La identidad de Dixon

En matemáticas , la identidad de Dixon (o teorema de Dixon o fórmula de Dixon ) es cualquiera de varias identidades diferentes pero estrechamente relacionadas, demostradas por A. C. Dixon . Algunas involucran sumas finitas de productos de tres coeficientes binomiales , y otras evalúan una suma hipergeométrica . Estas identidades se derivan del teorema maestro de MacMahon y ahora pueden demostrarse rutinariamente mediante algoritmos informáticos ( Ekhad 1990 ) .

La identidad original, de ( Dixon 1891 ) , es

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}$

Una generalización, también llamada a veces identidad de Dixon, es

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}$

donde a , b y c son enteros no negativos ( Wilf 1994 , p. 156) . La suma de la izquierda se puede escribir como la serie hipergeométrica bien equilibrada que termina 

${\displaystyle {b+c \choose ba}{c+a \choose ca}{}_{3}F_{2}(-2a,-ab,-ac;1+ba,1+ca;1)}$

y la identidad se deduce como un caso límite (cuando a tiende a un entero) del teorema de Dixon que evalúa una serie hipergeométrica generalizada ₃ F ₂ bien equilibrada en 1, de ( Dixon 1902 ) :

${\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+ab,1+ac;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-bc)\Gamma (1+ab)\Gamma (1+ac)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+abc)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}$

Esto se cumple para Re(1 + 1 ⁄ 2 a − b − c ) > 0. Cuando c tiende a − ∞, se reduce a la fórmula de Kummer para la función hipergeométrica ₂ F ₁ en − 1. El teorema de Dixon se puede deducir de la evaluación de la integral de Selberg .

Una q -análoga de la fórmula de Dixon para la serie hipergeométrica básica en términos del símbolo q-Pochhammer viene dada por

${\displaystyle \;_{4}\varphi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}$

donde | qa ^1/2 / bc | < 1.

• Dixon, AC (1891), "Sobre la suma de los cubos de los coeficientes en una cierta expansión mediante el teorema del binomio", Messenger of Mathematics , 20 : 79–80 , JFM 22.0258.01 

• Dixon, AC (1902). "Suma de una cierta serie" . Proc. London Math. Soc . 35 (1): 284– 291. doi : 10.1112/plms/s1-35.1.284 . JFM 34.0490.02 . 
• Gessel, Ira ; Stanton, Dennis (1985). "Pruebas breves de los teoremas de Saalschütz y Dixon" . Journal of Combinatorial Theory, Serie A. 38 ( 1): 87–90 . doi : 10.1016 / 0097-3165(85)90026-3 . ISSN 1096-0899 . MR 0773560. Zbl 0559.05008 .   
• Ekhad, Shalosh B. (1990), "Una demostración muy breve del teorema de Dixon", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 54 (1): 141– 142, doi : 10.1016/0097-3165(90)90014-N , ISSN 1096-0899 , MR 1051787 , Zbl 0707.05007   
• Ward, James (1991). "100 años de la identidad de Dixon" . Boletín de la Sociedad Matemática Irlandesa . 0027 (27): 46– 54. doi : 10.33232/BIMS.0027.46.54 . ISSN 0791-5578 . MR 1185413. Zbl 0795.01009 .   
• Mikic, Jovan (2016). "Una prueba de la identidad de Dixon" . J. Int. Seq . 19 : #16.5.3.

• Wilf, Herbert S. (1994), Generatingfunctionology (2.ª  ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4, Zbl 0831.05001