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Articulo de referencia

Coloración de dominios

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Un gráfico de coloración de dominio de la función ⁠ ( z 2 − 1)( z − 2 − i ) 2 / z 2 + 2 + 2 i ⁠ . Los puntos más oscuros marcan módulos cercanos a cero, los puntos más brillantes están más lejos del origen. El color codifica el argumento. La función tiene ceros para ±1, (2 + i ) y polos en±−2−2i.{\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}

En el análisis complejo , la coloración de dominios o el diagrama de rueda de colores es una técnica para visualizar funciones complejas asignando un color a cada punto del plano complejo . Al asignar diferentes colores y brillos a los puntos del plano complejo, la coloración de dominios permite representar y comprender fácilmente una función del plano complejo a sí misma, cuyo gráfico normalmente requeriría cuatro dimensiones espaciales. Esto permite comprender la fluidez de las funciones complejas y muestra extensiones geométricas naturales de las funciones reales .

Motivación

La gráfica de una función real se puede dibujar en dos dimensiones porque hay dos variables representadas,incógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}Sin embargo, los números complejos se representan mediante dos variables y, por lo tanto, dos dimensiones; esto significa que representar una función compleja (más precisamente, una función de valor complejo de una variable compleja)F:do→do{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }) requiere la visualización de cuatro dimensiones. Una forma de lograrlo es con una superficie de Riemann , pero otro método es mediante la coloración de dominios.

Historia

El término "coloración de dominio" fue acuñado por Frank Farris , posiblemente alrededor de 1998. [ 1 ] [ 2 ] Hubo muchos usos anteriores del color para visualizar funciones complejas, típicamente mapeando argumento ( fase ) a tono. [ 3 ] Larry Crone usó el método a finales de la década de 1980. [ 4 ] Dan Kucerovsky lo usó en 1990. [ 5 ] La técnica de usar color continuo para mapear puntos del dominio al codominio o plano de imagen fue utilizada en 1999 por George Abdo y Paul Godfrey [ 6 ] y Doug Arnold usó cuadrículas de colores en gráficos que él fecha en 1997. [ 7 ]

Método

Gráfico HL de z , según el ejemplo de función de color simple descrito en el texto (izquierda), y el gráfico de la función compleja z 3  −  1 (derecha) usando la misma función de color, mostrando los tres ceros, así como los números reales negativos como rayos rosas que parten de los ceros.

Representar un mapeo complejo de cuatro dimensiones con solo dos variables no es deseable, ya que métodos como las proyecciones pueden resultar en una pérdida de información. Sin embargo, es posible agregar variables que mantengan el proceso de cuatro dimensiones sin requerir una visualización de cuatro dimensiones. En este caso, las dos variables agregadas son entradas visuales como el color y el brillo porque son naturalmente dos variables fácilmente procesadas y distinguibles por el ojo humano. Esta asignación se llama "función de color". Se utilizan muchas funciones de color diferentes. Una práctica común es representar el argumento complejo ,arg⁡z{\displaystyle \arg z}, (también conocido como "fase" o "ángulo") con un matiz que sigue la rueda de colores y la magnitud por otros medios, como el brillo o la saturación .

Función de color simple

El siguiente ejemplo colorea el origen de negro, el 1 de verde , el -1 de magenta y un punto en el infinito de blanco: {H=arg⁡z+2π/3,S=100%,L=ℓ(|z|).{\displaystyle {\begin{cases}H&=\arg z+2\pi /3,\\S&=100\%,\\L&=\ell (|z|).\end{cases}}} Donde H es el tono , S es la saturación y L es la luminosidad . Hay varias opciones para la función.ℓ:[0,∞)→[0,1){\displaystyle \ell :[0,\infty )\to [0,1)} . ℓ{\displaystyle \ell }debe ser estrictamente monótono y continuo . Otra propiedad deseable esℓ(1/r)=1−ℓ(r){\displaystyle \ell (1/r)=1-\ell (r)}de tal manera que la inversa de una función sea exactamente tan clara como oscura es la función original (y viceversa). Las posibles opciones incluyen:

  • ℓ1(r)=2πarctan⁡(r){\displaystyle \ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)}y
  • ℓ2(r)=rara+1{\displaystyle \ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}}(con algún parámetroa>0{\displaystyle a>0}). Cona=2{\displaystyle a=2}, esto corresponde a la proyección estereográfica sobre la esfera de Riemann .

Una opción muy extendida que no tiene esta propiedad es la funciónℓ3(r)=1−a|r|{\displaystyle \ell _{3}(r)=1-a^{|r|}}(con algún parámetro0<a<1{\displaystyle 0<a<1}) que paraa=1/2{\displaystyle a=1/2}y0≤r≤1{\displaystyle 0\leq r\leq 1}está muy cerca deℓ1{\displaystyle \ell _{1}}.

Este método utiliza el modelo de color HSL (tono, saturación, luminosidad). La saturación siempre se establece al máximo del 100 %. Los colores vivos del arco iris giran de forma continua sobre el círculo unitario complejo, por lo que las sextas raíces de la unidad (empezando por 1) son: verde, cian, azul, magenta, rojo y amarillo.

Dado que el espacio de color HSL no es perceptualmente uniforme, se pueden observar vetas de brillo percibido en amarillo, cian y magenta (aunque sus valores absolutos sean los mismos que los del rojo, verde y azul) y un halo alrededor de L = 1/2 . Los espacios de color más modernos, como el espacio de color Lab o CIECAM02 , corrigen esto, lo que hace que las imágenes sean más precisas y menos saturadas.

Cambio de color discontinuo

Muchos gráficos de color presentan discontinuidades, donde en lugar de que el brillo y el color cambien de manera uniforme, se produce un cambio repentino, incluso cuando la función en sí misma sigue siendo continua. Esto se hace por diversas razones, como mostrar más detalles o resaltar ciertos aspectos de una función, como los conjuntos de nivel .

Crecimiento de magnitud

Una función de color discontinua. En el gráfico, cada discontinuidad ocurre cuando|z|=2norte{\displaystyle |z|=2^{n}}para enteros n .

A diferencia del argumento, que tiene un rango finito, la magnitud de un número complejo puede variar de 0 a infinito . Por lo tanto, en funciones con amplios rangos de magnitud, a veces resulta difícil diferenciar los cambios de magnitud cuando también se muestra un cambio muy grande en la gráfica. Esto se puede solucionar con una función de color discontinua que muestra un patrón de brillo repetitivo para la magnitud según una ecuación dada. Esto permite visualizar fácilmente tanto los cambios pequeños como los grandes que "saltan discontinuamente" a una magnitud mayor. En la gráfica de la derecha, estas discontinuidades aparecen en círculos alrededor del centro y muestran una atenuación de la gráfica que luego puede volver a brillar. Se ha utilizado una función de color similar para la gráfica que aparece al principio del artículo.

Las ecuaciones que determinan las discontinuidades pueden ser lineales, como para cada magnitud entera , o ecuaciones exponenciales, como para cada magnitud.2norte{\displaystyle 2^{n}}donde n es un número entero, o cualquier otra ecuación.

Resaltar propiedades

Se pueden colocar discontinuidades donde las salidas tienen una propiedad determinada para resaltar qué partes del gráfico poseen esa propiedad. Por ejemplo, un gráfico puede, en lugar de mostrar el color cian, pasar de verde a azul. Esto provoca una discontinuidad fácil de detectar y puede resaltar líneas como aquellas donde el argumento es cero. [ 8 ] Las discontinuidades también pueden afectar grandes porciones de un gráfico, como un gráfico donde la rueda de colores lo divide en cuadrantes. De esta manera, es fácil mostrar dónde termina cada cuadrante y sus relaciones con los demás. [ 9 ]

Limitaciones

Las personas con daltonismo pueden tener dificultades para interpretar gráficos elaborados con mapas de color estándar . [ 10 ] [ 11 ] Este problema puede solucionarse parcialmente creando versiones alternativas con mapas de color que se ajusten al espacio de color perceptible para quienes padecen daltonismo. [ 12 ] Por ejemplo, para personas con deuteranopia total , un mapa de color basado en azul/gris/amarillo puede ser más legible que el mapa convencional basado en azul/verde/rojo. [ 12 ]

Referencias

  1. ↑ Frank A. Farris, Visualización de funciones de valor complejo en el plano
  2. ↑ Hans Lundmark (2004). "Visualización de funciones analíticas complejas mediante coloración de dominio" . Archivado del original el 2 de mayo de 2006. Consultado el 25 de mayo de 2006 .En este artículo de 2004, Lundmark hace referencia a que Farris acuñó el término "coloración de dominio".
  3. ↑ David A. Rabenhorst (1990). "Una galería de colores de funciones complejas" . Pixel: The Magazine of Scientific Visualization . 1 (4). Pixel Communications: 42 y siguientes.
  4. ↑ Elias Wegert (2012). Funciones visuales complejas: una introducción con retratos de fase . Springer Basel. pág. 29. ISBN  9783034801799Consultado el 6 de enero de 2016 .
  5. ↑ Kucerovsky, Dan (octubre de 1990). «Un algoritmo para la representación visual de un campo vectorial bidimensional». Actas de la reunión anual de la IEEE Industry Applications Society de 1990. págs. 903–909 . doi : 10.1109/IAS.1990.152292 . ISBN  0-87942-553-9. S2CID 34434375 . 
  6. ↑ George Abdo y Paul Godfrey (1999). "Representación gráfica de funciones de una variable compleja: Tabla de mapeos conformes mediante coloración continua" . Archivado del original el 16 de marzo de 2020. Consultado el 17 de mayo de 2008 .
  7. ↑ Douglas N. Arnold (2008). "Gráficos para análisis complejo" . Recuperado el 17 de mayo de 2008 .
  8. ↑ Mayo de 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Recuperado el 13 de diciembre de 2018.
  9. ↑ Poelke, K.; Polthier, K. (septiembre de 2012). "Coloración de dominio de funciones complejas: una introducción orientada a la implementación". IEEE Computer Graphics and Applications . 32 (5): 90– 97. doi : 10.1109/MCG.2012.100 . PMID 24806991. S2CID 19237225 .  
  10. ↑ "Mapas de color perceptualmente uniformes CET" . peterkovesi.com . Consultado el 22 de diciembre de 2020 .
  11. ↑ Farris, Frank A. (2 de junio de 2015). Creando simetría: Las ingeniosas matemáticas de los patrones de papel tapiz . Princeton University Press. págs. 36–37 . ISBN  978-0-691-16173-0.
  12. 1 2 Kovesi, Peter (2017). "Mapas de color para daltónicos, presentados en IAMG 2017" (PDF) .