Clases Donsker

Una clase de funciones se considera una clase de Donsker si satisface el teorema de Donsker , una generalización funcional del teorema del límite central .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sea ​​una colección de funciones de cuadrado integrable en un espacio de probabilidad${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},P)}$El proceso empírico${\displaystyle \mathbb {G} _{n}}$es el proceso estocástico en el conjunto${\displaystyle {\mathcal {F}}}$definido por $${\displaystyle \mathbb {G} _{n}(f)={\sqrt {n}}(\mathbb {P} _{n}-P)(f)}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$es la medida empírica basada en una muestra i.i.d.${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$de${\displaystyle P}$.

La clase de funciones medibles${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se denomina clase de Donsker si el proceso empírico${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$converge en distribución a un elemento medible de Borel ajustado en el espacio${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$.

Por el teorema del límite central, para cada conjunto finito de funciones${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$, el vector aleatorio${\displaystyle (\mathbb {G} _{n}(f_{1}),\mathbb {G} _{n}(f_{2}),\dots ,\mathbb {G} _{n}(f_{k}))}$converge en distribución a un vector normal multivariado como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Por lo tanto, la clase${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es Donsker si y solo si la secuencia${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$es asintóticamente ajustado en${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$^{[ 1 ]}

Las clases de funciones que tienen una integral de entropía de Dudley finita son clases de Donsker. Esto incluye las funciones de distribución empíricas formadas a partir de la clase de funciones definidas por${\displaystyle \mathbb {I} _{(-\infty ,t]}}$así como clases paramétricas sobre espacios de parámetros acotados. De manera más general, cualquier clase VC es también una clase de Donsker. ^{[ 2 ]}

Las clases de funciones formadas al tomar el ínfimo o el supremo de funciones en una clase de Donsker también forman una clase de Donsker. ^{[ 2 ]}

El teorema de Donsker establece que la función de distribución empírica, cuando se normaliza adecuadamente, converge débilmente a un puente browniano: un proceso gaussiano continuo. Esto es significativo, ya que garantiza que resultados análogos al teorema del límite central se cumplen para procesos empíricos, lo que permite la inferencia asintótica para una amplia gama de aplicaciones estadísticas. ^{[ 3 ]}

El concepto de clase de Donsker es influyente en el campo de la estadística asintótica. Saber si una clase de función es una clase de Donsker ayuda a comprender la distribución límite de los procesos empíricos, lo que a su vez facilita la construcción de intervalos de confianza para los estimadores de funciones y la prueba de hipótesis. ^{[ 3 ]}

• Proceso empírico
• Teorema del límite central
• puente browniano
• Teorema de Glivenko-Cantelli
• Teoría de Vapnik-Chervonenkis
• Convergencia débil (probabilidad)