Forma diferencial compleja

Comenzamos con el caso de las formas de orden 1. Primero descomponemos las coordenadas complejas en sus partes real e imaginaria: z ^j = x ^j + iy ^j para cada j . Sea

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

se observa que cualquier forma diferencial con coeficientes complejos puede escribirse de forma única como una suma

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Sea Ω ^1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo${\displaystyle dz}$'s y Ω ^0,1 sea el espacio de formas que contienen solo${\displaystyle d{\bar {z}}}$Mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , se puede demostrar que los espacios Ω ^1,0 y Ω ^0,1 son estables bajo transformaciones de coordenadas holomorfas. En otras palabras, si se elige un sistema de coordenadas holomorfas diferente w _{i , los elementos de} Ω ^1,0 se transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω ^0,1 . Por lo tanto, los espacios Ω ^0,1 y Ω ^{1,0 determinan} haces vectoriales complejos en la variedad compleja.

El producto exterior de formas diferenciales complejas se define de la misma manera que con formas reales. Sean p y q un par de enteros no negativos ≤ n . El espacio Ω ^p,q de ( p , q )-formas se define tomando combinaciones lineales de los productos exteriores de p elementos de Ω ^1,0 y q elementos de Ω ^0,1 . Simbólicamente, 

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ veces}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ veces}}}}$

donde hay p factores de Ω ^1,0 y q factores de Ω ^0,1 . Al igual que con los dos espacios de 1-formas, estos son estables bajo cambios holomorfos de coordenadas y, por lo tanto, determinan haces vectoriales.

Si E ^k es el espacio de todas las formas diferenciales complejas de grado total k , entonces cada elemento de E ^k puede expresarse de manera única como una combinación lineal de elementos de entre los espacios Ω ^p,q con p + q = k . De manera más concisa, existe una descomposición de suma directa.

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Debido a que esta descomposición en suma directa es estable bajo cambios de coordenadas holomorfas, también determina una descomposición en fibrado vectorial.

En particular, para cada k y cada p y q con p + q = k , existe una proyección canónica de haces vectoriales.

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

La derivada exterior usual define una correspondencia de secciones${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$a través de

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

La derivada exterior no refleja por sí misma la estructura compleja más rígida de la variedad.

Utilizando d y las proyecciones definidas en la subsección anterior, es posible definir los operadores de Dolbeault :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Para describir estos operadores en coordenadas locales, sea

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

donde I y J son multiíndices . Entonces

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Se observa que se cumplen las siguientes propiedades:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Estos operadores y sus propiedades constituyen la base de la cohomología de Dolbeault y de muchos aspectos de la teoría de Hodge .

En un dominio estrellado de una variedad compleja, los operadores de Dolbeault tienen operadores de homotopía duales ^{[ 1 ]} que resultan de la división del operador de homotopía para${\displaystyle d}$. ^{[ 1 ]} Este es un contenido del lema de Poincaré en una variedad compleja.

El lema de Poincaré para${\displaystyle {\bar {\partial }}}$y${\displaystyle \partial }$se puede mejorar aún más a nivel local${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , que muestra que cada${\displaystyle d}$-la forma diferencial compleja exacta es en realidad${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-exacto. En variedades de Kähler compactas , una forma global de la local${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema sostiene, conocido como el${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema . Es una consecuencia de la teoría de Hodge y establece que una forma diferencial compleja que es globalmente${\displaystyle d}$-exacto (en otras palabras, cuya clase en la cohomología de De Rham es cero) es globalmente${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-exacto.

Para cada p , una p -forma holomorfa es una sección holomorfa del fibrado Ω ^{p ,0} . En coordenadas locales, entonces, una p -forma holomorfa se puede escribir de la forma

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

donde el${\displaystyle f_{I}}$son funciones holomorfas. De forma equivalente, y debido a la independencia del conjugado complejo , la forma ( p , 0) α es holomorfa si y solo si 

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

El haz de p -formas holomorfas se suele escribir Ω ^p , aunque esto a veces puede generar confusión, por lo que muchos autores tienden a adoptar una notación alternativa.