Espacio distinguido

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios distinguidos son espacios vectoriales topológicos (TVS) que tienen la propiedad de que los subconjuntos débilmente* acotados de sus biduales (es decir, el espacio dual fuerte de su espacio dual fuerte) están contenidos en el cierre débil* de algún subconjunto acotado del bidual.

Supóngase que es un espacio localmente convexo y sea y el dual fuerte de (es decir, el espacio dual continuo de dotado de la topología dual fuerte ). Sea el espacio dual continuo de y sea el dual fuerte de Sea dotado de la topología débil-* inducida por donde esta topología se denota por (es decir, la topología de convergencia puntual en ). Decimos que un subconjunto de es -acotado si es un subconjunto acotado de y llamamos al cierre de en el TVS el -cierre de . Si es un subconjunto de entonces la polar de es${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

Un espacio localmente convexo de Hausdorff se denomina espacio distinguido si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de cuya clausura contiene . ^[1]${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle W}$
2. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que está contenido en el cual es el polar (relativo a la dualidad ) de ^[1]${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. El dual fuerte de es un espacio en forma de barril . ^[1]${\displaystyle X}$

Si además hay un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

4. ( Grothendieck ) El dual fuerte de es un espacio bornológico . ^[1]${\displaystyle X}$

Todos los espacios normados y semirreflexivos son espacios distinguidos. ^[2] Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarrelled . ^[3]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Todo espacio distinguido localmente convexo es un H-espacio . ^[2]

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos . ^[1] El dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable ; es un espacio de este tipo. ^[4] El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente metrizable . ^[1] Existe un espacio de Mackey distinguido , semirreflexivo , no reflexivo , no cuasibarrelizado , cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo. ^[1] Existen H-espacios que no son espacios distinguidos. ^[1]${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios Fréchet Montel son espacios distinguidos.

• Espacio de Montel  : espacio en barril donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos
• Espacio semirreflexivo

• Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR  0042609.
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• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
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• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .