Complejo doble

En matemáticas , específicamente en álgebra homológica , un complejo doble es una generalización de un complejo de cadena donde en lugar de tener un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificación, los objetos en el bicomplejo tienen una${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$-graduación. La definición más general de un complejo doble, o un bicomplejo, se da con objetos en una categoría aditiva.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Un bicomplejo ^{[ 1 ]} es una secuencia de objetos${\displaystyle C_{p,q}\in {\text{Ob}}({\mathcal {A}})}$con dos diferenciales, el diferencial horizontal

${\displaystyle d^{h}:C_{p,q}\to C_{p+1,q}}$

y el diferencial vertical

${\displaystyle d^{v}:C_{p,q}\to C_{p,q+1}}$

que tienen la relación de compatibilidad

${\displaystyle d_{h}\circ d_{v}=d_{v}\circ d_{h}}$

Por lo tanto, un complejo doble es un diagrama conmutativo de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots &&\\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q+1}&\to &C_{p+1,q+1}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\\cdots &\to &C_{p,q}&\to &C_{p+1,q}&\to &\cdots \\&&\uparrow &&\uparrow &&\\&&\vdots &&\\\end{matrix}}}$

donde las filas y columnas forman complejos en cadena.

Algunos autores ^{[ 2 ]} en cambio requieren que los cuadrados sean anticommutativos. Es decir,

${\displaystyle d_{h}\circ d_{v}+d_{v}\circ d_{h}=0.}$

Esto facilita la definición de Complejos Totales . Al establecer${\displaystyle f_{p,q}=(-1)^{p}d_{p,q}^{v}\colon C_{p,q}\to C_{p,q-1}}$Podemos alternar entre la conmutatividad y la anticonmutatividad. Si se utiliza la definición conmutativa, este signo alterno deberá aparecer en la definición de Complejos Totales.

Hay muchos ejemplos naturales de bicomplejos que aparecen en la naturaleza. En particular, para un grupoide de Lie , hay un bicomplejo asociado a él ^{[ 3 ] págs. 7-8} que puede usarse para construir su complejo de de-Rham .

Otro ejemplo común de bicomplejos se encuentra en la teoría de Hodge , donde en una variedad casi compleja${\displaystyle X}$Hay un bicomplejo de formas diferenciales${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X)}$cuyos componentes son lineales o antilineales. Por ejemplo, si${\displaystyle z_{1},z_{2}}$son las coordenadas complejas de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$y${\displaystyle {\overline {z}}_{1},{\overline {z}}_{2}}$son el conjugado complejo de estas coordenadas, un${\displaystyle (1,1)}$-form es de la forma

${\displaystyle f_{a,b}dz_{a}\wedge d{\overline {z}}_{b}}$

• Complejo de cadena
• Geometría algebraica derivada