Dividir un cuadrado en rectángulos semejantes

Dividir un cuadrado en rectángulos semejantes (o, equivalentemente, recubrir un cuadrado con rectángulos semejantes ) es un problema matemático.

Solo hay una forma ( salvo rotación y reflexión) de dividir un cuadrado en dos rectángulos semejantes .

Sin embargo, existen tres formas distintas de dividir un cuadrado en tres rectángulos similares: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. La solución trivial viene dada por tres rectángulos congruentes con una relación de aspecto de 3:1.
2. La solución en la que dos de los tres rectángulos son congruentes y el tercero tiene el doble de longitud de lado que los otros dos, donde los rectángulos tienen una relación de aspecto de 3:2.
3. La solución en la que los tres rectángulos son todos de tamaños diferentes y donde tienen una relación de aspecto ρ ² , donde ρ es la relación plástica .

El hecho de que un rectángulo con una relación de aspecto ρ ² pueda utilizarse para dividir un cuadrado en rectángulos semejantes es equivalente a una propiedad algebraica del número ρ ² relacionada con el teorema de Routh-Hurwitz : todos sus conjugados tienen parte real positiva. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En 2022, el matemático John Baez llamó la atención de la comunidad matemática en línea Mathstodon sobre el problema de generalizar este problema a n rectángulos. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

El problema tiene dos partes: qué relaciones de aspecto son posibles y cuántas soluciones diferentes hay para un n dado . ^{[ 7 ]} Frieling y Rinne habían publicado previamente un resultado en 1994 que establece que la relación de aspecto de los rectángulos en estas disecciones debe ser un número algebraico y que cada uno de sus conjugados debe tener una parte real positiva. ^{[ 3 ]} Sin embargo, su demostración no fue una demostración constructiva.

Numerosos participantes han abordado el problema de encontrar disecciones individuales mediante una búsqueda computarizada exhaustiva de posibles soluciones. Un enfoque consiste en enumerar exhaustivamente las posibles colocaciones de rectángulos a nivel macroscópico y, a continuación, convertirlas en topologías candidatas de rectángulos conectados. Dada la topología de una posible solución, la determinación de la relación de aspecto del rectángulo puede expresarse trivialmente como un sistema de ecuaciones simultáneas, lo que permite determinar la solución con exactitud o descartarla como posible solución. ^{[ 8 ]}

Los números de disecciones válidas distintas para diferentes valores de n , para n = 1, 2, 3, ..., son: ^{[ 7 ] [ 9 ]}

• Cuadrar el cuadrado

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