Densidad de corriente de desplazamiento

En electromagnetismo , la densidad de corriente de desplazamiento es la tasa de cambio del campo eléctrico de desplazamiento $D$ , que aparece como $\partial D / \partial t$ en las ecuaciones de Maxwell . La densidad de corriente de desplazamiento tiene las mismas unidades que la densidad de corriente eléctrica y es una fuente del campo magnético , al igual que la corriente eléctrica. Sin embargo, no se trata de una corriente eléctrica de cargas en movimiento, sino de un campo eléctrico variable en el tiempo . En los materiales físicos (a diferencia del vacío), también existe una contribución del ligero movimiento de las cargas ligadas en los átomos, denominada polarización dieléctrica .

La idea fue concebida por James Clerk Maxwell en su artículo de 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza " (Parte III) ^{[ 1 ]} en relación con el desplazamiento de partículas eléctricas en un medio dieléctrico . Maxwell añadió la corriente de desplazamiento al término de corriente eléctrica en la ley circuital de Ampère . En su artículo de 1865, Una teoría dinámica del campo electromagnético, Maxwell utilizó esta versión modificada de la ley circuital de Ampère para derivar la ecuación de onda electromagnética . Esta derivación se acepta generalmente como un hito histórico en la física por unir la electricidad, el magnetismo y la óptica en una sola teoría unificada. El término de corriente de desplazamiento se considera ahora una adición crucial que completó las ecuaciones de Maxwell y es necesaria para explicar muchos fenómenos, en particular la existencia de ondas electromagnéticas .

Explicación

El campo de desplazamiento eléctrico $D$ se define como:

$\mathbf {D} =\varepsilon _ {0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,$

dónde:

$ε 0$ es la permitividad del espacio libre;
$E$ es la intensidad del campo eléctrico ; y
$P$ es la polarización del medio.

Al diferenciar esta ecuación con respecto al tiempo se define la densidad de corriente de desplazamiento ( $J D$ ), que por lo tanto tiene dos componentes en un dieléctrico ^{[ 2 ]} (véase también " densidad de corriente#Corriente de desplazamiento "):

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.$

El primer término del lado derecho está presente en medios materiales y en el espacio libre. No necesariamente proviene de un movimiento real de carga, pero sí tiene un campo magnético asociado, al igual que una corriente debida al movimiento de carga. Algunos autores denominan corriente de desplazamiento al primer término por sí solo. ^{[ 3 ]}

El segundo término del lado derecho, llamado densidad de corriente de polarización, proviene del cambio en la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. La polarización se produce cuando, bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado , las cargas en las moléculas se han movido desde una posición de cancelación exacta. Las cargas positivas y negativas en las moléculas se separan, causando un aumento en el estado de polarización $P.$ Un cambio en el estado de polarización corresponde a un movimiento de carga y, por lo tanto, es equivalente a una corriente, de ahí el término "corriente de polarización". Así,

$I_{\mathrm {D} }=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial \Phi _{\mathrm {D} }}{\partial t}}\,.$

Esta polarización es la corriente de desplazamiento tal como la concibió originalmente Maxwell. Maxwell no hizo ningún tratamiento especial al vacío, tratándolo como un medio material. Para Maxwell, el efecto de $P$ era simplemente cambiar la permitividad relativa $ε r$ en la relación $D = ε 0 ε r E$ .

La justificación moderna de la corriente de desplazamiento se explica a continuación.

caso dieléctrico isotrópico

En el caso de un material dieléctrico muy simple, se cumple la relación constitutiva :

$\mathbf {D} =\varepsilon \,\mathbf {E} ~,$

donde la permitividad $\varepsilon =\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }$ es el producto de:

$ε 0$ , la permitividad del espacio libre , o la constante eléctrica ; y
$ε r$ , la permitividad relativa del dieléctrico.

En la ecuación anterior, el uso de $ε$ tiene en cuenta la polarización (si la hay) del material dieléctrico.

El valor escalar de la corriente de desplazamiento también puede expresarse en términos de flujo eléctrico :

$I_{\mathrm {D} }=\varepsilon \,{\frac {\,\partial \Phi _{\mathrm {E} }\,}{\partial t}}~.$

Las formas en términos del escalar $ε$ son correctas solo para materiales lineales isótropos . Para materiales lineales no isótropos, $ε$ se convierte en una matriz ; incluso de forma más general, $ε$ puede ser reemplazado por un tensor , que puede depender del propio campo eléctrico o puede presentar dependencia de la frecuencia (y por lo tanto, dispersión ).

Para un dieléctrico isotrópico lineal, la polarización $P$ viene dada por:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\mathrm {e} }\,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1)\,\mathbf {E} ~,$

donde $χ e$ se conoce como la susceptibilidad del dieléctrico a los campos eléctricos. Nótese que

$\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\varepsilon _{0}=\left(1+\chi _{\mathrm {e} }\right)\,\varepsilon _{0}~.$

Necesidad

A continuación se presentan algunas implicaciones de la corriente de desplazamiento, que concuerdan con las observaciones experimentales y con los requisitos de coherencia lógica para la teoría del electromagnetismo.

Generalización de la ley circuital de Ampère

Corriente en condensadores

Un ejemplo que ilustra la necesidad de la corriente de desplazamiento surge en relación con los condensadores sin medio entre las placas. Considere el condensador de carga de la figura.

El condensador se encuentra en un circuito que provoca la aparición de cargas iguales y opuestas en la placa izquierda y la placa derecha, cargándolo y aumentando el campo eléctrico entre sus placas. No se transporta carga real a través del vacío entre sus placas. Sin embargo, existe un campo magnético entre las placas como si también hubiera una corriente presente. Una explicación es que una corriente de desplazamiento $I D$ "fluye" en el vacío, y esta corriente produce el campo magnético en la región entre las placas según la ley de Ampère : ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\mathrm {D} }~,$

dónde

$\oint _{C}$ es la integral de línea cerrada alrededor de alguna curva cerrada $C$ ;
$\mathbf {B}$ es el campo magnético medido en teslas ;
$\operatorname {\cdot } ~$ es el producto escalar de vectores ;
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ es un elemento de línea vectorial infinitesimal a lo largo de la curva $C$ , es decir, un vector con magnitud igual a la longitud del elemento de $C$ y dirección dada por la tangente a la curva $C$ ;
$\mu _{0}\,$ es la constante magnética , también llamada permeabilidad del espacio libre; y
$I_{\mathrm {D} }\,$ es la corriente de desplazamiento neto que pasa a través de una pequeña superficie delimitada por la curva $C.$

El campo magnético entre las placas es el mismo que el que hay fuera de las placas, por lo que la corriente de desplazamiento debe ser la misma que la corriente de conducción en los cables, es decir,

$I_{\mathrm {D} }=I\,,$

lo cual extiende la noción de corriente más allá del mero transporte de carga.

A continuación, esta corriente de desplazamiento se relaciona con la carga del condensador. Consideremos la corriente en la superficie cilíndrica imaginaria que rodea la placa izquierda. Una corriente, digamos $I$ , pasa hacia afuera a través de la superficie izquierda $L$ del cilindro, pero no hay corriente de conducción (no hay transporte de cargas reales) que atraviese la superficie derecha $R.$ Nótese que el campo eléctrico $E$ entre las placas aumenta a medida que el condensador se carga. Es decir, de una manera descrita por la ley de Gauss , suponiendo que no hay dieléctrico entre las placas:

$Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{S}\mathbf {E} (t)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,,$

donde $S$ se refiere a la superficie cilíndrica imaginaria. Suponiendo un condensador de placas paralelas con campo eléctrico uniforme y despreciando los efectos de borde alrededor de los bordes de las placas, según la ecuación de conservación de carga

$I=-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\varepsilon _{0}\oint _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =S\,\varepsilon _{0}{\Biggl .}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Biggr |}_{R}~,$

donde el primer término tiene signo negativo porque la carga abandona la superficie $L$ (la carga está disminuyendo), el último término tiene signo positivo porque el vector unitario de la superficie $R$ va de izquierda a derecha, mientras que la dirección del campo eléctrico va de derecha a izquierda, $S$ es el área de la superficie $R.$ El campo eléctrico en la superficie $L$ es cero porque la superficie $L$ está en el exterior del condensador. Bajo la suposición de una distribución uniforme del campo eléctrico dentro del condensador, la densidad de corriente de desplazamiento $J$ _D se obtiene dividiendo por el área de la superficie:

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\mathbf {I} _{\mathrm {D} }}{S}}={\frac {\mathbf {I} }{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}~,$

donde $I$ es la corriente que sale de la superficie cilíndrica (que debe ser igual $a I$ _D ) y $J$ _D es el flujo de carga por unidad de área hacia la superficie cilíndrica a través de la cara $R$ .

Combinando estos resultados, se encuentra el campo magnético utilizando la forma integral de la ley de Ampère con una elección arbitraria del contorno siempre que se agregue el término de densidad de corriente de desplazamiento a la densidad de corriente de conducción (la ecuación de Ampère-Maxwell): ^{[ 6 ]}

$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,.$

Esta ecuación dice que la integral del campo magnético $B$ alrededor del borde $\partial S$ La corriente de desplazamiento de una superficie $S$ es igual a la corriente integrada $J$ a través de cualquier superficie con el mismo borde, más el término de corriente de desplazamiento . $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ a través de cualquier superficie.

Como se muestra en la figura de la derecha, la corriente que atraviesa la superficie $S 1$ es completamente corriente de conducción. Aplicando la ecuación de Ampère-Maxwell a la superficie $S 1$ se obtiene:

$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}~.$

Sin embargo, la corriente que atraviesa la superficie $S 2$ es completamente una corriente de desplazamiento. Aplicando esta ley a la superficie $S 2$ , que está delimitada exactamente por la misma curva ⁠ $\partial S$ ⁠ , pero se encuentra entre las placas, produce:

$B={\frac {\mu _{0}I_{\mathrm {D} }}{2\pi r}}~.$

Cualquier superficie $S 1$ que interseca el cable tiene una corriente $I$ que pasa a través de ella, por lo que la ley de Ampère da el campo magnético correcto. Sin embargo, una segunda superficie $S 2$ delimitada por el mismo borde ⁠ $\partial S$ Se podría dibujar pasando entre las placas del condensador, por lo tanto, no tendría corriente pasando a través de él. Sin el término de corriente de desplazamiento, la ley de Ampère daría un campo magnético cero para esta superficie. Por lo tanto, sin el término de corriente de desplazamiento, la ley de Ampère da resultados inconsistentes, el campo magnético dependería de la superficie elegida para la integración. Por lo tanto, el término de corriente de desplazamiento $\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t$ Es necesario un segundo término fuente que proporcione el campo magnético correcto cuando la superficie de integración pasa entre las placas del condensador. Debido a que la corriente aumenta la carga en las placas del condensador, el campo eléctrico entre las placas aumenta, y la tasa de cambio del campo eléctrico proporciona el valor correcto para el campo $B$ hallado anteriormente.

Formulación matemática

En un plano más matemático, se pueden obtener los mismos resultados a partir de las ecuaciones diferenciales subyacentes. Consideremos, para simplificar, un medio no magnético donde la permeabilidad magnética relativa es unitaria y no existe la complicación de la corriente de magnetización (corriente ligada), de modo que $\mathbf {M} =0$ y $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }$ La corriente que sale de un volumen debe ser igual a la tasa de disminución de la carga en dicho volumen. En forma diferencial, esta ecuación de continuidad se convierte en:

$\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=-{\frac {\partial \rho _{\mathrm {f} }}{\partial t}}\,,$

donde el lado izquierdo es la divergencia de la densidad de corriente libre y el lado derecho es la tasa de disminución de la densidad de carga libre. Sin embargo, la ley de Ampère en su forma original establece:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\,,$

lo que implica que la divergencia del término de corriente se anula, contradiciendo la ecuación de continuidad. (La anulación de la divergencia es resultado de la identidad matemática que establece que la divergencia de un rotacional es siempre cero). Este conflicto se elimina mediante la adición de la corriente de desplazamiento, como se muestra a continuación: ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,,$

y

$\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {D} \right)\,,$

lo cual concuerda con la ecuación de continuidad debido a la ley de Gauss :

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {f} }\,.$

propagación de ondas

La corriente de desplazamiento añadida también conduce a la propagación de ondas al tomar el rotacional de la ecuación para el campo magnético. ^{[ 9 ]}

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.$

Sustituyendo esta forma para $J$ en la ley de Ampère , y suponiendo que no hay ninguna densidad de corriente ligada o libre que contribuya a $J$ :

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\,,$

con el resultado:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} \,.$

Sin embargo, $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \,,$

lo que lleva a la ecuación de onda : ^{[ 10 ]} $-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} \,,$

donde se utiliza la identidad vectorial que se cumple para cualquier campo vectorial $V (r, t)$ :

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,,$

y el hecho de que la divergencia del campo magnético es cero. Se puede encontrar una ecuación de onda idéntica para el campo eléctrico tomando el rotacional :

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\,.$

Si $J$ , $P$ y $ρ$ son cero, el resultado es:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \,.$

El campo eléctrico puede expresarse de la siguiente forma general:

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,$

donde $φ$ es el potencial eléctrico (que puede elegirse para satisfacer la ecuación de Poisson ) y $A$ es un potencial vectorial (es decir, potencial vectorial magnético , que no debe confundirse con el área superficial, como se denota $A$ $en otro lugar). El componente \nabla φ$ en el lado derecho es el componente de la ley de Gauss, y este es el componente que es relevante para el argumento de conservación de carga anterior. El segundo término en el lado derecho es el relevante para la ecuación de onda electromagnética, porque es el término que contribuye al rotacional de $E.$ Debido a la identidad vectorial que dice que el rotacional de un gradiente es cero, $\nabla φ$ no contribuye a $\nabla\times E.$

Historia e interpretación

La corriente de desplazamiento de Maxwell fue postulada en la parte III de su artículo de 1861, « Sobre las líneas físicas de fuerza ». Pocos temas en la física moderna han causado tanta confusión y malentendidos como el de la corriente de desplazamiento. ^{[ 11 ]} Esto se debe en parte a que Maxwell utilizó un mar de vórtices moleculares en su derivación, mientras que los libros de texto modernos parten de la base de que la corriente de desplazamiento puede existir en el espacio libre. La derivación de Maxwell no guarda relación con la derivación actual de la corriente de desplazamiento en el vacío, que se basa en la coherencia entre la ley circuital de Ampère para el campo magnético y la ecuación de continuidad para la carga eléctrica.

Maxwell expone su propósito en (Parte I, pág. 161):

Me propongo ahora examinar los fenómenos magnéticos desde un punto de vista mecánico y determinar qué tensiones o movimientos de un medio son capaces de producir los fenómenos mecánicos observados.

Él se cuida de señalar que el tratamiento es por analogía:

El autor de este método de representación no intenta explicar el origen de las fuerzas observadas mediante los efectos debidos a estas deformaciones en el sólido elástico, sino que utiliza las analogías matemáticas de ambos problemas para ayudar a la imaginación en el estudio de ambos.

En la parte III, en relación con la corriente de desplazamiento, dice:

Concebí la materia giratoria como la sustancia de ciertas células, separadas entre sí por paredes celulares compuestas de partículas muy pequeñas en comparación con las células, y que es mediante el movimiento de estas partículas, y su acción tangencial sobre la sustancia de las células, que la rotación se comunica de una célula a otra.

Es evidente que Maxwell se refería a la magnetización, aunque en la misma introducción se habla claramente de polarización dieléctrica.

Maxwell comparó la velocidad de la electricidad medida por Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch (193 088 millas/segundo) con la velocidad de la luz determinada por el experimento de Fizeau (195 647 millas/segundo). Basándose en la coincidencia de ambas velocidades, concluyó que «la luz consiste en ondulaciones transversales en el mismo medio que causa los fenómenos eléctricos y magnéticos». ^{[ 12 ]}

Pero aunque las citas anteriores apuntan hacia una explicación magnética para la corriente de desplazamiento, por ejemplo, basada en la divergencia de la ecuación rotacional anterior, la explicación de Maxwell en última instancia enfatizó la polarización lineal de los dieléctricos:

Este desplazamiento ... es el inicio de una corriente ... La magnitud del desplazamiento depende de la naturaleza del cuerpo y de la fuerza electromotriz, de modo que si $h$ es el desplazamiento, $R$ la fuerza electromotriz y $E$ un coeficiente que depende de la naturaleza del dieléctrico:
$R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\,;$ y si $r$ es el valor de la corriente eléctrica debida al desplazamiento $r={\frac {dh}{dt}}\,,$ Estas relaciones son independientes de cualquier teoría sobre el mecanismo de los dieléctricos; pero cuando encontramos que una fuerza electromotriz produce un desplazamiento eléctrico en un dieléctrico, y cuando encontramos que el dieléctrico se recupera de su estado de desplazamiento eléctrico ... no podemos evitar considerar los fenómenos como los de un cuerpo elástico, que cede ante una presión y recupera su forma cuando se elimina dicha presión.

— Sobre las líneas de fuerza físicas , Parte III, La teoría de los vórtices moleculares aplicada a la electricidad estática , págs. 14-15

Con algunos cambios de símbolos (y unidades) combinados con los resultados deducidos en la sección § Corriente en capacitores ( $r \to J$ , $R \to - E$ , y la constante del material $E -2 \to 4π ε r ε 0$ estas ecuaciones toman la forma familiar entre un capacitor de placas paralelas con campo eléctrico uniforme, y despreciando los efectos de borde alrededor de los bordes de las placas:

$J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}E={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}E={\frac {d}{dt}}D\,.$

Cuando se trató de derivar la ecuación de onda electromagnética a partir de la corriente de desplazamiento en su artículo de 1865 ' Una teoría dinámica del campo electromagnético ', sorteó el problema de la divergencia no nula asociada con la ley de Gauss y el desplazamiento dieléctrico eliminando el término de Gauss y derivando la ecuación de onda exclusivamente para el vector del campo magnético solenoidal.

El énfasis de Maxwell en la polarización desvió la atención hacia el circuito del condensador eléctrico y condujo a la creencia común de que Maxwell concibió la corriente de desplazamiento para mantener la conservación de la carga en dicho circuito. Existen diversas nociones discutibles sobre el pensamiento de Maxwell, que van desde su supuesto deseo de perfeccionar la simetría de las ecuaciones de campo hasta el deseo de lograr la compatibilidad con la ecuación de continuidad. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Véase también

Referencias

↑ Sobre las líneas de fuerza físicas, Parte III
↑ John D Jackson (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. pág . 238. ISBN 978-0-471-30932-1.
↑ Por ejemplo, véase David J Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson/Addison Wesley. pág . 323. ISBN 978-0-13-805326-0.y Tai L Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética . Jones & Bartlett. pág. 204. ISBN 978-0-7637-3827-3.
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↑ Vyacheslav Stepin (2002). Conocimiento teórico . Springer. pág. 202. ISBN 978-1-4020-3045-1.

Los documentos de Maxwell

Sobre las líneas de fuerza de Faraday: El artículo de Maxwell de 1855
Sobre las líneas físicas de fuerza: El artículo de Maxwell de 1861
Una teoría dinámica del campo electromagnético. Artículo de Maxwell de 1864.

Lecturas adicionales

AM Bork Maxwell, Corriente de desplazamiento y simetría (1963)
AM Bork Maxwell y la ecuación de onda electromagnética (1967)

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con el desplazamiento disponible en Wikimedia Commons.

[1] Sobre las líneas de fuerza físicas, Parte III

[Jackson-2] John D Jackson (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. pág . 238. ISBN 978-0-471-30932-1.

[Griffiths-3] Por ejemplo, véase David J Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson/Addison Wesley. pág . 323. ISBN 978-0-13-805326-0.y Tai L Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética . Jones & Bartlett. pág. 204. ISBN 978-0-7637-3827-3.

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[12] Maxwell, James C. "Sobre las líneas físicas de fuerza, parte III" . Revista filosófica .

[Nahin-13] Paul J. Nahin (2002). Oliver Heaviside: La vida, obra y época de un genio de la electricidad de la época victoriana . Johns Hopkins University Press. pág. 109. ISBN 978-0-8018-6909-9.

[Stepin-14] Vyacheslav Stepin (2002). Conocimiento teórico . Springer. pág. 202. ISBN 978-1-4020-3045-1.

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