División por infinito

{\displaystyle y=1/x} — La hipérbola $y=1/x$ . Como $x$ se aproxima a ∞, $y$ se aproxima a 0.

En matemáticas , la división por infinito es aquella en la que el divisor (denominador) es infinito . En aritmética ordinaria, esto no tiene un significado bien definido , ya que ∞ es un concepto matemático que no corresponde a un número específico y, además, no existe ningún número real distinto de cero que, al sumarse a sí mismo un número infinito de veces, dé como resultado un número finito, a menos que se considere el concepto de formas indeterminadas . Sin embargo, "dividir por ∞" puede interpretarse como una forma informal de expresar el límite de la división de un número por divisores cada vez mayores. ^{[ 1 ]}^{: 201–204}

Utilizando estructuras matemáticas que van más allá de los números reales , es posible definir números que tienen magnitud infinita pero que aún pueden manipularse de maneras muy parecidas a la aritmética ordinaria. Por ejemplo, en la recta numérica real extendida , dividir cualquier número real por infinito da como resultado cero, ^{[ 2 ]} mientras que en el sistema numérico surrealista , dividir 1 por el número infinito $\omega$ produce el número infinitesimal $\epsilon$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{: 12} En aritmética de punto flotante , cualquier número finito dividido por $\pm \infty$ es igual a cero positivo o negativo si el numerador es finito. De lo contrario, el resultado es NaN .

Los desafíos que plantea proporcionar un significado riguroso de "división por infinito" son análogos a los de definir la división por cero .

Uso en tecnología

Como el infinito es difícil de manejar para la mayoría de las calculadoras y computadoras, muchas no tienen una forma formal de calcular la división por infinito. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Las calculadoras como la TI-84 y la mayoría de las calculadoras domésticas no tienen un botón de infinito, por lo que es imposible escribir en la calculadora ' x dividido por infinito', por lo que en su lugar los usuarios pueden escribir un número grande como "1e99" ( $1\times 10^{99}$ ) o "-1e99". Al escribir algún número dividido por un número suficientemente grande, la salida será 0. En algunos casos esto falla porque hay un error de desbordamiento o si el numerador también es un número suficientemente grande, entonces la salida puede ser 1 o un número real. En el lenguaje Wolfram , dividir un entero por infinito dará como resultado 0. ^{[ 7 ]} Además, en algunas calculadoras como la TI-Nspire , 1 dividido por infinito puede evaluarse como 0.

Uso en cálculo

Integración

En cálculo , la integral de una función se define como el área bajo una curva. Esto se puede lograr dividiendo dicha área en secciones rectangulares y sumando las sumas de estas secciones. Estas sumas se denominan sumas de Riemann . A medida que las secciones se estrechan, la suma de Riemann se convierte en una aproximación cada vez más precisa del área real. Al tomar el límite de estas sumas de Riemann, donde las secciones pueden considerarse heurísticamente como "infinitamente delgadas", se obtiene la integral definida de la función sobre el intervalo prescrito. Conceptualmente, esto equivale a dividir el intervalo por infinito para obtener segmentos infinitamente pequeños. ^{[ 1 ]}^{: 255–259}

Por otro lado, cuando se toma una integral donde uno de los límites es infinito, se define como una integral impropia . ^{[ 8 ]} Para determinar esto, se toma el límite como una variable cuando aproxima a infinito, sustituyendo a en por el signo de infinito. Esto permite evaluar la integral y luego tomar el límite. En muchos casos, al evaluar esto, un término queda dividido por infinito. En este caso, para evaluar la integral, se supone que es cero. Esto permite suponer que la integral converge, lo que significa que se puede determinar una respuesta finita a partir de la integral usando esta suposición. ^{[ 8 ]}

La regla del Hospital

Cuando se da una razón entre dos funciones, el límite de esta razón se puede evaluar calculando el límite de cada función por separado. Cuando el límite de la función en el denominador es infinito y el numerador no permite determinar con precisión la razón, se dice que el límite de la razón es indeterminado. ^{[ 9 ]} Un ejemplo de esto es:

{\frac {\infty }{\infty }}

El uso de la regla de L'Hôpital para evaluar límites de fracciones cuyo denominador tiende al infinito puede producir resultados distintos de 0.

Si

\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

entonces

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

Entonces si

\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,

entonces

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L

^{[ 10 ]}

Esto significa que, al usar límites para dar sentido a la división por infinito, el resultado de "dividir por infinito" no siempre es igual a 0.

Referencias

1 2 Cheng, Eugenia (2018). Más allá del infinito: Una expedición a los límites exteriores de las matemáticas . Basic Books. ISBN 9781541644137OCLC 1003309980 .
^ Hansen, Eldon R.; Walster, G. William (2004). Optimización global mediante análisis de intervalos (2ª ed.). Nueva York: Marcel Dekker. pag. 57.ISBN 0-8247-5870-6OCLC 55013079
↑ Knuth, Donald Ervin (1974). Números surrealistas: Cómo dos exalumnos se aficionaron a las matemáticas puras y encontraron la felicidad plena . Boston, Mass.: Addison-Wesley. p. 109. ISBN 978-0-201-03812-5OCLC 1194979
↑ Conway, John H. (2001). Sobre números y juegos (2.ª ed.). AK Peters. ISBN 1-56881-127-6.
↑ Zhang, Yin (1998). "Resolución de programas lineales a gran escala mediante métodos de punto interior en el entorno Matlab ∗" . Optimization Methods and Software . 10 (1): 1–31 . doi : 10.1080/10556789808805699 . ISSN 1055-6788 .
↑ Maniatakos, M.; Kudva, P.; Fleischer, BM; Makris, Y. (2013). "Detección de errores concurrente de bajo costo para controladores de unidades de punto flotante (FPU)". IEEE Transactions on Computers . 62 (7): 1376– 1388. doi : 10.1109/TC.2012.81 . ISSN 0018-9340 . S2CID 1300358 .
↑ "Wolfram|Alpha: Haciendo que el conocimiento del mundo sea computable" . www.wolframalpha.com . Consultado el 30 de octubre de 2018 .
1 2 Introducción a las integrales impropias , consultado el 30/10/2018
↑ Menz, Petra; Mulberry, Nicola (13 de julio de 2020). "Forma indeterminada y regla de L'Hôpital" . Cálculo de trascendentales tempranos: cálculo diferencial y multivariable para ciencias sociales . Universidad Simon Fraser . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
↑ "IMOmath: Teorema de L'Hôpital" . www.imomath.com . Consultado el 29 de noviembre de 2018 .

Enlaces externos

Cómo dividir por cero, por Bill Shillito

[:1-1] 1 2 Cheng, Eugenia (2018). Más allá del infinito: Una expedición a los límites exteriores de las matemáticas . Basic Books. ISBN 9781541644137OCLC 1003309980 .

[2] Hansen, Eldon R.; Walster, G. William (2004). Optimización global mediante análisis de intervalos (2ª ed.). Nueva York: Marcel Dekker. pag. 57.ISBN 0-8247-5870-6OCLC 55013079

[3] Knuth, Donald Ervin (1974). Números surrealistas: Cómo dos exalumnos se aficionaron a las matemáticas puras y encontraron la felicidad plena . Boston, Mass.: Addison-Wesley. p. 109. ISBN 978-0-201-03812-5OCLC 1194979

[4] Conway, John H. (2001). Sobre números y juegos (2.ª ed.). AK Peters. ISBN 1-56881-127-6.

[5] Zhang, Yin (1998). "Resolución de programas lineales a gran escala mediante métodos de punto interior en el entorno Matlab ∗" . Optimization Methods and Software . 10 (1): 1–31 . doi : 10.1080/10556789808805699 . ISSN 1055-6788 .

[6] Maniatakos, M.; Kudva, P.; Fleischer, BM; Makris, Y. (2013). "Detección de errores concurrente de bajo costo para controladores de unidades de punto flotante (FPU)". IEEE Transactions on Computers . 62 (7): 1376– 1388. doi : 10.1109/TC.2012.81 . ISSN 0018-9340 . S2CID 1300358 .

[7] "Wolfram|Alpha: Haciendo que el conocimiento del mundo sea computable" . www.wolframalpha.com . Consultado el 30 de octubre de 2018 .

[:0-8] 1 2 Introducción a las integrales impropias , consultado el 30/10/2018

[9] Menz, Petra; Mulberry, Nicola (13 de julio de 2020). "Forma indeterminada y regla de L'Hôpital" . Cálculo de trascendentales tempranos: cálculo diferencial y multivariable para ciencias sociales . Universidad Simon Fraser . Consultado el 10 de agosto de 2022 .

[10] "IMOmath: Teorema de L'Hôpital" . www.imomath.com . Consultado el 29 de noviembre de 2018 .

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