Función cardinal

En matemáticas , una función cardinal (o invariante cardinal ) es una función que devuelve números cardinales .

• La función cardinal más utilizada es la función que asigna a un conjunto A su cardinalidad , denotada por | A |.
• Los números Aleph y los números Beth pueden considerarse funciones cardinales definidas sobre números ordinales .
• Las operaciones aritméticas cardinales son ejemplos de funciones que transforman números cardinales (o pares de ellos) en números cardinales.
• Las características cardinales de un ideal (propio) I de subconjuntos de X son:

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}$

La "aditividad" de I es el número más pequeño de conjuntos de I cuya unión ya no está en I. Como cualquier ideal es cerrado bajo uniones finitas, este número siempre es al menos${\displaystyle \aleph _{0}}$; si I es un σ -ideal , entonces${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}$

El "número de cobertura" de I es el número más pequeño de conjuntos de I cuya unión es todo X. Como X mismo no está en I , debemos tener add( I ) ≤ cov( I ).

${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},}$

El "número de uniformidad" de I (a veces también escrito${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$) es el tamaño del conjunto más pequeño que no está en I. Suponiendo que I contiene todos los singletons , add( I ) ≤ non( I ).

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}$

La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆ ). Es fácil ver que debemos tener non( I ) ≤ cof( I ) y cov( I ) ≤ cof( I ).

En el caso de que${\displaystyle I}$es un ideal estrechamente relacionado con la estructura de los reales , como el ideal de conjuntos nulos de Lebesgue o el ideal de conjuntos escasos , estos invariantes cardinales se denominan características cardinales del continuo .

• Para un conjunto reservado${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$el número límite${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$y número dominante${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$se definen como

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• En la teoría PCF la función cardinal${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$se utiliza. ^{[ 1 ]}

Las funciones cardinales se utilizan ampliamente en topología como herramienta para describir diversas propiedades topológicas . ^{[ 2 ] [ 3 ]} A continuación se muestran algunos ejemplos. (Nota: algunos autores, argumentando que "no hay números cardinales finitos en la topología general ", ^{[ 4 ]} prefieren definir las funciones cardinales que se enumeran a continuación de manera que nunca tomen números cardinales finitos como valores; esto requiere modificar algunas de las definiciones que se dan a continuación, por ejemplo, añadiendo "${\displaystyle \;\;+\;\aleph _ {0}}$" al lado derecho de las definiciones, etc."

• Quizás los invariantes cardinales más simples de un espacio topológico${\displaystyle X}$son su cardinalidad y la cardinalidad de su topología, denotadas respectivamente por${\displaystyle |X|}$y${\displaystyle o(X).}$
• El peso${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$es la cardinalidad de la base más pequeña para${\displaystyle X.}$ Cuando${\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _ {0}}$el espacio${\displaystyle X}$Se dice que es segundo contable .
  • El${\displaystyle \pi }$-peso de un espacio${\displaystyle X}$es la cardinalidad del más pequeño${\displaystyle \pi }$-base para${\displaystyle X.}$(A${\displaystyle \pi }$-La base es un conjunto de conjuntos abiertos no vacíos cuyos superconjuntos incluyen todos los conjuntos abiertos.
  • El peso de la red${\displaystyle \operatorname {nw} (X)}$de${\displaystyle X}$es la cardinalidad más pequeña de una red para${\displaystyle X.}$Una red es una familia${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos${\displaystyle x}$y barrios abiertos${\displaystyle U}$que contiene${\displaystyle x,}$existe${\displaystyle B}$en${\displaystyle {\mathcal {N}}}$para qué${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$
• El carácter de un espacio topológico${\displaystyle X}$en un punto${\displaystyle x}$es la cardinalidad de la base local más pequeña para${\displaystyle x.}$ El carácter del espacio${\displaystyle X}$es$${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$ Cuando${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$el espacio${\displaystyle X}$Se dice que es el primer sustantivo contable .
• La densidad${\displaystyle \operatorname {d} (X)}$de un espacio${\displaystyle X}$es la cardinalidad del subconjunto denso más pequeño de${\displaystyle X.}$ Cuando${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$el espacio${\displaystyle X}$Se dice que es separable .
• El número de Lindelöf${\displaystyle \operatorname {L} (X)}$de un espacio${\displaystyle X}$es la cardinalidad infinita más pequeña tal que cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad no mayor que${\displaystyle \operatorname {L} (X).}$Cuando${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$el espacio${\displaystyle X}$Se dice que es un espacio Lindelöf .
• La celularidad o número de Suslin de un espacio${\displaystyle X}$es

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ es una familia de subconjuntos abiertos no vacíos mutuamente disjuntos de }}X\}.}$

• La celularidad hereditaria (a veces llamada propagación ) es el límite superior mínimo de las celularidades de sus subconjuntos:$${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$$o$${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ con la topología del subespacio discreta}}\}}$$donde "discreto" significa que es un espacio topológico discreto .

• La extensión de un espacio${\displaystyle X}$es$${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ es cerrado y discreto}}\}.}$$Entonces${\displaystyle X}$tiene extensión numerable precisamente cuando no tiene ningún subconjunto discreto cerrado no numerable .
• La tensión${\displaystyle t(x,X)}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$en un punto${\displaystyle x\in X}$es el número cardinal más pequeño${\displaystyle \alpha }$de tal manera que, siempre que${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$para algún subconjunto${\displaystyle Y}$de${\displaystyle X,}$existe un subconjunto${\displaystyle Z}$de${\displaystyle Y}$con${\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}$de tal manera que${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}$ Simbólicamente,$${\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}$$ La estrechez de un espacio${\displaystyle X}$es$${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$$ Cuando${\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}$el espacio${\displaystyle X}$Se dice que es contablemente generado o contablemente ajustado .
  • La mayor estrechez de un espacio${\displaystyle X,}$${\displaystyle t^{+}(X)}$es el cardenal regular más pequeño${\displaystyle \alpha }$de tal manera que para cualquier${\displaystyle Y\subseteq X,}$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$hay un subconjunto${\displaystyle Z}$de${\displaystyle Y}$con cardinalidad menor que${\displaystyle \alpha ,}$de tal manera que${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}$

Las funciones cardinales se utilizan a menudo en el estudio de las álgebras booleanas . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Podemos mencionar, por ejemplo, las siguientes funciones:

• Celularidad${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$de un álgebra booleana${\displaystyle \mathbb {B} }$es el supremo de las cardinalidades de las anticadenas en${\displaystyle \mathbb {B} }$.
• Longitud${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}$de un álgebra booleana${\displaystyle \mathbb {B} }$es

${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}$

• Profundidad${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}$de un álgebra booleana${\displaystyle \mathbb {B} }$es

${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}$.

• Incomparabilidad${\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}$de un álgebra booleana${\displaystyle \mathbb {B} }$es

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$.

• Pseudopeso${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$de un álgebra booleana${\displaystyle \mathbb {B} }$es

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

Ejemplos de funciones cardinales en álgebra son:

• El índice de un subgrupo H de G es el número de clases laterales .
• La dimensión de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es la cardinalidad de cualquier base de Hamel de V.
• De forma más general, para un módulo libre M sobre un anillo R definimos rango${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$como la cardinalidad de cualquier base de este módulo .
• Para un subespacio lineal W de un espacio vectorial V definimos la codimensión de W (con respecto a V ).
• Para cualquier estructura algebraica es posible considerar la cardinalidad mínima de los generadores de la estructura.
• Para las extensiones de cuerpos algebraicos , se suelen emplear el grado algebraico y el grado separable (el grado algebraico es igual a la dimensión de la extensión como espacio vectorial sobre el cuerpo más pequeño).
• Para extensiones de cuerpos no algebraicas, también se utiliza el grado de trascendencia .

• Glosario de definiciones de topología general

• Diagrama de Cichoń

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Monografías Springer en Matemáticas (Tercera  edición del milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 .