División larga

En aritmética , la división larga es un algoritmo de división estándar adecuado para dividir números de varias cifras, lo suficientemente sencillo como para realizarlo a mano. Descompone un problema de división en una serie de pasos más fáciles.

Como en todos los problemas de división, un número, llamado dividendo , se divide entre otro, llamado divisor , produciendo un resultado llamado cociente . Esto permite realizar cálculos con números arbitrariamente grandes siguiendo una serie de pasos sencillos. ^{[ 1 ]} La forma abreviada de la división larga se llama división corta , que casi siempre se usa ^{[ 2 ]} en lugar de la división larga cuando el divisor tiene solo un dígito.

Historia

Existen algoritmos relacionados desde el siglo XII. ^{[ 3 ]} Al-Samawal al-Maghribi (1125–1174) realizó cálculos con números decimales que esencialmente requieren división larga, lo que da lugar a resultados decimales infinitos, pero sin formalizar el algoritmo. ^{[ 4 ]} Caldrini (1491) es el primer ejemplo impreso de división larga, conocido como el método Danda en la Italia medieval, ^{[ 5 ]} y se volvió más práctico con la introducción de la notación decimal para fracciones por Pitiscus (1608). El algoritmo específico de uso moderno fue introducido por Henry Briggs alrededor de 1600. ^{[ 6 ]}

Educación

Las calculadoras y computadoras económicas se han convertido en las herramientas más comunes para realizar divisiones en contextos educativos y profesionales en todo el mundo, reduciendo la dependencia de las técnicas tradicionales de lápiz y papel. Internamente, estos dispositivos implementan varios algoritmos de división , muchos de los cuales se basan en aproximaciones iterativas y multiplicación para mejorar la eficiencia computacional. ^{[ 7 ]}

Los enfoques pedagógicos para la enseñanza de la división varían entre países y regiones, reflejando diferentes prioridades curriculares. En Norteamérica, la división larga ha perdido importancia o, en algunos casos, se ha eliminado de ciertas partes del currículo como parte de la reforma matemática , que enfatiza la comprensión conceptual y el uso de la tecnología. ^{[ 8 ]}

Por el contrario, muchos sistemas educativos en Europa y Asia siguen haciendo hincapié en el dominio de algoritmos estándar, incluida la división larga, como una habilidad aritmética fundamental. Por ejemplo, los currículos en países como Japón y Alemania suelen introducir y reforzar la división larga durante la educación primaria, a menudo junto con estrategias de cálculo mental y técnicas de resolución de problemas. ^{[ 9 ]}

Las evaluaciones internacionales, como el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS), ponen de relieve estas diferencias, mostrando variaciones en el equilibrio entre la fluidez procedimental y la comprensión conceptual en los distintos sistemas educativos. ^{[ 10 ]}

Estos enfoques diversos reflejan filosofías educativas más amplias con respecto al equilibrio entre la fluidez procedimental, la comprensión conceptual y el papel de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas.

Método

En los países de habla inglesa, la división larga no utiliza los símbolos de barra de división ⟨ ∕ ⟩ ni de signo de división ⟨ ÷ ⟩, sino que construye un tableau . ^{[ 11 ]} El divisor se separa del dividendo mediante un paréntesis derecho ⟨ ) ⟩ o una barra vertical ⟨ | ⟩ ; el dividendo se separa del cociente mediante un vinculum (es decir, una barra superior ). La combinación de estos dos símbolos se conoce a veces como símbolo de división larga , corchete de división o incluso parada de autobús . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Se desarrolló en el siglo XVIII a partir de una notación anterior de una sola línea que separaba el dividendo del cociente mediante un paréntesis izquierdo . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Este símbolo está disponible en Unicode como U+27CC ⟌ LONG DIVISION .

El proceso comienza dividiendo el dígito más a la izquierda del dividendo entre el divisor. El cociente (redondeado hacia abajo al entero más cercano) se convierte en el primer dígito del resultado, y se calcula el resto (este paso se representa como una resta). Este resto se mantiene al repetir el proceso con el siguiente dígito del dividendo (lo que se representa como "bajar" el siguiente dígito al resto). Cuando se han procesado todos los dígitos y no queda ningún resto, el proceso finaliza.

A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 entre 4 (con un resultado de 125).

1 2 5 (Explicaciones)  4 )500  4 ( 4 × 1 = 4)  1 0 ( 5 - 4 =  1 )  8 ( 4 × 2 = 8)  2 0 (10 - 8 =  2 )  20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

A continuación se detalla el proceso paso a paso:

Encuentra la secuencia más corta de dígitos, comenzando desde el extremo izquierdo del dividendo, 500, en la que el divisor 4 quepa al menos una vez. En este caso, se trata simplemente del primer dígito, 5. El mayor número por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 5 es 1, por lo que el dígito 1 se coloca encima del 5 para comenzar a construir el cociente.
A continuación, se multiplica el 1 por el divisor 4 para obtener el mayor número entero que sea múltiplo del divisor 4 sin exceder el 5 (4 en este caso). Este 4 se coloca debajo del 5 y se le resta para obtener el resto, 1, que se coloca debajo del 4 que está debajo del 5.
Posteriormente, el primer dígito aún no utilizado del dividendo, en este caso el primer dígito 0 después del 5, se copia directamente debajo de sí mismo y al lado del resto 1, para formar el número 10.
En este punto, el proceso se repite suficientes veces hasta llegar a un punto final: el mayor número por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 10 es 2, por lo que se escribe 2 arriba como el segundo dígito del cociente más a la izquierda. Este 2 se multiplica luego por el divisor 4 para obtener 8, que es el mayor múltiplo de 4 que no excede 10; por lo tanto, se escribe 8 debajo de 10, y se realiza la resta 10 menos 8 para obtener el resto 2, que se coloca debajo del 8.
El siguiente dígito del dividendo (el último 0 de 500) se copia justo debajo y junto al resto 2 para formar 20. Luego, el mayor número por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 20, que es 5, se coloca arriba como el tercer dígito del cociente de la izquierda. Este 5 se multiplica por el divisor 4 para obtener 20, que se escribe debajo y se resta del 20 existente para obtener el resto 0, que luego se escribe debajo del segundo 20.
En este punto, dado que no hay más dígitos que restar del dividendo y el resultado de la última resta fue 0, podemos estar seguros de que el proceso ha finalizado.

Si el último resto cuando nos quedamos sin dígitos de dividendo hubiera sido distinto de 0, habría habido dos posibles cursos de acción:

Podríamos detenernos ahí y decir que el dividendo dividido por el divisor es el cociente escrito arriba con el resto escrito abajo, y escribir la respuesta como el cociente seguido de una fracción que es el resto dividido por el divisor.
Podríamos extender el dividendo escribiéndolo como, por ejemplo, 500.000... y continuar el proceso (usando un punto decimal en el cociente directamente encima del punto decimal en el dividendo), para obtener una respuesta decimal, como en el siguiente ejemplo.

 31,75 4)127.00 12 (12 ÷ 4 = 3) 07 ( resto 0 , bajar la siguiente figura) 4 (7 ÷ 4 = 1 resto 3) 3.0 (bajar el 0 y el punto decimal) 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (se baja un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En este ejemplo, la parte decimal del resultado se calcula continuando el proceso más allá del dígito de las unidades, "bajando" ceros como la parte decimal del dividendo.

Este ejemplo también ilustra que, al inicio del proceso, se puede omitir un paso que produce un cero. Dado que el primer dígito 1 es menor que el divisor 4, el primer paso se realiza sobre los dos primeros dígitos, 12. De manera similar, si el divisor fuera 13, el primer paso se realizaría sobre 127 en lugar de sobre 12 o 1.

Procedimiento básico para la división larga de $n \div m$

Encuentra la ubicación de todos los puntos decimales en el dividendo $n$ y el divisor $m$ .
Si es necesario, simplifique el problema de la división larga moviendo los decimales del divisor y del dividendo el mismo número de posiciones decimales, hacia la derecha (o hacia la izquierda), de manera que el decimal del divisor quede a la derecha del último dígito.
Al realizar divisiones largas, mantenga los números alineados en línea recta de arriba a abajo debajo del tablero.
Después de cada paso, asegúrese de que el resto sea menor que el divisor. Si no lo es, existen tres posibles problemas: la multiplicación es incorrecta, la resta es incorrecta o se necesita un cociente mayor.
Al final, el resto, $r$ , se añade al cociente creciente como una fracción , r / m .

Propiedad invariante y corrección

La presentación básica de los pasos del proceso (arriba) se centra en los pasos a realizar, en lugar de en las propiedades de esos pasos que aseguran que el resultado sea correcto (específicamente, que q × m + r = n , donde q es el cociente final y r el resto final). Una ligera variación en la presentación requiere más texto y exige que modifiquemos, en lugar de simplemente actualizar, los dígitos del cociente, pero puede aclarar por qué estos pasos producen la respuesta correcta al permitir la evaluación de q × m + r en puntos intermedios del proceso. Esto ilustra la propiedad clave utilizada en la derivación del algoritmo (abajo) .

En concreto, modificamos el procedimiento básico anterior para rellenar el espacio que sigue a los dígitos del cociente que se está construyendo con ceros, al menos hasta la posición de las unidades, e incluir esos ceros en los números que escribimos debajo del paréntesis de división.

Esto nos permite mantener una relación invariante en cada paso: q × m + r = n , donde q es el cociente parcialmente construido (encima del paréntesis de división) y r el resto parcialmente construido (el número inferior debajo del paréntesis de división). Nótese que, inicialmente, q=0 y r=n , por lo que esta propiedad se cumple inicialmente; el proceso reduce r y aumenta q con cada paso, deteniéndose finalmente cuando r<m si buscamos la respuesta en forma de cociente + resto entero.

Retomando el ejemplo de 500 ÷ 4 anterior, encontramos:

1 2 5 ( q , cambia de 000 a 100 a 1 20 a 1 2 5 según las notas a continuación) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; ahora q= 100 , r= 100 ; nota q × 4+r = 500 .) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; ahora q= 1 20 , r= 20 ; nota q × 4+r = 500 .) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; ahora q = 1 2 5 , r = 0 ; observe que q × 4 + r = 500 .)

Ejemplo con divisor de varias cifras

Ejemplo animado de división larga de varios dígitos

Se puede utilizar un divisor de cualquier número de dígitos. En este ejemplo, 1260257 debe dividirse entre 37. Primero, el problema se plantea de la siguiente manera:

 37)1260257

Se toman los dígitos del número 1260257 hasta que aparece un número mayor o igual a 37. Así, 1 y 12 son menores que 37, pero 126 es mayor. A continuación, se calcula el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 126. Por lo tanto, 3 × 37 = 111 < 126, pero 4 × 37 > 126. El múltiplo 111 se escribe debajo del 126 y el 3 se escribe encima, donde aparecerá la solución.

 3  37)1260257 111

Fíjese bien en qué columna de valor posicional se escriben estos dígitos. El 3 del cociente va en la misma columna (posición de las decenas de millar) que el 6 del dividendo 1260257, que es la misma columna que el último dígito de 111.

A continuación, se resta el 111 de la línea superior, ignorando todos los dígitos a la derecha:

 3  37)1260257 111 15

Ahora, el dígito del siguiente valor posicional menor del dividendo se copia hacia abajo y se agrega al resultado 15:

 3  37)1260257 111 150

El proceso se repite: se resta el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 150. Esto es 148 = 4 × 37, por lo que se añade un 4 al numerador como siguiente dígito del cociente. Luego, al resultado de la resta se le suma otro dígito tomado del dividendo:

 34  37)1260257 111 150 148 22

El mayor múltiplo de 37 menor o igual a 22 es 0 × 37 = 0. Al restar 0 de 22 obtenemos 22; a menudo no escribimos la resta. En su lugar, simplemente tomamos otro dígito del dividendo:

 340  37)1260257 111 150 148 225

El proceso se repite hasta que 37 divida exactamente la última línea:

 34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37

división larga en modo mixto

Para monedas no decimales (como el sistema británico £sd antes de 1971) y medidas (como el avoirdupois ), debe utilizarse la división mixta . Considere dividir 50 millas y 600 yardas en 37 partes:

 mi - yd - ft - in  1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37 22880 66 348 13 23480 66 348 1760 222 37 333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148 22 66 ==

Cada una de las cuatro columnas se trabaja por turno. Comenzando con las millas: 50/37 = 1 resto 13. No es posible realizar más divisiones, así que realizamos una multiplicación larga por 1760 para convertir millas a yardas, el resultado es 22 880 yardas. Llevamos este valor a la parte superior de la columna de yardas y lo sumamos a las 600 yardas del dividendo, lo que da 23 480. La división larga de 23 480 / 37 procede ahora como de costumbre, dando 634 con resto 22. El resto se multiplica por 3 para obtener pies y se lleva a la columna de pies. La división larga de los pies da 1 resto 29, que luego se multiplica por doce para obtener 348 pulgadas. La división larga continúa con el resto final de 15 pulgadas que se muestra en la línea de resultados.

Interpretación de resultados decimales

Cuando el cociente no es un número entero y el proceso de división se extiende más allá del punto decimal, pueden ocurrir dos cosas:

El proceso puede terminar, lo que significa que se alcanza un resto de 0; o
Podría obtenerse un resto idéntico a un resto anterior que se produjo después de escribir los puntos decimales. En este último caso, continuar el proceso sería inútil, ya que a partir de ese punto la misma secuencia de dígitos aparecería repetidamente en el cociente. Por lo tanto, se dibuja una barra sobre la secuencia repetitiva para indicar que se repite indefinidamente (es decir, todo número racional es un decimal finito o periódico ).

Notación en países de habla no inglesa

China, Japón y Corea utilizan la misma notación que los países de habla inglesa, incluida la India. En otros lugares, se aplican los mismos principios generales, pero las cifras suelen estar dispuestas de forma diferente.

América Latina

En Latinoamérica (excepto Argentina , Bolivia , México , Colombia , Paraguay , Venezuela , Uruguay y Brasil ), el cálculo es prácticamente idéntico, pero se escribe de forma diferente, como se muestra a continuación con los mismos dos ejemplos anteriores. Generalmente, el cociente se escribe debajo de una barra que se encuentra debajo del divisor. A veces, se dibuja una línea vertical larga a la derecha de los cálculos.

 500 ÷ 4 = 1 2 5 (Explicaciones) 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

y

 127 ÷ 4 = 31,75 124 30 (bajar 0; decimal a cociente) 28 (7 × 4 = 28) 20 (se añade un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En México se utiliza la notación del mundo angloparlante, excepto que solo se anota el resultado de la resta y el cálculo se realiza mentalmente, como se muestra a continuación:

1 2 5 (Explicaciones) 4)500 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 0 (20 - 20 = 0)

En Bolivia , Brasil , Paraguay , Venezuela , Canadá francófona , Colombia y Perú , se utiliza la notación europea (véase más abajo), excepto que el cociente no está separado por una línea vertical, como se muestra a continuación:

 127| 4  − 124 31,75 30 − 28 20 − 20 0

En México , Uruguay y Argentina se aplica el mismo procedimiento , solo que se anota el resultado de la resta y el cálculo se realiza mentalmente.

Eurasia

En España, Italia, Francia, Portugal, Lituania, Rumanía, Turquía, Grecia, Bélgica, Bielorrusia, Ucrania y Rusia, el divisor se sitúa a la derecha del dividendo, separado por una barra vertical. La división también se realiza en la columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor, separado por una línea horizontal. Este mismo método se utiliza en Irán, Vietnam y Mongolia.

 127| 4  − 12 |31,75 7 − 4 30 − 28 20 - 20 0

En Chipre, al igual que en Francia, una larga barra vertical separa el dividendo y las restas subsiguientes del cociente y el divisor, como en el ejemplo siguiente de 6359 dividido por 17, que es 374 con un resto de 1.

 6359 | 17  − 51 | 374 125 | − 119 | 69| − 68 | 1|

Los números decimales no se dividen directamente; el dividendo y el divisor se multiplican por una potencia de diez, de modo que la división involucra dos números enteros. Por lo tanto, si se dividiera 12,7 entre 0,4 (usando comas en lugar de puntos decimales), el dividendo y el divisor se cambiarían primero a 127 y 4, y luego la división se realizaría como se indicó anteriormente.

En Austria , Alemania y Suiza , se utiliza la notación de una ecuación normal: <dividendo> : <divisor> = <cociente> , donde los dos puntos ":" representan el símbolo infijo binario del operador de división (análogo a "/" o "÷"). En estas regiones, el separador decimal se escribe con una coma. (Véase la primera sección sobre países latinoamericanos, donde se utiliza prácticamente el mismo método).

 127 : 4 = 31,75 − 12 07 − 4 30 − 28 20 − 20 0

La misma notación se adopta en Dinamarca , Noruega , Bulgaria , Macedonia del Norte , Polonia , Croacia , Eslovenia , Hungría , República Checa , Eslovaquia , Vietnam y Serbia .

En los Países Bajos se utiliza la siguiente notación:

 12 / 135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0

En Finlandia , el método italiano detallado anteriormente fue reemplazado por el angloamericano en la década de 1970. Sin embargo, a principios de la década de 2000, algunos libros de texto adoptaron el método alemán, ya que conserva el orden entre el divisor y el dividendo. ^{[ 16 ]}

Algoritmo para base arbitraria

Cada número natural $n$ puede representarse de forma única en una base numérica arbitraria. $b>1$ como una secuencia de dígitos $n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}$ dónde $0\leq \alpha _{i}<b$ a pesar de $0\leq i<k$ , dónde $k$ es el número de dígitos en $n$ . El valor de $n$ en términos de sus dígitos y la base es

n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{ki-1}

Dejar $n$ ser el dividendo y $m$ sea el divisor, donde $l$ es el número de dígitos en $m$ . Si $k<l$ , entonces cociente $q=0$ y el resto $r=n$ De lo contrario, iteramos desde $0\leq i\leq kl$ , antes de detenerse.

Para cada iteración $i$ , dejar $q_{i}$ sea el cociente extraído hasta ahora, $d_{i}$ ser el dividendo intermedio, $r_{i}$ sea el resto intermedio, $\alpha _{i}$ sea el siguiente dígito del dividendo original, y $\beta _{i}$ sea el siguiente dígito del cociente. Por definición de dígitos en base $b$ , $0\leq \beta _ {i}<b$ . Por definición de resto, $0\leq r_{i}<m$ Todos los valores son números naturales. Iniciamos

q_{-1}=0

r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}

la primera $l-1$ dígitos de $n$ .

En cada iteración, las tres ecuaciones son verdaderas:

d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}

r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}

q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}

Solo existe uno de esos $\beta _{i}$ de tal manera que $0\leq r_{i}<m$ .

Prueba de existencia y unicidad de $\beta _{i}$

Según la definición del resto $r_{i}$ ,

0\leq r_{i}<m

0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m

m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)

Para el lado izquierdo de la desigualdad, seleccionamos el mayor $\beta _{i}$ de tal manera que

m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}

Siempre hay uno más grande de ese tipo. $\beta _{i}$ , porque $0\leq \beta _{i}<b$ y si $\beta _{i}=0$ , entonces

0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}

pero porque $b>1$ , $r_{i-1}\geq 0$ , $\alpha _{i+l-1}\geq 0$ Esto siempre es cierto. Para el lado derecho de la desigualdad, suponemos que existe un valor mínimo. $\beta _{i}^{\prime }$ de tal manera que

br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)

Dado que este es el más pequeño $\beta _{i}^{\prime }$ que la desigualdad se cumple, esto debe significar que para $\beta _{i}^{\prime }-1$

br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }

lo cual es exactamente lo mismo que el lado izquierdo de la desigualdad. Por lo tanto, $\beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }$ . Como $\beta _{i}$ siempre existirá, así que $\beta _{i}^{\prime }$ igual a $\beta _{i}$ y solo hay uno único $\beta _{i}$ eso es válido para la desigualdad. Por lo tanto, hemos demostrado la existencia y unicidad de $\beta _{i}$ .

El cociente final es $q=q_{k-l}$ y el resto final es $r=r_{k-l}$

Ejemplos

En base 10 , usando el ejemplo anterior con $n=1260257$ y $m=37$ , los valores iniciales $q_{-1}=0$ y $r_{-1}=1$ .

De este modo, $q=34061$ y $r=0$ .

En base 16 , con $n={\text{f412df}}$ y $m=12$ , los valores iniciales son $q_{-1}=0$ y $r_{-1}={\text{f}}$ .

De este modo, $q={\text{d8f45}}$ y $r={\text{5}}$ .

Si uno no tiene memorizadas las tablas de suma , resta o multiplicación en base $b$ , este algoritmo aún funciona si los números se convierten a decimal y al final se vuelven a convertir a base $b$ . Por ejemplo, con el ejemplo anterior,

n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}

y

m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18

con $b=16$ Los valores iniciales son $q_{-1}=0$ y $r_{-1}=15$ .

De este modo, $q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}$ y $r=5={\text{5}}_{16}$ .

Este algoritmo se puede realizar utilizando el mismo tipo de anotaciones en papel que se muestran en las secciones anteriores.

 d8f45 r. 5 12) f412df cada uno a1 90 112 10e 4d 48 5f 5a 5

Cocientes racionales

Si el cociente no está restringido a ser un número entero, entonces el algoritmo no termina para $i>k-l$ En cambio, si $i>k-l$ entonces $\alpha _{i}=0$ por definición. Si el resto $r_{i}$ es igual a cero en cualquier iteración, entonces el cociente es un $b$ fracción -ádica , y se representa como una expansión decimal finita en base $b$ notación posicional. De lo contrario, sigue siendo un número racional pero no un $b$ racional -ádico, y en cambio se representa como una expansión decimal repetitiva infinita en base $b$ notación posicional.

División binaria

Actuación

En cada iteración, la tarea que más tiempo consume es seleccionar $\beta _{i}$ Sabemos que hay $b$ posibles valores, para que podamos encontrar $\beta _{i}$ usando $O(\log(b))$ comparaciones . Cada comparación requerirá evaluación $d_{i}-m\beta _{i}$ . Dejar $k$ sea el número de dígitos del dividendo $n$ y $l$ sea el número de dígitos del divisor $m$ . El número de dígitos en $d_{i}\leq l+1$ . La multiplicación de $m\beta _{i}$ es por lo tanto $O(l)$ y asimismo la resta de $d_{i}-m\beta _{i}$ Por lo tanto, se necesita $O(l\log(b))$ seleccionar $\beta _{i}$ . El resto del algoritmo consiste en la suma y el desplazamiento de dígitos de $q_{i}$ y $r_{i}$ un dígito a la izquierda, y por lo tanto lleva tiempo $O(k)$ y $O(l)$ en base $b$ , por lo que cada iteración toma $O(l\log(b)+k+l)$ o simplemente $O(l\log(b)+k)$ Para todos. $k-l+1$ dígitos, el algoritmo tarda tiempo $O((k-l+1)(l\log(b)+k))$ , o $O(kl\log(b)+k^{2})$ en base $b$ .

Generalizaciones

Números racionales

La división larga de números enteros se puede extender fácilmente para incluir dividendos no enteros, siempre que sean racionales . Esto se debe a que todo número racional tiene una expansión decimal periódica. El procedimiento también se puede extender para incluir divisores con una expansión decimal finita o finita (es decir, fracciones decimales ). En este caso, el procedimiento consiste en multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia de diez adecuada para que el nuevo divisor sea un número entero —aprovechando que a ÷ b = ( ca ) ÷ ( cb ) — y luego proceder como se indicó anteriormente.

Polinomios

También se utiliza una versión generalizada de este método, denominada división larga de polinomios , para dividir polinomios (a veces utilizando una versión abreviada llamada división sintética ).

Véase también

Referencias

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↑ Ikäheimo, Hannele: Jakolaskuun ymmärrystä ( en finlandés )

Enlaces externos

Algoritmo de división larga
División larga y el lema de Euclides

[1] Weisstein, Eric W. "División larga" . MathWorld .

[2] "Revistas de University of Chicago Press: Cookie ausente" . RCNi Company Limited . doi : 10.1086/457060 . Consultado el 2 de mayo de 2026 .

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