Distribución (geometría diferencial)

Dado un número entero${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$una distribución suave${\displaystyle \Delta }$en${\displaystyle M}$se le llama regular de rango${\displaystyle n}$si todos los subespacios${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$tienen la misma dimensión${\displaystyle n}$. A nivel local, esto equivale a pedir que cada base local sea dada por${\displaystyle n}$campos vectoriales linealmente independientes .

De forma más compacta, una distribución regular es un subfibrado vectorial.${\displaystyle \Delta \subset TM}$de rango${\displaystyle n}$(esta es en realidad la definición más utilizada). Un rango${\displaystyle n}$La distribución a veces se denomina${\displaystyle n}$distribución del plano -, y cuando${\displaystyle n=m-1}$Se habla de distribuciones hiperplanas .

Dada una distribución${\displaystyle \Delta }$, sus secciones consisten en campos vectoriales en${\displaystyle M,}$formando un subespacio vectorial${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$del espacio de todos los campos vectoriales en${\displaystyle M}$. (Notación:${\displaystyle \Gamma (TM)}$es el espacio de secciones de${\displaystyle TM.}$) Una distribución${\displaystyle \Delta }$se llama involutivo si${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$es también una subálgebra de Lie : en otras palabras, para cualesquiera dos campos vectoriales${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$, el corchete de mentira${\displaystyle [X,Y]}$pertenece a${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$.

Localmente, esta condición significa que para cada punto${\displaystyle x\in M}$existe una base local${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$de la distribución en un vecindario de${\displaystyle x}$de tal manera que, para todos${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, el corchete de mentira${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$está en el lapso de${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$, es decir${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$es una combinación lineal de${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

Las distribuciones involutivas son un ingrediente fundamental en el estudio de los sistemas integrables . Una idea relacionada aparece en la mecánica hamiltoniana : dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Se dice que los elementos de una variedad simpléctica están en involución mutua si su corchete de Poisson se anula.

Una variedad integral para un rango${\displaystyle n}$distribución${\displaystyle \Delta }$es una subvariedad${\displaystyle N\subset M}$de dimensión${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$por cada${\displaystyle x\in N}$Una distribución se denomina integrable si pasa por cualquier punto${\displaystyle x\in M}$Hay una variedad integral. Los espacios base del fibrado${\displaystyle \Delta \subset TM}$son, por lo tanto , variedades integrales disjuntas, maximales y conexas , también llamadas hojas ; es decir,${\displaystyle \Delta }$define una foliación n-dimensional de${\displaystyle M}$.

Localmente, la integrabilidad significa que para cada punto${\displaystyle x\in M}$Existe un gráfico local${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$de tal manera que, para cada${\displaystyle y\in U}$, el espacio${\displaystyle \Delta _{y}}$está generado por los vectores de coordenadas${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$En otras palabras, cada punto admite un diagrama de foliación, es decir, la distribución${\displaystyle \Delta }$es tangente a las hojas de una foliación. Además, esta caracterización local coincide con la definición de integrabilidad para una${\displaystyle G}$-estructuras , cuando${\displaystyle G}$es el grupo de matrices de bloques triangulares superiores invertibles reales (con${\displaystyle (n\times n)}$y${\displaystyle (m-n,m-n)}$-bloques).

Es fácil ver que cualquier distribución integrable es automáticamente involutiva. Lo contrario es menos trivial, pero se cumple según el teorema de Frobenius .

Dada cualquier distribución${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$, la bandera de mentira asociada es una calificación, definida como

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

dónde${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$,${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$y${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$. En otras palabras,${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$denota el conjunto de campos vectoriales generados por el${\displaystyle i}$-corchetes de Lie iterados de elementos en${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$Algunos autores utilizan una escala de calificación negativa decreciente para la definición.

Entonces${\displaystyle \Delta }$Se denomina débilmente regular (o simplemente regular, según algunos autores) si existe una secuencia${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$de subhaces vectoriales anidados tales que${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$(por eso${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$). ^{[ 1 ]} Nótese que, en tal caso, la bandera de Lie asociada se estabiliza en un punto determinado.${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, ya que las filas de${\displaystyle T^{i}M}$están delimitados desde arriba por${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$. La cadena de números enteros${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$entonces se denomina vector de crecimiento de${\displaystyle \Delta }$.

Toda distribución débilmente regular tiene asociado un haz vectorial graduado.$${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$Además, el corchete de Lie de campos vectoriales desciende, para cualquier${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$, a un${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$-morfismo de fibrado lineal${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$, llamado el${\displaystyle (i,j)}$-curvatura . En particular, la${\displaystyle (0,0)}$La curvatura desaparece idénticamente si y solo si la distribución es involutiva.

Al unir las curvaturas, se obtiene un morfismo.${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$, también llamado soporte Levi , que hace${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$en un conjunto de álgebras de Lie nilpotentes; por esta razón,${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$también se denomina nilpotentización de${\displaystyle \Delta }$. ^{[ 1 ]}

El paquete${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$Sin embargo, en general no es localmente trivial, ya que las álgebras de Lie${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$no son isomorfos cuando se varía el punto${\displaystyle x\in M}$Si esto sucede, la distribución débilmente regular${\displaystyle \Delta }$También se le llama regular (o fuertemente regular por algunos autores). Nótese que los nombres (fuertemente, débilmente) regular utilizados aquí no tienen ninguna relación con la noción de regularidad discutida anteriormente (que siempre se asume), es decir, la dimensión de los espacios.${\displaystyle \Delta _{x}}$ser constante.

Una distribución${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$se denomina generador de corchetes (o no holónomo , o se dice que satisface la condición de Hörmander ) si se toma un número finito de corchetes de Lie de elementos en${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$es suficiente para generar todo el espacio de campos vectoriales en${\displaystyle M}$. Con la notación introducida anteriormente, dicha condición se puede escribir como${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$por cierto${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$; entonces también se dice que${\displaystyle \Delta }$es generador de corchetes en${\displaystyle m+1}$pasos , o tiene profundidad${\displaystyle m+1}$.

Claramente, el indicador de mentira asociado de una distribución generadora de corchetes se estabiliza en el punto${\displaystyle m}$. Aunque ser débilmente regular y ser generador de corchetes son dos propiedades independientes (véanse los ejemplos a continuación), cuando una distribución satisface ambas, el entero${\displaystyle m}$Según ambas definiciones, es lo mismo.

Gracias al teorema de Chow-Rashevskii , dada una distribución generadora de corchetes${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$en un colector conectado, cualesquiera dos puntos en${\displaystyle M}$se pueden unir mediante una trayectoria tangente a la distribución. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Una distribución${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$es estable si bajo cualquier${\displaystyle C^{2}}$pequeña perturbación, existe un difeomorfismo que mapea la distribución${\displaystyle \Delta '}$volver a${\displaystyle \Delta }$. Solo existen 3 casos: ^{[ 4 ]}

• Rango 1: una fibración, esencialmente un campo vectorial sin longitud.
• Corank 1: una distribución hiperplana. Cuando la dimensión ambiente es impar, es la forma de contacto . Cuando la dimensión ambiente es par, es la forma de contacto par.
• Rango 2, dimensión 4: El caso especial de las distribuciones de Engel. Todas las distribuciones de Engel son localmente de la forma$${\displaystyle \alpha =dz-xdy,\quad \beta =dx-wdy}$$

De forma equivalente, las distribuciones de Engel se caracterizan por ^{[ 5 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} {\mathcal {D}}&=2\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]&=3\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},[{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]]&=4,\end{aligned}}}$$

• Cualquier campo vectorial${\displaystyle X}$en${\displaystyle M}$define una distribución de rango 1, estableciendo${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$, que es automáticamente integrable: la imagen de cualquier curva integral${\displaystyle \gamma :I\to M}$es una variedad integral.
• La distribución trivial del rango${\displaystyle k}$en${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$es generado por el primero${\displaystyle k}$campos vectoriales de coordenadas${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$Es automáticamente integrable, y las variedades integrales se definen mediante las ecuaciones.${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$, para cualquier constante${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$.
• En general, cualquier distribución involutiva/integrable es débilmente regular (con${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$por cada${\displaystyle i}$), pero nunca genera corchetes.

• La distribución de Martinet en${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$es dado por${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$, para${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalentemente, es generado por los campos vectoriales${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$y${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$. Genera corchetes ya que${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$, pero no es débilmente regular:${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$tiene rango 3 en todas partes excepto en la superficie${\displaystyle z=0}$.
• La distribución de contactos en${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$es dado por${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$, para${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalentemente, es generado por los campos vectoriales${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$y${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$, para${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$Es débilmente regular, con vector de crecimiento${\displaystyle (2n,2n+1)}$y generador de corchetes, con${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$También se pueden definir estructuras de contacto abstractas en una variedad .${\displaystyle M^{2n+1}}$como una distribución hiperplana que es máximamente no integrable, es decir, está lo más alejada posible de ser involutiva. Un análogo del teorema de Darboux muestra que dicha estructura posee el modelo local único descrito anteriormente.
• La distribución de Engel en${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$es dado por${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$, para${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$y${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalentemente, es generado por los campos vectoriales${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$y${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$Es débilmente regular, con vector de crecimiento${\displaystyle (2,3,4)}$y generador de corchetes. También se puede definir una estructura de Engel abstracta en una variedad.${\displaystyle M^{4}}$como una distribución de rango 2 débilmente regular${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$de tal manera que${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$tiene rango 3 y${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$tiene rango 4; Engel demostró que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente. ^{[ 6 ]}
• En general, una estructura de Goursat en una variedad${\displaystyle M^{k+2}}$es una distribución de rango 2 que es débilmente regular y genera corchetes, con vector de crecimiento${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$. Para${\displaystyle k=1}$y${\displaystyle k=2}$Se recuperan, respectivamente, distribuciones de contacto en variedades tridimensionales y distribuciones de Engel. Las estructuras de Goursat son localmente difeomorfas a la distribución de Cartan de los haces de jets.${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$.

Las definiciones de variedades integrales y de integrabilidad dadas anteriormente también se aplican al caso singular (eliminando el requisito de dimensión fija). Sin embargo, el teorema de Frobenius no se cumple en este contexto, y la involutividad, en general, no es suficiente para la integrabilidad (existen contraejemplos en dimensiones bajas).

Después de varios resultados parciales, ^{[ 7 ]} el problema de integrabilidad para distribuciones singulares fue resuelto completamente por un teorema demostrado independientemente por Stefan ^{[ 8 ] [ 9 ]} y Sussmann. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Este establece que una distribución singular${\displaystyle \Delta }$es integrable si y solo si se cumplen las dos propiedades siguientes:

• ${\displaystyle \Delta }$es generado por una familia${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$de campos vectoriales;
• ${\displaystyle \Delta }$es invariante con respecto a cada${\displaystyle X\in F}$, es decir${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$, dónde${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$es el flujo de${\displaystyle X}$,${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$.

De forma similar al caso regular, una distribución singular integrable define una foliación singular , que intuitivamente consiste en una partición de${\displaystyle M}$en subvariedades (las variedades integrales máximas de${\displaystyle \Delta }$) de diferentes dimensiones.

La definición de foliación singular puede precisarse de varias maneras equivalentes. De hecho, en la literatura existe una plétora de variaciones, reformulaciones y generalizaciones del teorema de Stefan-Sussman, que utilizan diferentes nociones de foliaciones singulares según las aplicaciones que se tengan en mente, por ejemplo, la geometría de Poisson ^{[ 12 ] [ 13 ]} o la geometría no conmutativa ^{[ 14 ] [ 15 ]} .

• Dado un grupo de Lie, la acción de un grupo de Lie sobre una variedad${\displaystyle M}$Sus generadores infinitesimales abarcan una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las órbitas de la acción del grupo. La distribución/foliación es regular si y solo si la acción es libre.
• Dada una variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$, la imagen de${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$es una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas simplécticas de${\displaystyle (M,\pi )}$. La distribución/foliación es regular si y solo si la variedad de Poisson es regular.
• En términos más generales, la imagen del mapa de anclaje${\displaystyle \rho :A\to TM}$de cualquier álgebra de Lie${\displaystyle A\to M}$define una distribución singular que es automáticamente integrable, y las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas del algebroide de Lie. La distribución/foliación es regular si y solo si${\displaystyle \rho }$tiene rango constante, es decir, el álgebroide de Lie es regular. Considerando, respectivamente, el álgebroide de Lie de acción${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$y el algebroide de Lie cotangente${\displaystyle T^{*}M}$, se recuperan los dos ejemplos anteriores.
• En los sistemas dinámicos , una distribución singular surge del conjunto de campos vectoriales que conmutan con uno dado.
• También existen ejemplos y aplicaciones en la teoría de control , donde la distribución generalizada representa restricciones infinitesimales del sistema.