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Dodecágono

En geometría , un dodecágono , o polígono de 12 lados , es cualquier polígono de doce lados . dodecágono regular Se pueden cortar tres cuadrados de lados R y reorganizarlos para...

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En geometría , un dodecágono , o polígono de 12 lados , es cualquier polígono de doce lados .

dodecágono regular

Se pueden cortar tres cuadrados de lados R y reorganizarlos para formar un dodecágono de radio circunscrito R , lo que proporciona una prueba sin palabras de que su área es 3 R² .

Un dodecágono regular es una figura con lados de igual longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Posee doce ejes de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 12. Un dodecágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {12} y puede construirse como un hexágono truncado , t{6}, o un triángulo doblemente truncado , tt{3}. El ángulo interno en cada vértice de un dodecágono regular es de 150°.

Área

El área de un dodecágono regular de lado a viene dada por: A=3cuna⁡(π12)a2=3(2+3)a2≃11.19615242a2{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}

Y en términos de la apotema r (véase también la figura inscrita ), el área es: A=12broncearse⁡(π12)r2=12(2−3)r2≃3.2153903r2{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}

En términos del radio de la circunferencia circunscrita R , el área es: [ 1 ]A=6pecado⁡(π6)R2=3R2{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}

La longitud S del dodecágono es la distancia entre dos lados paralelos y es igual al doble de la apotema. Una fórmula sencilla para calcular el área (dada la longitud del lado y la longitud S) es: A=3aS{\displaystyle A=3aS} Esto se puede verificar con la relación trigonométrica: S=a(1+2porque⁡30∘+2porque⁡60∘){\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}

Perímetro

El perímetro de un dodecágono regular en términos de radio circunscrito es: [ 2 ]pag=24Rpecado⁡(π12)=12R2−3≃6.21165708246R{\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}

El perímetro en términos de apotema es: pag=24rbroncearse⁡(π12)=24r(2−3)≃6.43078061835r{\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}} Este coeficiente es el doble del coeficiente hallado en la ecuación de la apotema para el área. [ 3 ]

Construcción de dodecágono

Como 12 = 2 2 × 3, se puede construir un dodecágono regular utilizando la construcción con compás y regla :

Construcción de un dodecágono regular en una circunferencia circunscrita dada.
Construcción de un dodecágono regular con una longitud de lado determinada, animación. (La construcción es muy similar a la de un octágono con una longitud de lado determinada ).

Disección

dodecágono isotoxal

Coxeter afirma que todo zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. [ 4 ] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con igual número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos . Para el dodecágono regular , m =6, y puede dividirse en 15: 3 cuadrados, 6 rombos anchos de 30° y 6 rombos estrechos de 15°. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 6-cubo , con 15 de 240 caras. La secuencia OEIS secuencia A006245 define el número de soluciones como 908, incluyendo hasta 12 rotaciones y formas quirales en reflexión.

Una de las formas en que se utilizan los bloques de patrones manipulativos matemáticos es en la creación de varios dodecágonos diferentes. [ 5 ] Están relacionados con las disecciones rómbicas, con 3 rombos de 60° fusionados en hexágonos, trapecios de medio hexágono o divididos en 2 triángulos equiláteros.

Simetría

Las simetrías de un dodecágono regular se muestran con colores en los bordes y vértices. John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra, y el orden de la simetría sigue a la letra. Él asigna d (diagonal, diasimetría) con líneas de simetría que pasan por los vértices, p con líneas de simetría que pasan por los bordes (perpendicular, persimetría) , i con líneas de simetría que pasan por los vértices y los bordes (isosimetría), y g para la simetría rotacional (girosimetría). a1 etiqueta la asimetría. Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de dodecágonos irregulares. [ 6 ]

El dodecágono regular tiene simetría Dih 12 , orden 24. Hay 15 simetrías diedrales y cíclicas de subgrupos distintas. Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g12 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Aparición

Embaldosado

Un dodecágono regular puede rellenar un vértice de un plano con otros polígonos regulares de 4 maneras:

Aquí hay 3 ejemplos de teselaciones planas periódicas que utilizan dodecágonos regulares, definidos por su configuración de vértices :

dodecágono sesgado

Un dodecágono sesgado regular visto como los bordes en zigzag de un antiprisma hexagonal .

Un dodecágono oblicuo es un polígono oblicuo con 12 vértices y aristas, pero cuyos vértices no se encuentran en el mismo plano. Generalmente, no se define el interior de dicho dodecágono. Un dodecágono oblicuo en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un dodecágono sesgado regular es transitivo en los vértices con longitudes de arista iguales. En 3 dimensiones será un dodecágono sesgado en zigzag y puede verse en los vértices y aristas laterales de un antiprisma hexagonal con la misma simetría D 5d , [2 + ,10], orden 20. El antiprisma dodecagramm, s{2,24/5} y el antiprisma cruzado dodecagramm, s{2,24/7} también tienen dodecágonos sesgados regulares.

Polígonos de Petrie

El dodecágono regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, vistos como proyecciones ortogonales en planos de Coxeter . Ejemplos en 4 dimensiones son el 24-celda , el 24-celda truncado , el duoprisma 6-6 , el duopirámido 6-6 . En 6 dimensiones , el 6-cubo , el 6-ortoplex , el 2 21 , el 1 22. También es el polígono de Petrie para el gran 120-celda y el gran 120-celda estrellado .

Un dodecagrama es un polígono estrellado de 12 lados, representado por el símbolo {12/n}. Hay un polígono estrellado regular : {12/5}, que utiliza los mismos vértices, pero conecta cada quinto punto. También hay tres compuestos: {12/2} se reduce a 2{6} como dos hexágonos , y {12/3} se reduce a 3{4} como tres cuadrados , {12/4} se reduce a 4{3} como cuatro triángulos, y {12/6} se reduce a 6{2} como seis digones degenerados .

Las truncaciones más profundas del dodecágono regular y los dodecagramas pueden producir formas poligonales intermedias isogonales ( transitivas en vértices ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. Un hexágono truncado es un dodecágono, t{6}={12}. Un hexágono cuasitruncado, invertido como {6/5}, es un dodecagrama: t{6/5}={12/5}. [ 7 ]

Ejemplos en uso

En mayúsculas , las letras E , H y X (y la I en una fuente con remates cuadrados ) tienen contornos dodecagonales. Una cruz es un dodecágono, al igual que el logotipo de la división de automóviles Chevrolet .

La iglesia de Veracruz en Segovia

El dodecágono regular ocupa un lugar destacado en muchos edificios. La Torre del Oro es una torre de vigilancia militar dodecagonal en Sevilla , al sur de España , construida por la dinastía almohade . La iglesia de Veracruz, de principios del siglo XIII, en Segovia , España, también es dodecagonal. Otro ejemplo es la Porta di Venere (Puerta de Venus), en Spello , Italia , construida en el siglo I a. C., que cuenta con dos torres dodecagonales, llamadas "Torres de Propercio".

Una moneda británica de tres peniques de 1942 , reverso

Las monedas dodecagonales regulares incluyen:

Véase también

Notas

  1. ↑ "Proyecto de demostraciones de Wolfram" . demonstrations.wolfram.com . Consultado el 4 de febrero de 2025 .
  2. ↑ Willis, Clarence Addison (1922). Geometría plana: experimento, clasificación, descubrimiento, aplicación... B. Blakiston's Son & Company. pág. 249. 
  3. ↑ Playfair, John (1814). Elementos de geometría . Bell & Bradfute. pág. 243. 
  4. ↑ Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, Decimotercera edición, pág. 141
  5. ^ "Doin' Da' Dodeca'" en mathforum.org
  6. ↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278)
  7. ↑ El lado más divertido de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
  • Weisstein, Eric W. "Dodecágono" . MathWorld .
  • La tesela y el teorema de Kürschak
  • Definición y propiedades de un dodecágono. Con animación interactiva.
  • El dodecágono regular en el aula , usando bloques de patrones.
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