Ecuación sin dispersión

La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili sin dispersión (dKPE), también conocida (salvo un cambio lineal no esencial de variables) como la ecuación de Khokhlov-Zabolotskaya , tiene la forma

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)}$

Surge de la conmutación

${\displaystyle [L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)}$

del siguiente par de familias de campos vectoriales de 1 parámetro

${\displaystyle L_{1}=\partial _{y}+\lambda \partial _{x}-u_{x}\partial _{\lambda },\qquad (3a)}$

${\displaystyle L_{2}=\partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b)}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es un parámetro espectral. El dKPE es el${\displaystyle x}$-límite sin dispersión de la célebre ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , que surge al considerar ondas largas de ese sistema. La dKPE, al igual que muchos otros sistemas integrables sin dispersión de (2+1) dimensiones, admite una generalización de (3+1) dimensiones. ^{[ 1 ]}

El sistema KP sin dispersión está estrechamente relacionado con la jerarquía de momentos de Benney , cada uno de los cuales es un sistema integrable sin dispersión:

${\displaystyle A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.}$

Estos surgen como la condición de consistencia entre

${\displaystyle \lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},}$

y las dos evoluciones más simples en la jerarquía son:

${\displaystyle p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,}$

${\displaystyle p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,}$

El dKP se recupera al configurar

${\displaystyle u=A^{0},}$

y eliminando los otros momentos, así como identificando${\displaystyle y=t_{2}}$y${\displaystyle t=t_{3}}$.

Si uno establece${\displaystyle A^{n}=hv^{n}}$, de modo que los innumerables momentos${\displaystyle A^{n}}$Si se expresan en términos de solo dos funciones, resultan las ecuaciones clásicas de aguas poco profundas :

${\displaystyle h_{y}+(hv)_{x}=0,}$

${\displaystyle v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.}$

Estas soluciones también pueden derivarse de considerar soluciones de trenes de ondas moduladas lentamente de la ecuación de Schrödinger no lineal . Dichas "reducciones", que expresan los momentos en términos de un número finito de variables dependientes, se describen mediante la ecuación de Gibbons-Tsarev .

La ecuación sin dispersión de Korteweg-de Vries (dKdVE) se lee como

${\displaystyle u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)}$

Es el límite sin dispersión o cuasiclásico de la ecuación de Korteweg-de Vries . Se satisface mediante${\displaystyle t_{2}}$-soluciones independientes del sistema dKP. También se puede obtener a partir de la${\displaystyle t_{3}}$-flujo de la jerarquía de Benney en la configuración

${\displaystyle \lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.}$

La ecuación de Novikov-Veselov sin dispersión se escribe comúnmente como la siguiente ecuación para una función de valor real.${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}}$

donde se utiliza la siguiente notación estándar de análisis complejo :${\displaystyle \partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})}$,${\displaystyle \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})}$. La función${\displaystyle w}$Aquí hay una función auxiliar , definida de forma única a partir de${\displaystyle v}$hasta un sumando holomorfo.

Véase ^{[ 1 ]} para sistemas con pares de Lax de contacto , y por ejemplo, ^{[ 2 ] [ 3 ]} y las referencias allí citadas para otros sistemas.

• Kodama Y., Gibbons J. "Integrabilidad de la jerarquía KP sin dispersión", Nonlinear World 1, (1990).
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