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Articulo de referencia

Diferencias divididas

En matemáticas , las diferencias divididas son un algoritmo que históricamente se ha utilizado para calcular tablas de logaritmos y funciones trigonométricas . La máquina de dif...

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En matemáticas , las diferencias divididas son un algoritmo que históricamente se ha utilizado para calcular tablas de logaritmos y funciones trigonométricas . La máquina de diferencias de Charles Babbage , una de las primeras calculadoras mecánicas , fue diseñada para utilizar este algoritmo en su funcionamiento. [ 1 ]

La división por diferencias es un proceso de división recursiva . Dada una secuencia de puntos de datos(incógnita0,y0),…,(incógnitanorte,ynorte){\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}, el método calcula los coeficientes del polinomio de interpolación de estos puntos en la forma de Newton .

A veces se representa con un delta con una barra:△|{\displaystyle {\text{△}}\!\!\!|\,\,}o◿◺{\displaystyle {\text{◿}}\!{\text{◺}}}.

Definición

Dados n  +  1 puntos de datos (incógnita0,y0),…,(incógnitanorte,ynorte){\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} donde elincógnitak{\displaystyle x_{k}}Se supone que son distintos por pares, y las diferencias divididas hacia adelante se definen como: [yk]:=yk,k∈{0,…,norte}[yk,…,yj]:=[yk+1,…,yj]−[yk,…,yj−1]incógnitaj−incógnitak,k∈{0,…,norte−1}, j∈{k+1,…,norte}.{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{j}]-[y_{k},\ldots ,y_{j-1}]}{x_{j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,n-1\},\ j\in \{k+1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}}

Para hacer más claro el proceso recursivo de cálculo, las diferencias divididas se pueden poner en forma tabular, donde las columnas corresponden al valor de j anterior, y cada entrada en la tabla se calcula a partir de la diferencia de las entradas a su izquierda inferior inmediata y a su izquierda superior inmediata, dividida por una diferencia de los valores x correspondientes : incógnita0y0=[y0][y0,y1]incógnita1y1=[y1][y0,y1,y2][y1,y2][y0,y1,y2,y3]incógnita2y2=[y2][y1,y2,y3][y2,y3]incógnita3y3=[y3]{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{ 0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matriz}}}

Notación

Tenga en cuenta que la diferencia dividida[yk,…,yk+j]{\displaystyle [y_{k},\ldots ,y_{k+j}]}depende de los valoresincógnitak,…,incógnitak+j{\displaystyle x_{k},\ldots ,x_{k+j}}yyk,…,yk+j{\displaystyle y_{k},\ldots ,y_{k+j}}, pero la notación oculta la dependencia de los valores de x . Si los puntos de datos están dados por una función f , (incógnita0,y0),…,(incógnitak,ynorte)=(incógnita0,F(incógnita0)),…,(incógnitanorte,F(incógnitanorte)){\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{n})=(x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))} A veces se escribe la diferencia dividida en la notación F[incógnitak,…,incógnitak+j] =definición [F(incógnitak),…,F(incógnitak+j)]=[yk,…,yk+j].{\displaystyle f[x_{k},\ldots ,x_{k+j}]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ [f(x_{k}),\ldots ,f(x_{k+j})]=[y_{k},\ldots ,y_{k+j}].}Otras notaciones para la diferencia dividida de la función ƒ en los nodos x 0 ,  ..., x n son:  F[incógnitak,…,incógnitak+j]=[incógnita0,…,incógnitanorte]F=[incógnita0,…,incógnitanorte;F]=D[incógnita0,…,incógnitanorte]F.{\displaystyle f[x_{k},\ldots ,x_{k+j}]={\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n}]f={\mathopen {[}}x_{0},\ldots ,x_{n};f]=D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f.}

Ejemplo

Diferencias divididas parak=0{\displaystyle k=0}y los primeros valores dej{\displaystyle j}: [y0]=y0[y0,y1]=y1−y0incógnita1−incógnita0[y0,y1,y2]=[y1,y2]−[y0,y1]incógnita2−incógnita0=y2−y1incógnita2−incógnita1−y1−y0incógnita1−incógnita0incógnita2−incógnita0=y2−y1(incógnita2−incógnita1)(incógnita2−incógnita0)−y1−y0(incógnita1−incógnita0)(incógnita2−incógnita0)[y0,y1,y2,y3]=[y1,y2,y3]−[y0,y1,y2]incógnita3−incógnita0{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}

Así, la tabla correspondiente a estos términos, hasta dos columnas, tiene la siguiente forma: incógnita0y0y1−y0incógnita1−incógnita0incógnita1y1y2−y1incógnita2−incógnita1−y1−y0incógnita1−incógnita0incógnita2−incógnita0y2−y1incógnita2−incógnita1incógnita2y2⋮⋮⋮⋮⋮incógnitanorteynorte{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}&&\\&&{y_{1}-y_{0} \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&y_{1}&&{{y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}-{y_{1}-y_{0} \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&y_{2}&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&y_{n}&&\\\end{matrix}}}

Propiedades

  • Linealidad(F+gramo)[incógnita0,…,incógnitanorte]=F[incógnita0,…,incógnitanorte]+gramo[incógnita0,…,incógnitanorte](λ⋅F)[incógnita0,…,incógnitanorte]=λ⋅F[incógnita0,…,incógnitanorte]{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]\\(\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]\end{aligned}}}
  • regla de Leibniz(F⋅gramo)[incógnita0,…,incógnitanorte]=F[incógnita0]⋅gramo[incógnita0,…,incógnitanorte]+F[incógnita0,incógnita1]⋅gramo[incógnita1,…,incógnitanorte]+⋯+F[incógnita0,…,incógnitanorte]⋅gramo[incógnitanorte]=∑r=0norteF[incógnita0,…,incógnitar]⋅gramo[incógnitar,…,incógnitanorte]{\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]=\sum _{r=0}^{n}f[x_{0},\ldots ,x_{r}]\cdot g[x_{r},\ldots ,x_{n}]}
  • Las diferencias divididas son simétricas: Siσ:{0,…,norte}→{0,…,norte}{\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}} es una permutación entoncesF[incógnita0,…,incógnitanorte]=F[incógnitaσ(0),…,incógnitaσ(norte)]{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}
  • Interpolación polinómica en la forma de Newton : siPAG{\displaystyle P}es una función polinómica de grado≤norte{\displaystyle \leq n}, ypag[incógnita0,…,incógnitanorte]{\displaystyle p[x_{0},\dots ,x_{n}]}es la diferencia dividida, entoncesPAGnorte−1(incógnita)=pag[incógnita0]+pag[incógnita0,incógnita1](incógnita−incógnita0)+pag[incógnita0,incógnita1,incógnita2](incógnita−incógnita0)(incógnita−incógnita1)+⋯+pag[incógnita0,…,incógnitanorte](incógnita−incógnita0)(incógnita−incógnita1)⋯(incógnita−incógnitanorte−1){\displaystyle P_{n-1}(x)=p[x_{0}]+p[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+p[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +p[x_{0},\ldots ,x_{n}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}
  • Sipag{\displaystyle p}es una función polinómica de grado<norte{\displaystyle <n}, entoncespag[incógnita0,…,incógnitanorte]=0.{\displaystyle p[x_{0},\dots ,x_{n}]=0.}
  • Teorema del valor medio para diferencias divididas : siF{\displaystyle f}es n veces diferenciable, entoncesF[incógnita0,…,incógnitanorte]=F(norte)(ξ)norte¡{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}por un númeroξ{\displaystyle \xi }en el intervalo abierto determinado por el menor y el mayor de losincógnitak{\displaystyle x_{k}}'s.

Forma matricial

El esquema de diferencias divididas se puede representar mediante una matriz triangular superior : TF(incógnita0,…,incógnitanorte)=(F[incógnita0]F[incógnita0,incógnita1]F[incógnita0,incógnita1,incógnita2]…F[incógnita0,…,incógnitanorte]0F[incógnita1]F[incógnita1,incógnita2]…F[incógnita1,…,incógnitanorte]00F[incógnita2]…F[incógnita2,…,incógnitanorte]⋮⋮⋱⋮000…F[incógnitanorte]).{\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\0&0&f[x_{2}]&\ldots &f[x_{2},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}.}

Entonces se sostiene

  • TF+gramo(incógnita)=TF(incógnita)+Tgramo(incógnita){\displaystyle T_{f+g}(x)=T_{f}(x)+T_{g}(x)}
  • TλF(incógnita)=λTF(incógnita){\displaystyle T_{\lambda f}(x)=\lambda T_{f}(x)}siλ{\displaystyle \lambda }es un escalar
  • TF⋅gramo(incógnita)=TF(incógnita)⋅Tgramo(incógnita){\displaystyle T_{f\cdot g}(x)=T_{f}(x)\cdot T_{g}(x)}
    Esto se deduce de la regla de Leibniz. Significa que la multiplicación de dichas matrices es conmutativa . En resumen, las matrices de esquemas de diferencias divididas con respecto al mismo conjunto de nodos x forman un anillo conmutativo .
  • DesdeTF(incógnita){\displaystyle T_{f}(x)}es una matriz triangular, sus valores propios son obviamenteF(incógnita0),…,F(incógnitanorte){\displaystyle f(x_{0}),\dots ,f(x_{n})}.
  • Dejarδξ{\displaystyle \delta _{\xi }}ser una función tipo delta de Kronecker , es decirδξ(t)={1:t=ξ,0:demás.{\displaystyle \delta _{\xi }(t)={\begin{cases}1&:t=\xi ,\\0&:{\mbox{else}}.\end{cases}}}ObviamenteF⋅δξ=F(ξ)⋅δξ{\displaystyle f\cdot \delta _{\xi }=f(\xi )\cdot \delta _{\xi }}, de este modoδξ{\displaystyle \delta _{\xi }}es una autofunción de la multiplicación de funciones punto por punto. Es decir,Tδincógnitai(incógnita){\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)}es de alguna manera una " matriz propia " deTF(incógnita){\displaystyle T_{f}(x)}:TF(incógnita)⋅Tδincógnitai(incógnita)=F(incógnitai)⋅Tδincógnitai(incógnita){\displaystyle T_{f}(x)\cdot T_{\delta _{x_{i}}}(x)=f(x_{i})\cdot T_{\delta _{x_{i}}}(x)}. Sin embargo, todas las columnas deTδincógnitai(incógnita){\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)}son múltiplos entre sí, el rango de la matriz deTδincógnitai(incógnita){\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)}es 1. Entonces puedes componer la matriz de todos los autovectores deTF(incógnita){\displaystyle T_{f}(x)}desdei{\displaystyle i}-ésima columna de cadaTδincógnitai(incógnita){\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}(x)}. Denotemos la matriz de autovectores conU(incógnita){\displaystyle U(x)}. EjemploU(incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3)=(11(incógnita1−incógnita0)1(incógnita2−incógnita0)(incógnita2−incógnita1)1(incógnita3−incógnita0)(incógnita3−incógnita1)(incógnita3−incógnita2)011(incógnita2−incógnita1)1(incógnita3−incógnita1)(incógnita3−incógnita2)0011(incógnita3−incógnita2)0001){\displaystyle U(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{(x_{1}-x_{0})}}&{\frac {1}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}\\0&1&{\frac {1}{(x_{2}-x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}\\0&0&1&{\frac {1}{(x_{3}-x_{2})}}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}La diagonalización deTF(incógnita){\displaystyle T_{f}(x)}se puede escribir comoU(incógnita)⋅diagnóstico⁡(F(incógnita0),…,F(incógnitanorte))=TF(incógnita)⋅U(incógnita).{\displaystyle U(x)\cdot \operatorname {diag} (f(x_{0}),\dots ,f(x_{n}))=T_{f}(x)\cdot U(x).}

Polinomios y series de potencias

La matriz J=(incógnita0100⋯00incógnita110⋯000incógnita210⋮⋮⋱⋱0000⋱10000incógnitanorte){\displaystyle J={\begin{pmatrix}x_{0}&1&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&1&0&\cdots &0\\0&0&x_{2}&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\ddots &\\0&0&0&0&\;\ddots &1\\0&0&0&0&&x_{n}\end{pmatrix}}} contiene el esquema de diferencias divididas para la función identidad con respecto a los nodosincógnita0,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}, de este modoJmetro{\displaystyle J^{m}}contiene las diferencias divididas para la función de potencia con exponentemetro{\displaystyle m}En consecuencia, se pueden obtener las diferencias divididas para una función polinómica.pag{\displaystyle p}aplicandopag{\displaystyle p}a la matrizJ{\displaystyle J}: Si pag(ξ)=a0+a1⋅ξ+⋯+ametro⋅ξmetro{\displaystyle p(\xi )=a_{0}+a_{1}\cdot \xi +\dots +a_{m}\cdot \xi ^{m}} y pag(J)=a0+a1⋅J+⋯+ametro⋅Jmetro{\displaystyle p(J)=a_{0}+a_{1}\cdot J+\dots +a_{m}\cdot J^{m}} entonces Tpag(incógnita)=pag(J).{\displaystyle T_{p}(x)=p(J).} Esto se conoce como la fórmula de Opitz . [ 2 ] [ 3 ]

Ahora considere aumentar el grado depag{\displaystyle p}hasta el infinito, es decir, convertir el polinomio de Taylor en una serie de Taylor . SeaF{\displaystyle f}sea ​​una función que corresponda a una serie de potencias . Puede calcular el esquema de diferencias divididas paraF{\displaystyle f}aplicando la serie matricial correspondiente aJ{\displaystyle J}: Si F(ξ)=∑k=0∞akξk{\displaystyle f(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}} y F(J)=∑k=0∞akJk{\displaystyle f(J)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}J^{k}} entonces TF(incógnita)=F(J).{\displaystyle T_{f}(x)=f(J).}

Caracterizaciones alternativas

Forma ampliada

F[incógnita0]=F(incógnita0)F[incógnita0,incógnita1]=F(incógnita0)(incógnita0−incógnita1)+F(incógnita1)(incógnita1−incógnita0)F[incógnita0,incógnita1,incógnita2]=F(incógnita0)(incógnita0−incógnita1)⋅(incógnita0−incógnita2)+F(incógnita1)(incógnita1−incógnita0)⋅(incógnita1−incógnita2)+F(incógnita2)(incógnita2−incógnita0)⋅(incógnita2−incógnita1)F[incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3]=F(incógnita0)(incógnita0−incógnita1)⋅(incógnita0−incógnita2)⋅(incógnita0−incógnita3)+F(incógnita1)(incógnita1−incógnita0)⋅(incógnita1−incógnita2)⋅(incógnita1−incógnita3)+F(incógnita2)(incógnita2−incógnita0)⋅(incógnita2−incógnita1)⋅(incógnita2−incógnita3)+F(incógnita3)(incógnita3−incógnita0)⋅(incógnita3−incógnita1)⋅(incógnita3−incógnita2)F[incógnita0,…,incógnitanorte]=∑j=0norteF(incógnitaj)∏k∈{0,…,norte}∖{j}(incógnitaj−incógnitak){\displaystyle {\begin{aligned}f[x_{0}]&=f(x_{0})\\f[x_{0},x_{1}]&={\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})}}\\f[x_{0},x_{1},x_{2}]&={\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})\cdot (x_{0}-x_{2})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}-x_{2})}}+{\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot (x_{2}-x_{1})}}\\f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]&={\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})\cdot (x_{0}-x_{2})\cdot (x_{0}-x_{3})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}-x_{2})\cdot (x_{1}-x_{3})}}+\\&\quad \quad {\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot (x_{2}-x_{1})\cdot (x_{2}-x_{3})}}+{\frac {f(x_{3})}{(x_{3}-x_{0})\cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})}}\\f[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\prod _{k\in \{0,\dots ,n\}\setminus \{j\}}(x_{j}-x_{k})}}\end{aligned}}}

Con la ayuda de la función polinómicaω(ξ)=(ξ−incógnita0)⋯(ξ−incógnitanorte){\displaystyle \omega (\xi )=(\xi -x_{0})\cdots (\xi -x_{n})}Esto se puede escribir como F[incógnita0,…,incógnitanorte]=∑j=0norteF(incógnitaj)ω′(incógnitaj).{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\omega '(x_{j})}}.}

Forma de Peano

Siincógnita0<incógnita1<⋯<incógnitanorte{\displaystyle x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}ynorte≥1{\displaystyle n\geq 1}, las diferencias divididas se pueden expresar como [ 4 ]F[incógnita0,…,incógnitanorte]=1(norte−1)¡∫incógnita0incógnitanorteF(norte)(t)Bnorte−1(t)dt{\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t)\,dt} dóndeF(norte){\displaystyle f^{(n)}}es elnorte{\displaystyle n}-ésima derivada de la funciónF{\displaystyle f}yBnorte−1{\displaystyle B_{n-1}}es una determinada B-spline de gradonorte−1{\displaystyle n-1}para los puntos de datosincógnita0,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}, dada por la fórmula Bnorte−1(t)=∑k=0norte(máximo(0,incógnitak−t))norte−1ω′(incógnitak){\displaystyle B_{n-1}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\max(0,x_{k}-t))^{n-1}}{\omega '(x_{k})}}}

Esto es una consecuencia del teorema del núcleo de Peano ; se le llama la forma de Peano de las diferencias divididas yBnorte−1{\displaystyle B_{n-1}}es el núcleo Peano para las diferencias divididas, todas nombradas en honor a Giuseppe Peano .

Diferencias hacia adelante y hacia atrás

Cuando los puntos de datos están distribuidos de manera equidistante, obtenemos un caso especial llamado diferencias finitas hacia adelante . Estas son más fáciles de calcular que las diferencias divididas, que son más generales.

Dados n + 1 puntos de datos (incógnita0,y0),…,(incógnitanorte,ynorte){\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} con incógnitak=incógnita0+kh,  para  k=0,…,norte y fijo h>0{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,\ {\text{ for }}\ k=0,\ldots ,n{\text{ and fixed }}h>0} Las diferencias a plazo se definen como: Δ(0)yk:=yk,k=0,…,norteΔ(j)yk:=Δ(j−1)yk+1−Δ(j−1)yk,k=0,…,norte−j, j=1,…,norte.{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{(0)}y_{k}&:=y_{k},\qquad k=0,\ldots ,n\\\Delta ^{(j)}y_{k}&:=\Delta ^{(j-1)}y_{k+1}-\Delta ^{(j-1)}y_{k},\qquad k=0,\ldots ,n-j,\ j=1,\dots ,n.\end{aligned}}} mientras que las diferencias hacia atrás se definen como: ∇(0)yk:=yk,k=0,…,norte∇(j)yk:=∇(j−1)yk−∇(j−1)yk−1,k=0,…,norte−j, j=1,…,norte.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{(0)}y_{k}&:=y_{k},\qquad k=0,\ldots ,n\\\nabla ^{(j)}y_{k}&:=\nabla ^{(j-1)}y_{k}-\nabla ^{(j-1)}y_{k-1},\qquad k=0,\ldots ,n-j,\ j=1,\dots ,n.\end{aligned}}} Por lo tanto, la tabla de diferencias hacia adelante se escribe como: y0Δy0y1Δ2y0Δy1Δ3y0y2Δ2y1Δy2y3{\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\Delta y_{0}&&\\y_{1}&&\Delta ^{2}y_{0}&\\&\Delta y_{1}&&\Delta ^{3}y_{0}\\y_{2}&&\Delta ^{2}y_{1}&\\&\Delta y_{2}&&\\y_{3}&&&\\\end{matrix}}} mientras que la tabla de diferencias hacia atrás se escribe como: y0∇y1y1∇2y2∇y2∇3y3y2∇2y3∇y3y3{\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\nabla y_{1}&&\\y_{1}&&\nabla ^{2}y_{2}&\\&\nabla y_{2}&&\nabla ^{3}y_{3}\\y_{2}&&\nabla ^{2}y_{3}&\\&\nabla y_{3}&&\\y_{3}&&&\\\end{matrix}}}

La relación entre diferencias divididas y diferencias hacia adelante es [ 5 ][yj,yj+1,…,yj+k]=1k¡hkΔ(k)yj,{\displaystyle [y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+k}]={\frac {1}{k!h^{k}}}\Delta ^{(k)}y_{j},}mientras que para las diferencias hacia atrás:[yj,yj−1,…,yj−k]=1k¡hk∇(k)yj.{\displaystyle [{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-k}]={\frac {1}{k!h^{k}}}\nabla ^{(k)}y_{j}.}

Fórmula explícita

Cuando los puntos de datos están equidistantes también podemos derivar una fórmula explícita para[yj,…,yj+k]{\displaystyle [y_{j},\ldots ,y_{j+k}]}. Para cualquier fijok≤norte{\displaystyle k\leq n}yj{\displaystyle j}de tal manera quej+k≤norte{\displaystyle j+k\leq n}, [yj,…,yj+k]=(−1)j+kk¡hk∑i=jj+k(−1)iyi(ki−j).{\displaystyle [y_{j},\ldots ,y_{j+k}]={\frac {(-1)^{j+k}}{k!h^{k}}}\sum _{i=j}^{j+k}(-1)^{i}y_{i}{\binom {k}{i-j}}.}

Demostración. Demostramos esto por inducción sobrek{\displaystyle k}:

Caso base: Letk=0{\displaystyle k=0}yj=0…norte{\displaystyle j=0\ldots n}Entonces, por definición[yj]=yj{\displaystyle [y_{j}]=y_{j}}, y (−1)j0¡h0∑i=jj(−1)iyi(0i−j)=(−1)2jyj=yj.{\displaystyle {\frac {(-1)^{j}}{0!h^{0}}}\sum _{i=j}^{j}(-1)^{i}y_{i}{\binom {0}{i-j}}=(-1)^{2j}y_{j}=y_{j}.}

Paso de inducción: Suponga que la fórmula anterior se cumple hasta quek{\displaystyle k}y considerej{\displaystyle j}de tal manera quej+k+1≤norte{\displaystyle j+k+1\leq n}. Por definición recursiva tenemos

[yj,…,yj+k+1]=1h(k+1)([yj+1,…,yj+k+1]−[yj,…,yj+k]).{\displaystyle [y_{j},\ldots ,y_{j+k+1}]={\frac {1}{h(k+1)}}\left([y_{j+1},\ldots ,y_{j+k+1}]-[y_{j},\ldots ,y_{j+k}]\right).}

Podemos usar nuestra hipótesis inductiva en ambos miembros del lado izquierdo y obtener

1h(k+1)((−1)j+k+1k¡hk∑i=j+1j+k+1(−1)iyi(ki−j)−(−1)j+kk¡hk∑i=jj+k(−1)iyi(ki−j)).{\displaystyle {\frac {1}{h(k+1)}}\left({\frac {(-1)^{j+k+1}}{k!h^{k}}}\sum _{i=j+1}^{j+k+1}(-1)^{i}y_{i}{\binom {k}{i-j}}-{\frac {(-1)^{j+k}}{k!h^{k}}}\sum _{i=j}^{j+k}(-1)^{i}y_{i}{\binom {k}{i-j}}\right).}

Esto se puede reorganizar como

(−1)j+k+1(k+1)¡hk+1∑i=jj+k+1(−1)iyi((ki−j)+(ki−j−1)){\displaystyle {\frac {(-1)^{j+k+1}}{(k+1)!h^{k+1}}}\sum _{i=j}^{j+k+1}(-1)^{i}y_{i}\left({\binom {k}{i-j}}+{\binom {k}{i-j-1}}\right)}

dónde(ks)=0{\displaystyle {\binom {k}{s}}=0}cuando s<k{\displaystyle s<k}. Obtenemos nuestra tesis parak+1{\displaystyle k+1}sustituyendo la identidad (ki−j)+(ki−j−1)=(k+1i−j).{\displaystyle {\binom {k}{i-j}}+{\binom {k}{i-j-1}}={\binom {k+1}{i-j}}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Isaacson, Walter (2014). Los innovadores . Simon & Schuster. pág.  20. ISBN 978-1-4767-0869-0.
  2. ↑ de Boor, Carl , Divided Differences , Surv. Approx. Theory 1 (2005), 46–69,
  3. ↑ Opitz, G. Steigungsmatrizen , Z. Angew. Matemáticas. Mec. (1964), 44, T52-T54
  4. ↑ Skof, Fulvia ( 30 de abril de 2011). Giuseppe Peano entre las matemáticas y la lógica: Actas de la Conferencia Internacional en honor a Giuseppe Peano con motivo del 150 aniversario de su nacimiento y el centenario del Formulario Mathematico Torino (Italia), 2-3 de octubre de 2008. Springer Science & Business Media. p. 40. ISBN  978-88-470-1836-5.
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