Partículas indistinguibles

A continuación se presenta un ejemplo para concretar la discusión anterior, utilizando el formalismo desarrollado en el artículo sobre la formulación matemática de la mecánica cuántica .

Sea n un conjunto completo de números cuánticos (discretos) para especificar estados de una sola partícula (por ejemplo, para el problema de la partícula en una caja , tomemos n como el vector de onda cuantizado de la función de onda). Para simplificar, consideremos un sistema compuesto por dos partículas que no interactúan entre sí. Supongamos que una partícula está en el estado n ₁ y la otra en el estado n _2. El estado cuántico del sistema se denota por la expresión

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

donde importa el orden del producto tensorial (si${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$, entonces la partícula 1 ocupa el estado n ₂ mientras que la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ). Esta es la forma canónica de construir una base para un espacio de producto tensorial.${\displaystyle H\otimes H}$del sistema combinado de los espacios individuales. Esta expresión es válida para partículas distinguibles, sin embargo, no es apropiada para partículas indistinguibles ya que${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$y${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$Como resultado del intercambio, las partículas generalmente se encuentran en estados diferentes.

• "la partícula 1 ocupa el estado n ₁ y la partícula 2 ocupa el estado n ₂ " ≠ "la partícula 1 ocupa el estado n ₂ y la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ".

Dos estados son físicamente equivalentes solo si difieren como máximo por un factor de fase complejo. Para dos partículas indistinguibles, un estado antes del intercambio de partículas debe ser físicamente equivalente al estado después del intercambio, por lo que estos dos estados difieren como máximo por un factor de fase complejo. Este hecho sugiere que un estado para dos partículas indistinguibles (y que no interactúan) viene dado por las siguientes dos posibilidades: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Los estados en los que se trata de una suma se conocen como simétricos , mientras que los estados que implican una diferencia se denominan antisimétricos . De forma más completa, los estados simétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constante}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

mientras que los estados antisimétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Nótese que si n₁ y n₂ son iguales, la expresión antisimétrica da como resultado cero, lo cual no puede ser un vector de estado, ya que no se puede normalizar. En otras palabras, más de una partícula idéntica no puede ocupar un estado antisimétrico (un estado antisimétrico solo puede ser ocupado por una partícula). Esto se conoce como el _{principio de} exclusión de Pauli y es la razón fundamental de las propiedades químicas de los átomos y la estabilidad de la materia .

La importancia de los estados simétricos y antisimétricos se basa en última instancia en evidencia empírica. Parece ser un hecho de la naturaleza que partículas idénticas no ocupan estados de simetría mixta, como

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

En realidad, existe una excepción a esta regla, que se analizará más adelante. Por otro lado, se puede demostrar que los estados simétricos y antisimétricos son, en cierto sentido, especiales, examinando una simetría particular de los estados de múltiples partículas conocida como simetría de intercambio .

Definimos un operador lineal P , llamado operador de intercambio. Cuando actúa sobre un producto tensorial de dos vectores de estado, intercambia los valores de los vectores de estado:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P es hermitiano y unitario . Debido a su unicidad, puede considerarse un operador de simetría . Esta simetría puede describirse como la simetría bajo el intercambio de etiquetas asociadas a las partículas (es decir, a los espacios de Hilbert de una sola partícula).

Claramente,${\displaystyle P^{2}=1}$(el operador identidad), por lo que los valores propios de P son +1 y −1 . Los vectores propios correspondientes son los estados simétrico y antisimétrico:

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

En otras palabras, los estados simétricos y antisimétricos permanecen prácticamente inalterados al intercambiar las etiquetas de las partículas: solo se multiplican por un factor de +1 o −1 , en lugar de ser "rotados" en algún otro lugar del espacio de Hilbert. Esto indica que las etiquetas de las partículas carecen de significado físico, en concordancia con la discusión previa sobre la indistinguibilidad.

Dado que P es hermitiana, puede considerarse como una observable del sistema: se puede realizar una medición para determinar si un estado es simétrico o antisimétrico. Además, la equivalencia de las partículas indica que el hamiltoniano puede escribirse en una forma simétrica, como

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Es posible demostrar que tales hamiltonianos satisfacen la relación de conmutación.

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

Según la ecuación de Heisenberg , esto significa que el valor de P es una constante de movimiento. Si el estado cuántico es inicialmente simétrico (antisimétrico), seguirá siéndolo a medida que el sistema evoluciona. Matemáticamente, esto indica que el vector de estado está confinado a uno de los dos autoespacios de P y no puede abarcar todo el espacio de Hilbert. Por lo tanto, dicho autoespacio puede considerarse como el espacio de Hilbert del sistema. Esta es la idea que subyace a la definición del espacio de Fock .

La elección entre simetría o antisimetría viene determinada por el tipo de partícula. Por ejemplo, siempre se deben usar estados simétricos al describir fotones o átomos de helio-4 , y estados antisimétricos al describir electrones o protones .

Las partículas que presentan estados simétricos se denominan bosones . La naturaleza de los estados simétricos tiene importantes consecuencias para las propiedades estadísticas de los sistemas compuestos por muchos bosones idénticos. Estas propiedades estadísticas se describen como estadística de Bose-Einstein .

Las partículas que presentan estados antisimétricos se denominan fermiones . La antisimetría da lugar al principio de exclusión de Pauli , que prohíbe que fermiones idénticos compartan el mismo estado cuántico. Los sistemas de muchos fermiones idénticos se describen mediante la estadística de Fermi-Dirac .

La paraestadística es matemáticamente posible, pero no existen ejemplos en la naturaleza. ^{[ 6 ]}

En ciertos sistemas bidimensionales, puede presentarse simetría mixta. Estas partículas exóticas se conocen como aniones y obedecen a la estadística fraccionaria . La evidencia experimental de la existencia de aniones se encuentra en el efecto Hall cuántico fraccionario , un fenómeno observado en los gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión de los MOSFET . Existe otro tipo de estadística, conocida como estadística de trenza , que se asocia con partículas llamadas plektones .

El teorema de espín-estadística relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín . Establece que los bosones tienen espín entero y los fermiones tienen espín semientero. Los aniones poseen espín fraccionario.

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de N partículas. Supongamos que hay N partículas con números cuánticos n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Si las partículas son bosones, ocupan un estado totalmente simétrico , que es simétrico bajo el intercambio de cualesquiera dos etiquetas de partículas:

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{n}m_{n}!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Aquí, la suma se toma sobre todos los estados diferentes bajo permutaciones p que actúan sobre N elementos. La raíz cuadrada a la izquierda de la suma es una constante de normalización . La cantidad m _n representa el número de veces que cada uno de los estados de partícula única n aparece en el estado de N partículas. Nótese que Σ _n m _n = N.

En la misma línea, los fermiones ocupan estados totalmente antisimétricos :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Aquí, sgn( p ) es el signo de cada permutación (es decir,${\displaystyle +1}$si${\displaystyle p}$está compuesto por un número par de transposiciones, y${\displaystyle -1}$si es impar). Tenga en cuenta que no hay${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$Este término se debe a que cada estado de partícula única solo puede aparecer una vez en un estado fermiónico. De lo contrario, la suma volvería a ser cero debido a la antisimetría, lo que representaría un estado físicamente imposible. Este es el principio de exclusión de Pauli para múltiples partículas.

Estos estados se han normalizado de manera que

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Supongamos que existe un sistema de N bosones (fermiones) en el estado simétrico (antisimétrico).

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

y se realiza una medición sobre algún otro conjunto de observables discretos, m . En general, esto produce algún resultado m ₁ para una partícula, m ₂ para otra partícula, y así sucesivamente. Si las partículas son bosones (fermiones), el estado después de la medición debe permanecer simétrico (antisimétrico), es decir

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

La probabilidad de obtener un resultado particular para la medición m es

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

lo cual verifica que la probabilidad total sea 1. La suma debe restringirse a valores ordenados de m ₁ , ..., m _N para asegurar que cada estado de múltiples partículas no se cuente más de una vez.

Hasta ahora, la discusión ha incluido solo observables discretos. Se puede extender a observables continuos, como la posición x . 

Recordemos que un autoestado de una observable continua representa un rango infinitesimal de valores de la observable, no un único valor como ocurre con las observables discretas. Por ejemplo, si una partícula se encuentra en un estado | ψ ⟩, la probabilidad de encontrarla en una región de volumen d ³ x que rodea una posición x es

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

Como resultado, los autoestados continuos | x ⟩ se normalizan a la función delta en lugar de a la unidad:

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Los estados multipartícula simétricos y antisimétricos se pueden construir a partir de autoestados continuos de la misma manera que antes. Sin embargo, es habitual utilizar una constante de normalización diferente ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Se puede escribir una función de onda de muchos cuerpos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

donde las funciones de onda de una sola partícula se definen, como es habitual, por

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

La propiedad más importante de estas funciones de onda es que el intercambio de dos cualesquiera de las variables de coordenadas modifica la función de onda únicamente mediante un signo positivo o negativo. Esta es la manifestación de la simetría y la antisimetría en la representación de la función de onda:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

La función de onda de muchos cuerpos tiene el siguiente significado: si el sistema se encuentra inicialmente en un estado con números cuánticos n ₁ , ..., n _N , y se realiza una medición de posición, la probabilidad de encontrar partículas en volúmenes infinitesimales cerca de x ₁ , x ₂ , ..., x _N es

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

El factor N ! proviene de nuestra constante de normalización, que ha sido elegida de manera que, por analogía con las funciones de onda de una sola partícula,

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

Dado que cada integral abarca todos los valores posibles de x , cada estado de múltiples partículas aparece N ! veces en la integral. En otras palabras, la probabilidad asociada a cada evento se distribuye uniformemente entre N ! puntos equivalentes en el espacio de la integral. Como suele ser más conveniente trabajar con integrales no restringidas que con restringidas, la constante de normalización se ha elegido para reflejar esto.

Finalmente, la función de onda antisimétrica se puede escribir como el determinante de una matriz , conocido como determinante de Slater :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

El espacio de Hilbert para${\displaystyle n}$Las partículas vienen dadas por el producto tensorial${\textstyle \bigotimes _{n}H}$. El grupo de permutaciones de${\displaystyle S_{n}}$actúa sobre este espacio permutando las entradas. Por definición, los valores esperados para un observable${\displaystyle a}$de${\displaystyle n}$Las partículas indistinguibles deberían ser invariantes bajo estas permutaciones. Esto significa que para todas${\displaystyle \psi \in H}$y${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

o equivalentemente para cada uno${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

Dos estados son equivalentes siempre que sus valores esperados coincidan para todos los observables. Si nos restringimos a observables de${\displaystyle n}$partículas idénticas, y por lo tanto observables que satisfacen la ecuación anterior, encontramos que los siguientes estados (después de la normalización) son equivalentes.

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Las clases de equivalencia están en relación biyectiva con subespacios irreducibles de${\textstyle \bigotimes _{n}H}$bajo${\displaystyle S_{n}}$.

Dos ejemplos obvios de subespacios irreducibles son el subespacio simétrico/bosónico unidimensional y el subespacio antisimétrico/fermiónico. Sin embargo, existen otros tipos de subespacios irreducibles. Los estados asociados a estos subespacios irreducibles se denominan estados paraestadísticos . ^{[ 8 ]} Los diagramas de Young proporcionan una forma de clasificar todos estos subespacios irreducibles.

La indistinguibilidad de las partículas tiene un profundo efecto en sus propiedades estadísticas. Para ilustrar esto, consideremos un sistema de N partículas distinguibles y no interactuantes. Una vez más, sea n _j el estado (es decir, los números cuánticos) de la partícula j . Si las partículas tienen las mismas propiedades físicas, los n _j recorren el mismo rango de valores. Sea ε ( n ) la energía de una partícula en el estado n . Como las partículas no interactúan, la energía total del sistema es la suma de las energías de cada partícula. La función de partición del sistema es

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Esta expresión se puede factorizar para obtener

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

dónde

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

Si las partículas son idénticas, esta ecuación es incorrecta. Consideremos un estado del sistema, descrito por los estados de partículas individuales [ _n₁ , ..., nN ]. En la ecuación para Z , cada permutación posible de los n aparece una vez en la suma, aunque cada una de estas permutaciones describe el mismo estado de múltiples partículas. Por _lo tanto, se ha sobreestimado el número de estados.

Si se ignora la posibilidad de estados superpuestos, lo cual es válido si la temperatura es alta, entonces el número de veces que se cuenta cada estado es aproximadamente N !. La función de partición correcta es

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Cabe señalar que esta aproximación de "alta temperatura" no distingue entre fermiones y bosones.

La discrepancia en las funciones de partición de partículas distinguibles e indistinguibles se conocía ya en el siglo XIX, antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Esto conduce a una dificultad conocida como la paradoja de Gibbs . Gibbs demostró que en la ecuación Z = ξ ^N , la entropía de un gas ideal clásico es

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

donde V es el volumen del gas y f es alguna función de T únicamente. El problema con este resultado es que S no es extensivo : si N y V se duplican, S no se duplica en consecuencia. Tal sistema no obedece los postulados de la termodinámica .

Gibbs también demostró que usar Z = ξ ^N / N ! altera el resultado a

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

lo cual es perfectamente extenso.

Existen diferencias importantes entre el comportamiento estadístico de los bosones y los fermiones, descritos respectivamente por las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac . En términos generales, los bosones tienden a agruparse en el mismo estado cuántico, lo que subyace a fenómenos como el láser , la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez . Los fermiones, por otro lado, tienen prohibido compartir estados cuánticos, dando lugar a sistemas como el gas de Fermi . Esto se conoce como el Principio de Exclusión de Pauli y es fundamental para muchos aspectos de la química, ya que los electrones en un átomo (fermiones) llenan sucesivamente los diversos estados dentro de las capas, en lugar de permanecer todos en el mismo estado de energía más bajo.

Las diferencias entre el comportamiento estadístico de los fermiones, bosones y partículas distinguibles se pueden ilustrar utilizando un sistema de dos partículas. Las partículas se designan A y B. Cada partícula puede existir en dos estados posibles, etiquetados como${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$, que tienen la misma energía.

El sistema compuesto puede evolucionar en el tiempo, interactuando con un entorno ruidoso. Debido a que el${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$Los estados son energéticamente equivalentes, ninguno es favorecido, por lo que este proceso produce una aleatorización de los estados. (Esto se analiza en el artículo sobre entrelazamiento cuántico ). Tras un tiempo, el sistema compuesto tendrá la misma probabilidad de ocupar cada uno de los estados disponibles. A continuación, se miden los estados de las partículas.

Si A y B son partículas distinguibles, entonces el sistema compuesto tiene cuatro estados distintos:${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$,${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$, y${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$. La probabilidad de obtener dos partículas en el${\displaystyle |0\rangle }$El estado es 0,25; la probabilidad de obtener dos partículas en el${\displaystyle |1\rangle }$estado es 0,25; y la probabilidad de obtener una partícula en el${\displaystyle |0\rangle }$estado y el otro en el${\displaystyle |1\rangle }$El estado es 0.5.

Si A y B son bosones idénticos, entonces el sistema compuesto tiene solo tres estados distintos:${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$, y${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$. Cuando se realiza el experimento, la probabilidad de obtener dos partículas en el${\displaystyle |0\rangle }$El estado ahora es 0,33; la probabilidad de obtener dos partículas en el${\displaystyle |1\rangle }$estado es 0,33; y la probabilidad de obtener una partícula en el${\displaystyle |0\rangle }$estado y el otro en el${\displaystyle |1\rangle }$El estado es 0,33. Nótese que la probabilidad de encontrar partículas en el mismo estado es relativamente mayor que en el caso distinguible. Esto demuestra la tendencia de los bosones a agruparse.

Si A y B son fermiones idénticos, solo hay un estado disponible para el sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico.${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$Cuando se realiza el experimento, siempre hay una partícula en el${\displaystyle |0\rangle }$estado y el otro está en el${\displaystyle |1\rangle }$estado.

Los resultados se resumen en la Tabla 1:

Como puede observarse, incluso un sistema de dos partículas presenta comportamientos estadísticos diferentes entre partículas distinguibles, bosones y fermiones. En los artículos sobre estadística de Fermi-Dirac y estadística de Bose-Einstein , estos principios se extienden a un gran número de partículas, con resultados cualitativamente similares.