Cohomología de Dolbeault

En matemáticas , en particular en geometría algebraica y geometría diferencial , la cohomología de Dolbeault (nombrada en honor a Pierre Dolbeault ) es un análogo de la cohomología de De Rham para variedades complejas . Sea M una variedad compleja. Entonces, los grupos de cohomología de Dolbeault dependen de un par de números enteros p y q y se realizan como un subcociente del espacio de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Sea Ω ^{p , q} el fibrado vectorial de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). En el artículo sobre formas complejas , el operador de Dolbeault se define como un operador diferencial sobre secciones suaves

${\displaystyle {\bar {\parcial}}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1}}$

Desde

${\displaystyle {\bar {\parcial}}^{2}=0}$

Este operador tiene una cohomología asociada . En concreto, defina la cohomología como el espacio cociente.

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$

Si E es un fibrado vectorial holomorfo en una variedad compleja X , entonces se puede definir asimismo una resolución fina del haz de secciones holomorfas de E , utilizando el operador Dolbeault de E . Por lo tanto, se trata de una resolución de la cohomología del haz de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

En particular, asociado a la estructura holomorfa de hay un operador de Dolbeault que toma secciones de a -formas con valores en . Esto satisface la regla característica de Leibniz con respecto al operador de Dolbeault en formas diferenciales y, por lo tanto, a veces se lo conoce como una -conexión en . Por lo tanto, de la misma manera que una conexión en un fibrado vectorial se puede extender a la derivada covariante exterior , el operador de Dolbeault de se puede extender a un operador ${\estilo de visualización E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(E)}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle {\bar {\parcial}}}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización E}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E)}$$que actúa sobre una sección por ${\displaystyle \alpha \otimes s\en \Omega ^{p,q}(E)}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(\alpha \otimes s)=({\bar {\partial }}\alpha )\otimes s+(-1)^{p+q}\alpha \wedge {\bar {\partial }}_{E}s}$$y se extiende linealmente a cualquier sección en . El operador Dolbeault satisface la condición de integrabilidad y, por lo tanto, la cohomología de Dolbeault con coeficientes en se puede definir como se indica arriba: ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(E)}$${\displaystyle {\bar {\parcial}}_{E}^{2}=0}$ ${\estilo de visualización E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(X,(E,{\bar {\partial }}_{E}))={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E))}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q-1}(E)\to \Omega ^{p,q}(E))}}.}$$Los grupos de cohomología de Dolbeault no dependen de la elección del operador de Dolbeault compatible con la estructura holomorfa de , por lo que normalmente se denotan eliminando la dependencia de . ${\displaystyle {\bar {\parcial}}_{E}}$${\estilo de visualización E}$$Estilo de visualización H^{p,q}(X,E)}$${\displaystyle {\bar {\parcial}}_{E}}$

Para establecer el isomorfismo de Dolbeault necesitamos demostrar el lema de Dolbeault–Grothendieck (o lema de Poincaré ). Primero demostramos una versión unidimensional del lema de Poincaré; utilizaremos la siguiente forma generalizada de la representación integral de Cauchy para funciones suaves : ${\displaystyle {\bar {\parcial}}}$${\displaystyle {\bar {\parcial}}}$

Proposición : Sea la bola abierta centrada en de radio abierto y , entonces ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Lema ( -lema de Poincaré en el plano complejo): Sea como antes y una forma suave, entonces ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

satisface en${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

Demostración. Nuestra afirmación es que la definida anteriormente es una función suave bien definida y . Para demostrarlo, elegimos un punto y un entorno abierto , entonces podemos encontrar una función suave cuyo soporte sea compacto y se encuentre en y Luego podemos escribir ${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha =f\,d{\bar {z}}={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle z\in B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle z\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

y definir

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

Puesto que en entonces está claramente bien definido y suave; observamos que ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

que está bien definido y es uniforme, por lo tanto, lo mismo es cierto para . Ahora lo demostramos en . ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

ya que es holomórfico en . ${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

Aplicando la fórmula de Cauchy generalizada encontramos ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

ya que , pero luego en . Como era arbitrario, el lema ahora queda demostrado. ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle z}$

Ahora estamos listos para demostrar el lema de Dolbeault-Grothendieck; la prueba presentada aquí se debe a Grothendieck . ^{[1] [2]} Denotamos con el polidisco abierto centrado en con radio . ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$

Lema (Dolbeault–Grothendieck): Sea donde abierto y tal que , entonces existe que satisface: en${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

Antes de comenzar la prueba, notamos que cualquier forma puede escribirse como ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

para multiíndices , por lo tanto, podemos reducir la prueba al caso . ${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$

Demostración. Sea el índice más pequeño tal que en el haz de -módulos, procedemos por inducción en . Porque tenemos ya que ; a continuación suponemos que si entonces existe tal que en . Luego supongamos y observemos que podemos escribir ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \alpha \equiv 0}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

Como es -cerrado se sigue que son holomorfas en variables y suaves en las restantes en el polidisco . Además podemos aplicar el lema de -Poincaré a las funciones suaves en la esfera abierta , por lo tanto existe una familia de funciones suaves que satisfacen ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \psi ,\mu }$${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$${\displaystyle g_{J}}$

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$También son holomorfos en . Definir ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

Por lo tanto podemos aplicarle la hipótesis de inducción, existe tal que ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

y finaliza el paso de inducción. QED ${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$

El lema anterior se puede generalizar admitiendo polidiscos con para algunos de los componentes del poliradio.${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$

Lema (Dolbeault-Grothendieck ampliado). Si es un polidisco abierto con y , entonces${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

Demostración. Consideremos dos casos: y . ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$

Caso 1. Sea , y cubrimos con polidiscos , entonces por el lema de Dolbeault–Grothendieck podemos encontrar formas de bigrado en abierto tales que ; queremos demostrar que ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

Procedemos por inducción sobre : el caso cuando se cumple por el lema anterior. Sea la afirmación verdadera para y tomemos con ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}}$

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

Entonces encontramos una -forma definida en un entorno abierto de tal que . Sea un entorno abierto de entonces en y podemos aplicar de nuevo el lema de Dolbeault-Grothendieck para encontrar una -forma tal que en . Ahora, sea un conjunto abierto con y una función suave tal que: ${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle (p,q-2)}$${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

Entonces es una forma suave bien definida en la que se satisface ${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

De ahí la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Caso 2. Si en cambio no podemos aplicar el lema de Dolbeault-Grothendieck dos veces; tomamos y como antes, queremos demostrar que ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

Nuevamente, procedemos por inducción sobre : ya que la respuesta está dada por el lema de Dolbeault-Grothendieck. A continuación, suponemos que la afirmación es verdadera para . Tomamos tal que cubre , luego podemos encontrar una forma tal que ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

que también satisface en , es decir, es una forma holomorfa dondequiera que se defina, por lo tanto, por el teorema de Stone-Weierstrass podemos escribirla como ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

¿Dónde están los polinomios y ${\displaystyle P_{I}}$

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

pero luego la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

lo que completa el paso de inducción; por lo tanto, hemos construido una secuencia que converge uniformemente a alguna forma tal que . QED ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$

El teorema de Dolbeault es un análogo complejo ^[3] del teorema de De Rham . Afirma que la cohomología de Dolbeault es isomorfa a la cohomología del haz del haz de formas diferenciales holomorfas. Específicamente,

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

¿Dónde está el haz de formas p holomórficas en M ? ${\displaystyle \Omega ^{p}}$

Una versión del teorema de Dolbeault también es válida para la cohomología de Dolbeault con coeficientes en un fibrado vectorial holomorfo . Es decir, se tiene un isomorfismo ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p}\otimes E).}$$

También se ha establecido una versión para formas logarítmicas . ^[4]

Sea el haz fino de formas del tipo . Entonces el lema de Poincaré dice que la sucesión ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

es exacta. Como cualquier secuencia larga exacta, esta secuencia se divide en secuencias cortas exactas. Las secuencias largas exactas de cohomología correspondientes a estas dan como resultado, una vez que se utiliza, que las cohomologías superiores de un haz fino se desvanecen.

La cohomología de Dolbeault del espacio proyectivo complejo -dimensional es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Aplicamos el siguiente hecho bien conocido de la teoría de Hodge :

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

porque es una variedad compleja de Kähler compacta . Entonces y ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle b_{2k+1}=0}$

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

Además sabemos que es Kähler, y donde es la forma fundamental asociada a la métrica de Fubini-Study (que de hecho es Kähler), por lo tanto y siempre que se obtiene el resultado. ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h^{k,k}=1}$${\displaystyle h^{p,q}=0}$${\displaystyle p\neq q,}$

• Dualidad de Serre
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , que describe el potencial de una forma diferencial -exacta en el contexto de variedades de Kähler compactas .${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 236 : 175–277.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
• Gunning, Robert C. (1990). Introducción a las funciones holomorfas de varias variables, volumen 1. Chapman y Hall/CRC. pág. 198. ISBN 9780534133085.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (2014). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. pág. 832. ISBN 9781118626320.