Teorema de la doble burbuja

En la teoría matemática de superficies mínimas , el teorema de la doble burbuja establece que la forma que encierra y separa dos volúmenes dados y posee la mínima superficie posible es una doble burbuja estándar : tres superficies esféricas que se encuentran en ángulos de 120° sobre un círculo común. El teorema de la doble burbuja fue formulado y considerado verdadero en el siglo XIX, y se convirtió en un "tema de investigación importante" en 1989, ^{[ 1 ]} pero no fue demostrado hasta 2002.

La demostración combina varios elementos. La compacidad de las corrientes rectificables (una definición generalizada de superficies) demuestra que existe una solución. Un argumento de simetría prueba que la solución debe ser una superficie de revolución , y puede restringirse aún más a tener un número limitado de segmentos lisos. La demostración de Jean Taylor de las leyes de Plateau describe cómo deben estar formadas y conectadas estas piezas entre sí, y un análisis de caso final muestra que, entre las superficies de revolución conectadas de esta manera, solo la doble burbuja estándar tiene un área localmente mínima.

El teorema de la doble burbuja extiende la desigualdad isoperimétrica , según la cual el recinto de perímetro mínimo de cualquier área es un círculo , y el recinto de superficie mínima de cualquier volumen es una esfera . Resultados análogos sobre el recinto óptimo de dos volúmenes se generalizan a formas ponderadas de energía superficial, a la medida gaussiana de superficies y a espacios euclidianos de cualquier dimensión.

Según la desigualdad isoperimétrica , el recinto de perímetro mínimo de cualquier área es un círculo , y el recinto de área superficial mínima de cualquier volumen es una esfera . La existencia de una figura con área superficial limitada que encierre dos volúmenes es obvia: basta con encerrarlos con dos esferas separadas. Es menos obvio que deba existir alguna figura que encierre dos volúmenes y tenga el área superficial mínima posible: podría darse el caso de que una secuencia de figuras converja a un mínimo (o a cero) sin alcanzarlo. Este problema también plantea cuestiones de definición complejas: ¿qué se entiende por figura, área superficial de una figura y volumen que encierra, cuando tales cosas pueden ser no suaves o incluso fractales ? No obstante, es posible formular el problema de los recintos óptimos rigurosamente utilizando la teoría de corrientes rectificables , y demostrar, mediante la compacidad en el espacio de corrientes rectificables, que cada par de volúmenes tiene un recinto de área mínima. ^{[ 2 ]}

Las leyes de Plateau establecen que cualquier forma suave por partes de área mínima que encierre cualquier volumen o conjunto de volúmenes debe tomar una forma que se ve comúnmente en las burbujas de jabón en las que las superficies de curvatura media constante se encuentran de tres en tres, formando ángulos diedros de 120° (${\displaystyle 2\pi /3}$radianes ). ^{[ 2 ]} En una burbuja doble estándar , tres parches de esferas se encuentran en este ángulo a lo largo de un círculo compartido. Dos de estas superficies esféricas forman el límite exterior de la burbuja doble y una tercera en el interior separa los dos volúmenes entre sí. En las burbujas físicas, los radios de las esferas son inversamente proporcionales a las diferencias de presión entre los volúmenes que separan, según la ecuación de Young-Laplace . ^{[ 3 ]} Esta conexión entre presión y radio se refleja matemáticamente en el hecho de que, para cualquier burbuja doble estándar, los tres radios${\displaystyle r_{1}}$,${\displaystyle r_{2}}$, y${\displaystyle r_{3}}$de las tres superficies esféricas obedecen la ecuación$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},}$$dónde${\displaystyle r_{1}}$es el radio menor de las dos burbujas exteriores. ^{[ 4 ]} En el caso especial en que los dos volúmenes y los dos radios exteriores son iguales, calcular el radio medio usando esta fórmula conduce a una división por cero . En este caso, la superficie media es en cambio un disco plano , que puede interpretarse como un parche de una esfera de radio infinito. El teorema de la doble burbuja establece que, para cualesquiera dos volúmenes, la doble burbuja estándar es la forma de área mínima que los encierra; ningún otro conjunto de superficies encierra la misma cantidad de espacio con un área total menor. ^{[ 1 ]}

En el plano euclidiano , de forma análoga, el perímetro mínimo de un sistema de curvas que encierran dos áreas dadas está formado por tres arcos circulares , con la misma relación entre sus radios, que se encuentran en el mismo ángulo de 120°. Para dos áreas iguales, el arco central degenera en un segmento de línea recta. ^{[ 5 ]} La doble burbuja estándar tridimensional puede verse como una superficie de revolución de esta doble burbuja bidimensional. ^{[ 6 ]} En cualquier dimensión superior, el recinto óptimo para dos volúmenes está formado nuevamente por tres parches de hiperesferas , que se encuentran en el mismo ángulo de 120°. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

La desigualdad isoperimétrica tridimensional , según la cual una esfera tiene la superficie mínima para su volumen, fue formulada por Arquímedes , pero no se demostró rigurosamente hasta el siglo XIX, por Hermann Schwarz . En el siglo XIX, Joseph Plateau estudió la burbuja doble, y la veracidad del teorema de la burbuja doble fue asumida sin demostración por C.V. Boys en la edición de 1912 de su libro sobre burbujas de jabón. ^{[ 8 ] [ 4 ]} Plateau formuló las leyes de Plateau , que describen la forma y las conexiones entre piezas lisas de superficies en burbujas de jabón compuestas; estas fueron demostradas matemáticamente para recintos de volumen mínimo por Jean Taylor en 1976. ^{[ 9 ]}

Para 1989, el problema de la doble burbuja se había convertido en un "tema serio de investigación". ^{[ 1 ]} En 1991, Joel Foisy, estudiante de pregrado en Williams College , fue el líder de un equipo de estudiantes de pregrado que demostró el análogo bidimensional de la conjetura de la doble burbuja. ^{[ 5 ] [ 8 ]} En su tesis de pregrado, Foisy fue el primero en proporcionar una formulación precisa de la conjetura de la doble burbuja tridimensional, pero no pudo demostrarla. ^{[ 10 ]}

Una demostración para el caso restringido de la conjetura de la doble burbuja, para dos volúmenes iguales, fue anunciada por Joel Hass y Roger Schlafly en 1995 y publicada en 2000. ^{[ 11 ] [ 12 ]} La demostración de la conjetura completa por Hutchings , Morgan , Ritoré y Ros fue anunciada en 2000 y publicada en 2002. ^{[ 6 ] [ 10 ] [ 13 ]} Después de trabajos anteriores sobre el caso de cuatro dimensiones, ^{[ 14 ]} la generalización completa a dimensiones superiores fue publicada por Reichardt en 2008, ^{[ 7 ]} y en 2014, Lawlor publicó una demostración alternativa del teorema de la doble burbuja que generaliza tanto a dimensiones superiores como a formas ponderadas de energía superficial. ^{[ 1 ]} También se han estudiado variaciones del problema considerando otras medidas del tamaño de la superficie envolvente, como su medida gaussiana . ^{[ 15 ]}

Un lema de Brian White demuestra que la burbuja doble de área mínima debe ser una superficie de revolución . De lo contrario, se podría utilizar un argumento similar al del teorema del sándwich de jamón para encontrar dos planos ortogonales que bisecan ambos volúmenes, reemplazar las superficies en dos de los cuatro cuadrantes por las reflexiones de las superficies en los otros cuadrantes y, finalmente, suavizar las singularidades en los planos de reflexión, reduciendo así el área total. ^{[ 8 ]} Basándose en este lema, Michael Hutchings pudo restringir las posibles formas de burbujas dobles óptimas no estándar, para que consistieran en capas de tubos toroidales. ^{[ 16 ]}

Además, Hutchings demostró que el número de toroides en una doble burbuja no estándar pero minimizadora podía estar acotado por una función de los dos volúmenes. En particular, para dos volúmenes iguales, la única doble burbuja no estándar posible consiste en una única burbuja central con un único toroide alrededor de su ecuador. Basándose en esta simplificación del problema, Joel Hass y Roger Schlafly pudieron reducir la demostración de este caso de la conjetura de la doble burbuja a un extenso análisis de casos computarizado , que tardó 20 minutos en un ordenador personal de 1995. ^{[ 8 ] [ 12 ]} La demostración final de la conjetura completa de la doble burbuja también utiliza el método de Hutchings para reducir el problema a un análisis de casos finito, pero evita el uso de cálculos computacionales y, en su lugar, funciona demostrando que todas las posibles doble burbujas no estándar son inestables: pueden ser perturbadas por cantidades arbitrariamente pequeñas para producir otra superficie con un área menor. Las perturbaciones necesarias para demostrar este resultado son un conjunto cuidadosamente elegido de rotaciones. Dado que existe una superficie de área mínima, y ​​ninguna de las otras superficies candidatas tiene área mínima, la superficie de área mínima solo puede ser la burbuja doble estándar. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

John M. Sullivan ha conjeturado que, para cualquier dimensión${\displaystyle d}$, el recinto mínimo de hasta${\displaystyle d+1}$volúmenes (no necesariamente iguales) tienen la forma de una proyección estereográfica de un simplex . ^{[ 17 ]} En particular, en este caso, todos los límites entre burbujas serían parches de esferas. El caso especial de esta conjetura para tres burbujas en dos dimensiones ha sido demostrado; en este caso, las tres burbujas están formadas por seis arcos circulares y segmentos de línea recta, que se encuentran en el mismo patrón combinatorio que las aristas de un tetraedro . ^{[ 18 ]} Frank Morgan llamó incluso el caso de tres volúmenes en tres dimensiones "inaccesible", ^{[ 19 ]} pero en 2022 se anunció una demostración del caso de tres volúmenes en todas las dimensiones, y de resultados parciales adicionales en dimensiones superiores. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Los experimentos numéricos han demostrado que para seis o más volúmenes en tres dimensiones, algunos de los límites entre burbujas pueden no ser esféricos. ^{[ 17 ]}

Para un número infinito de áreas iguales en el plano, el conjunto de curvas de longitud mínima que separa estas áreas es el teselado hexagonal , conocido por su uso por las abejas para formar panales , y su optimalidad (la conjetura del panal ) fue demostrada por TC Hales en 2001. ^{[ 22 ]} Para el mismo problema en tres dimensiones, la solución óptima no se conoce; Lord Kelvin conjeturó que estaba dada por una estructura combinatoriamente equivalente al panal cúbico bitruncado , pero esta conjetura fue refutada por el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan , una partición del espacio en celdas de igual volumen de dos formas diferentes utilizando una cantidad promedio menor de área superficial por celda. ^{[ 23 ]}

Los investigadores también han estudiado la dinámica de los procesos físicos mediante los cuales pares de burbujas se fusionan en una doble burbuja. ^{[ 24 ] [ 25 ]} Este tema se relaciona con un tema más general en geometría diferencial del comportamiento dinámico de curvas y superficies bajo diferentes procesos que las modifican continuamente. Por ejemplo, el flujo de acortamiento de curvas es un proceso en el que las curvas en el plano se mueven a una velocidad proporcional a su curvatura . Para dos regiones infinitas separadas por una línea, con una tercera región finita entre ellas, el flujo de acortamiento de curvas en sus límites (reescalado para preservar el área de la región finita) converge hacia una forma límite en forma de doble burbuja degenerada: una vesica piscis a lo largo de la línea entre las dos regiones no delimitadas. ^{[ 26 ]}

• Weisstein, Eric W. , "Doble burbuja" , MathWorld