Operador de desplazamiento

En el estudio de la mecánica cuántica del espacio de fase óptico , el operador de desplazamiento para un modo es el operador de desplazamiento en óptica cuántica ,

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}$,

dónde${\displaystyle \alpha }$es la cantidad de desplazamiento en el espacio de fase óptica ,${\displaystyle \alpha ^{*}}$ es el conjugado complejo de ese desplazamiento, y${\displaystyle {\hat {a}}}$y${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$son los operadores de descenso y ascenso , respectivamente.

El nombre de este operador deriva de su capacidad para desplazar un estado localizado en el espacio de fases por una magnitud${\displaystyle \alpha }$. También puede actuar sobre el estado de vacío desplazándolo a un estado coherente . Específicamente, ${\displaystyle {\sombrero {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$dónde${\displaystyle |\alpha \rangle }$es un estado coherente , que es un autoestado del operador de aniquilación (reducción). Este operador fue introducido independientemente por Richard Feynman y Roy J. Glauber en 1951. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

El operador de desplazamiento es un operador unitario y, por lo tanto, obedece a ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}$, dónde${\displaystyle {\hat {1}}}$es el operador identidad. Dado que${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}$, el conjugado hermitiano del operador de desplazamiento también puede interpretarse como un desplazamiento de magnitud opuesta (${\displaystyle -\alpha }$). El efecto de aplicar este operador en una transformación de similitud de los operadores de escalera resulta en su desplazamiento.

${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }$

El producto de dos operadores de desplazamiento es otro operador de desplazamiento cuyo desplazamiento total, salvo un factor de fase, es la suma de los dos desplazamientos individuales. Esto se puede comprobar utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.}$

lo cual nos muestra que:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}$

Al actuar sobre un autovalor, el factor de fase${\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$aparece en cada término del estado resultante, lo que lo hace físicamente irrelevante. ^{[ 4 ]}

Además, conduce a la relación de trenzado.

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta }{\hat {D}}(\beta ){\hat {D}}(\alpha )}$

La identidad de Kermack-McCrea (llamada así en honor a William Ogilvy Kermack y William McCrea ) ofrece dos formas alternativas de expresar el operador de desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}$

En el Cahill-Glauber${\displaystyle s}$Representación de orden - podemos escribir algunas definiciones útiles de estas formas del operador de desplazamiento.

${\displaystyle {\hat {D}}_{\text{symmetric}}(\alpha )\equiv {\hat {D}}_{0}(\alpha )\equiv {\hat {D}}(\alpha )=e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}_{\text{normal}}(\alpha )\equiv {\hat {D}}_{+1}(\alpha )\equiv e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}_{\text{anti-normal}}(\alpha )\equiv {\hat {D}}_{-1}(\alpha )\equiv e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}$

Con la generalización: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\hat {D}}_{s}(\alpha )\equiv {\hat {D_{0}}}(\alpha )e^{{\frac {s}{2}}|\alpha |^{2}}=e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{{\frac {s}{2}}|\alpha |^{2}}}$

El operador de desplazamiento es la transformada de Fourier de la función delta simétrica.

${\displaystyle {\hat {T}}_{0}(\alpha )\equiv \pi \delta _{0}^{(2)}({\hat {a}}-\alpha ,{\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*})=\int {\frac {d^{2}\beta }{\pi }}{\hat {D}}_{0}(\beta )e^{\beta ^{*}\alpha -\beta \alpha ^{*}}}$

Esto se extiende a la función delta generalmente ordenada: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\hat {T}}_{s}(\alpha )\equiv \pi \delta _{s}^{(2)}({\hat {a}}-\alpha ,{\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*})=\int {\frac {d^{2}\beta }{\pi }}{\hat {D}}_{s}(\beta )e^{\beta ^{*}\alpha -\beta \alpha ^{*}}}$

Ejemplo: Función delta ordenada normal

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{+1}(\alpha )&=\int {\frac {d^{2}\beta }{\pi }}{\hat {D}}_{+1}(\beta )e^{\beta ^{*}\alpha -\beta \alpha ^{*}}\\&=\int {\frac {d^{2}\beta }{\pi }}e^{{\hat {a}}^{\dagger }\beta }e^{-{\hat {a}}\beta ^{*}}e^{\beta ^{*}\alpha -\beta \alpha ^{*}}\\&=\int {\frac {d^{2}\beta }{\pi }}e^{({\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*})\beta }e^{(\alpha -{\hat {a}})\beta ^{*}}\\&={\frac {1}{\pi }}\left[\pi \delta ^{(1)}({\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*})\right]\left[\pi \delta ^{(1)}({\hat {a}}-\alpha )\right]\\&=\pi \delta _{+1}^{(2)}({\hat {a}}-\alpha ,{\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*})\end{aligned}}}$

El operador de desplazamiento también puede generalizarse al desplazamiento multimodo. Un operador de creación multimodo puede definirse como

${\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}$,

dónde${\displaystyle \mathbf {k} }$es el vector de onda y su magnitud está relacionada con la frecuencia${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}$de acuerdo a${\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}$. Usando esta definición, podemos escribir el operador de desplazamiento multimodo como

${\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}$,

y definir el estado coherente multimodo como

${\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }$.

• espacio de fase óptica