}$y la inyección${\displaystyle A_{i}\to A}$como${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Consideremos los conjuntos${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$y${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$Es posible indexar los elementos del conjunto según el origen del conjunto mediante la formación de los conjuntos asociados. ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

donde el segundo elemento de cada par coincide con el subíndice del conjunto de origen (por ejemplo, el${\displaystyle 0}$en${\displaystyle (5,0)}$coincide con el subíndice en${\displaystyle A_{0},}$etc.). La unión disjunta${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$Se puede calcular entonces de la siguiente manera: $${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

Formalmente, dejemos${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ser una familia indexada de conjuntos indexados por${\displaystyle I.}$La unión disjunta de esta familia es el conjunto $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ Los elementos de la unión disjunta son pares ordenados.${\displaystyle (x,i).}$Aquí${\displaystyle i}$sirve como índice auxiliar que indica cuál${\displaystyle A_{i}}$el elemento${\displaystyle x}$vino de.

Cada uno de los conjuntos${\displaystyle A_{i}}$es canónicamente isomorfo al conjunto $${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ Mediante este isomorfismo, se puede considerar que${\displaystyle A_{i}}$está canónicamente incrustado en la unión disjunta. Para${\displaystyle i\neq j,}$los conjuntos${\displaystyle A_{i}^{*}}$y${\displaystyle A_{j}^{*}}$son disjuntos incluso si los conjuntos${\displaystyle A_{i}}$y${\displaystyle A_{j}}$no lo son.

En el caso extremo en que cada uno de los${\displaystyle A_{i}}$es igual a algún conjunto fijo${\displaystyle A}$para cada${\displaystyle i\in I,}$La unión disjunta es el producto cartesiano de${\displaystyle A}$y${\displaystyle I}$: $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

Ocasionalmente, la notación $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$ se utiliza para la unión disjunta de una familia de conjuntos, o la notación${\displaystyle A+B}$para la unión disjunta de dos conjuntos. Esta notación sugiere que la cardinalidad de la unión disjunta es la suma de las cardinalidades de los términos de la familia. Compárese con la notación del producto cartesiano de una familia de conjuntos.

En el lenguaje de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos . Por lo tanto, satisface la propiedad universal asociada . Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción de producto cartesiano . Véase Coproducto para más detalles.

Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante, y en un abuso simplificador de la notación , la familia indexada puede tratarse simplemente como una colección de conjuntos. En este caso${\displaystyle A_{i}^{*}}$se hace referencia a una copia de${\displaystyle A_{i}}$y la notación${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$a veces se utiliza.

En la teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.

Por lo tanto, la unión disjunta se define salvo isomorfismo, y la definición anterior es solo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos son disjuntos dos a dos, la unión usual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición que aparece al principio.

Este aspecto categórico de la unión disjunta explica por qué${\displaystyle \coprod }$se usa frecuentemente, en lugar de${\displaystyle \bigsqcup ,}$para denotar coproducto .

• Coproducto – Construcción basada en la teoría de categorías 
• Límite directo : caso especial de colímite en teoría de categorías. 
• Unión disjunta (topología) – Término matemático 
• Unión disjunta de grafos : operación binaria que combina los conjuntos de vértices y aristas de dos grafos. 
• Intersección (teoría de conjuntos) : conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos. 
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos – Igualdades para combinaciones de conjuntos 
• Partición de un conjunto : métodos matemáticos para agrupar elementos de un conjunto. 
• Tipo suma : estructura de datos de unión con casos obligatorios. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Diferencia simétrica : elementos que pertenecen exactamente a uno de dos conjuntos. 
• Unión etiquetada : estructura de datos de unión con casos forzados 
• Unión (informática) : tipo de dato que permite valores que son de uno de varios tipos de datos diferentes. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (Cuarta impresión corregida, tercera  edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, pág.  60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Unión disjunta" . MathWorld .