Distribución de Poisson desplazada

La función de masa de probabilidad es

${\displaystyle P(X=n)={\begin{cases}e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r,\lambda \right)}},\quad n=0,1,2,\ldots &{\text{si }}r\geq 0\\[10pt]e^{-\lambda }{\dfrac {\lambda ^{n+r}}{\left(n+r\right)!}}\cdot {\dfrac {1}{I\left(r+s,\lambda \right)}},\quad n=s,s+1,s+2,\ldots &{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \lambda >0}$y r es un nuevo parámetro; la distribución de Poisson se recupera en r  =  0. Aquí${\displaystyle I\left(r,\lambda \right)}$es la función gamma incompleta de Pearson :

${\displaystyle I(r,\lambda )=\sum _{y=r}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{y}}{y!}},}$

donde s es la parte integral de r . La motivación dada por Staff ^{[ 1 ]} es que la razón de probabilidades sucesivas en la distribución de Poisson (es decir,${\displaystyle P(X=n)/P(X=n-1)}$) viene dado por${\displaystyle \lambda /n}$para${\displaystyle n>0}$y la Poisson desplazada generaliza esta razón a${\displaystyle \lambda /\left(n+r\right)}$.

Una de las limitaciones de la distribución de Poisson es que asume la equidispersión : la media y la varianza de la variable son iguales. ^{[ 2 ]} La distribución de Poisson desplazada puede ser útil para modelar datos subdispersos o sobredispersos, como por ejemplo:

• la distribución de poblaciones de insectos en campos de cultivo; ^{[ 3 ]}
• el número de flores en las plantas; ^{[ 1 ]}
• recuentos de accidentes de vehículos motorizados; ^{[ 4 ]} y
• longitud de palabras o frases en la escritura. ^{[ 5 ]}

• Para una variable aleatoria con distribución de Poisson desplazada, la media es igual a${\displaystyle \lambda -r}$y la varianza es igual a${\displaystyle \lambda }$.
• La moda de una variable aleatoria con distribución de Poisson desplazada son los valores enteros acotados por${\displaystyle \lambda -r-1}$y${\displaystyle \lambda -r}$cuando${\displaystyle \lambda \geq r+1}$. Cuando${\displaystyle \lambda <r+1}$, hay un único modo en${\displaystyle x=0}$.
• El primer cumulante${\displaystyle \kappa _{1}}$es igual a${\displaystyle \lambda -r}$y todos los cumulantes subsiguientes${\displaystyle \kappa _ {n},n\geq 2}$son iguales a${\displaystyle \lambda }$.