Ecuación sin dispersión

Los límites sin dispersión (o cuasiclásicos) de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) integrables surgen en diversos problemas de matemáticas y física y han sido estudiados intensamente en la literatura reciente (ver, por ejemplo, las referencias a continuación). Por lo general, surgen cuando se consideran ondas largas moduladas lentamente de un sistema de EDP dispersivo integrable.

La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili sin dispersión (dKPE), también conocida (hasta un cambio lineal no esencial de variables) como ecuación de Khokhlov-Zabolotskaya , tiene la forma

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)}$

Surge de la conmutación

${\displaystyle [L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)}$

del siguiente par de familias de campos vectoriales de 1 parámetro

${\displaystyle L_{1}=\parcial _{y}+\lambda \parcial _{x}-u_{x}\parcial _{\lambda },\qquad (3a)}$

${\displaystyle L_{2}=\parcial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\parcial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\parcial _{\lambda },\qquad (3b)}$

donde es un parámetro espectral. El dKPE es el límite sin dispersión de la famosa ecuación de Kadomtsev–Petviashvili , que surge al considerar ondas largas de ese sistema. El dKPE, como muchos otros sistemas sin dispersión integrables de (2+1) dimensiones, admite una generalización de (3+1) dimensiones. ^[1]${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización x}$

El sistema KP sin dispersión está estrechamente relacionado con la jerarquía de momentos de Benney , cada uno de los cuales es un sistema integrable sin dispersión:

${\displaystyle A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.}$

Estas surgen como condición de consistencia entre

${\displaystyle \lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},}$

y las dos evoluciones más simples en la jerarquía son:

${\displaystyle p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,}$

${\displaystyle p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,}$

El dKP se recupera al configurar

${\displaystyle u=A^{0},}$

y eliminar los demás momentos, así como identificar y . ${\displaystyle y=t_{2}}$$estilo de visualización t=t_{3}$

Si se establece , de modo que los momentos numerables se expresen en términos de sólo dos funciones, resultan las ecuaciones clásicas de aguas poco profundas :${\displaystyle A^{n}=hv^{n}}$$Estilo de visualización A^{n}}$

${\displaystyle h_{y}+(hv)_{x}=0,}$

${\displaystyle v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.}$

Estas también pueden derivarse considerando soluciones de trenes de ondas moduladas lentamente de la ecuación no lineal de Schrödinger . Estas "reducciones", que expresan los momentos en términos de un número finito de variables dependientes, se describen mediante la ecuación de Gibbons-Tsarev .

La ecuación sin dispersión de Korteweg-de Vries (dKdVE) se lee como

${\displaystyle u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)}$

Es el límite cuasiclásico o sin dispersión de la ecuación de Korteweg–de Vries . Se satisface con soluciones independientes del sistema dKP. También se puede obtener a partir del flujo de la jerarquía de Benney al establecer $estilo de visualización t_{2}$$estilo de visualización t_{3}$

${\displaystyle \lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.}$

La ecuación de Novikov-Veselov sin dispersión se escribe más comúnmente como la siguiente ecuación para una función de valor real : ${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}}$

donde se utiliza la siguiente notación estándar de análisis complejo: , . La función aquí es una función auxiliar, definida de forma única desde hasta un sumando holomorfo. ${\displaystyle \partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$

Véase ^[1] para sistemas con pares Lax de contacto, y, por ejemplo, ^{[2] [3]} y referencias allí citadas para otros sistemas.

• Sistemas integrables
• Ecuación no lineal de Schrödinger
• Sistemas no lineales
• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación diferencial parcial dispersiva
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Korteweg-de Vries

• Kodama Y., Gibbons J. "Integrabilidad de la jerarquía KP sin dispersión", Nonlinear World 1, (1990).
• Zakharov VE "Límite sin dispersión de sistemas integrables en 2+1 dimensiones", Límites singulares de ondas dispersivas, serie OTAN ASI, Volumen 320, 165-174, (1994).
• Takasaki, Kanehisa; Takebe, Takashi (1995). "Jerarquías integrables y límite sin dispersión". Reseñas en Física matemática . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Código Bibliográfico :1995RvMaP...7..743T. doi :10.1142/S0129055X9500030X. S2CID  17351327.
• Konopelchenko, BG (2007). "Representación de Weierstrass generalizada cuasiclásica y ecuación DS sin dispersión". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (46): F995–F1004. arXiv : 0709.4148 . doi :10.1088/1751-8113/40/46/F03. S2CID  18451590.
• Konopelchenko, BG; Moro, A. (2004). "Ecuaciones integrables en óptica geométrica no lineal". Estudios en Matemáticas Aplicadas . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin/0403051 . Bibcode :2004nlin......3051K. doi :10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x. S2CID  17611812.
• Dunajski, Maciej (2008). "Un sistema integrable sin dispersión interpolante". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Bibcode :2008JPhA...41E5202D. doi :10.1088/1751-8113/41/31/315202. S2CID  15695718.
• Dunajski M. "Solitones, instantones y twistores", Oxford University Press, 2010.

• Sistema Ishimori en la wiki de ecuaciones dispersivas
• Takebe T. "Conferencias sobre jerarquías integrables sin dispersión", 2014