Estructura de poder dividida

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , una estructura de potencia dividida es una forma de introducir elementos con propiedades similares como expresiones de la forma${\displaystyle x^{n}/n!}$tener, también cuando no es posible dividir realmente por${\displaystyle n!}$.

Sea A un anillo conmutativo con un ideal I. Una estructura de potencia dividida (o PD-estructura , del francés puissances divisées ) en I es una colección de mapas.${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$para n = 0, 1, 2, ... tal que:

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$y${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$para${\displaystyle x\in I}$, mientras${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$para n > 0.
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{ni}(x)\gamma _{i}(y)}$para${\displaystyle x,y\in I}$.
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$para${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$.
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$para${\displaystyle x\in I}$, dónde${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$es un número entero .
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$para${\displaystyle x\in I}$y${\displaystyle m>0}$, dónde${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$es un número entero.

Para mayor comodidad en la notación,${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$a menudo se escribe como${\displaystyle x^{[n]}}$cuando quede claro a qué se refiere con estructura de poder dividida.

El término ideal de poder dividido se refiere a un ideal con una estructura de poder dividido dada, y anillo de poder dividido se refiere a un anillo con un ideal dado con estructura de poder dividido.

Los homomorfismos de álgebras de potencia dividida son homomorfismos de anillos que respetan la estructura de potencia dividida en su origen y destino.

• El álgebra de potencia dividida libre sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$en un generador:

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle$ :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}

• Si A es un álgebra sobre${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$entonces cada ideal I tiene una estructura de poder dividida única donde${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$^{[ 1 ]} De hecho, este es el ejemplo que motiva la definición en primer lugar.
• Si M es un A -módulo, sea${\displaystyle S^{\bullet }M}$Denotemos por el álgebra simétrica de M sobre A. Entonces su dual.${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$tiene una estructura canónica de anillo de potencia dividida. De hecho, es canónicamente isomorfo a una completación natural de${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$(ver más abajo) si M tiene rango finito.

Si A es cualquier anillo, existe un anillo de potencia dividida.

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

que consiste en polinomios de potencia dividida en las variables

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

es decir, sumas de monomios de potencia dividida de la forma

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

con${\displaystyle c\in A}$Aquí, el ideal de potencia dividida es el conjunto de polinomios de potencia dividida con coeficiente constante 0.

De forma más general, si M es un A- módulo, existe un A -álgebra universal , llamada

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

con PD ideal

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

y un mapa lineal A

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

(El caso de los polinomios de potencia dividida es el caso especial en el que M es un módulo libre sobre A de rango finito).

Si I es cualquier ideal de un anillo A , existe una construcción universal que extiende A con potencias divididas de elementos de I para obtener una envoltura de potencia dividida de I en A.

La envolvente de potencia dividida es una herramienta fundamental en la teoría de operadores diferenciales PD y cohomología cristalina , donde se utiliza para superar las dificultades técnicas que surgen en la característica positiva .

El functor de potencia dividida se utiliza en la construcción de functores co-Schur.

• Cohomología cristalina

• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978). Notas sobre cohomología cristalina . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press . Zbl 0383.14010 . 
• Hazewinkel, Michiel (1978). Grupos formales y aplicaciones . Matemáticas puras y aplicadas, una serie de monografías y libros de texto. Vol.  78. Elsevier . p.  507. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020 . 
• Cohomología de De Rham derivada p-ádica : contiene excelente material sobre anillos polinomiales PD y envolventes PD.
• ¿Cuál es el nombre del análogo de las álgebras de potencias divididas para x^i/i ? Contiene una equivalencia útil con las álgebras de potencias divididas como álgebras duales.