Factorial doble

En matemáticas , el factorial doble , o semifactorial , $n ‼$ de un entero positivo $n$ es el producto de todos los enteros positivos hasta $n$ que tienen la misma paridad (impar o par) que $n$ . ^{[ 1 ]} Es decir,

$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$

En otras palabras, esto significa que para $n$ par , el factorial doble ^{[ 2 ]} es $n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$ $mientras que para n$ impar es $n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$ Algunos ejemplos son:

$1!! = 1 = 1$ ,
$2!! = 2 = 2$ ,
$3!! = 3 \times 1 = 3$ ,
$4!! = 4 \times 2 = 8$ ,
$5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15$ ,
$6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48$ ,
$7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105$ .

A menudo, tanto $0!!$ como $(-1)!!$ se consideran productos vacíos que se evalúan a 1. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

La secuencia de factoriales dobles para $n$ par = $0, 2, 4, 6, 8,...$ comienza como

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ...

(secuencia A000165 en el OEIS )

La secuencia de factoriales dobles para $n$ impar = $1, 3, 5, 7, 9,...$ comienza como

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ...

(secuencia A001147 en el OEIS )

El término factorial impar se usa a veces para referirse al doble factorial de un número impar. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Existe otra definición de doble factorial, que puede evaluarse para la mayoría de los números complejos; véase más abajo.

Historia y uso

En un artículo de 1902, el físico Arthur Schuster escribió: ^{[ 7 ]}

La representación simbólica de los resultados de este artículo se facilita enormemente mediante la introducción de un símbolo separado para el producto de factores alternativos, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$ , si $n$ ser extraño, o $n\cdot n-2\cdots 2$ si $n$ ser extraño [sic]. Propongo escribir $n!!$ para tales productos, y si se requiere un nombre para el producto, llamarlo "factorial alternativo" o "factorial doble".

Meserve (1948) ^{[ 8 ]} afirma que el factorial doble se introdujo originalmente para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas que surgen en la derivación del producto de Wallis . Los factoriales dobles también aparecen al expresar el volumen de una hiperbola y el área de superficie de una hiperesfera , y tienen muchas aplicaciones en combinatoria enumerativa . ^{[ 1 ]}^{[ 9 ]} Aparecen en la distribución $t$ de Student (1908), aunque Gosset no utilizó la notación de doble signo de exclamación.

Relación con el factorial

Debido a que el factorial doble solo involucra aproximadamente la mitad de los factores del factorial ordinario , su valor no es sustancialmente mayor que la raíz cuadrada del factorial $n!,$ y es mucho menor que el factorial iterado $(n!)$ !.

$El factorial de un n$ positivo se puede escribir como el producto de dos factoriales dobles: ^{[ 3 ]} $n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$ y por lo tanto $n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$ donde el denominador cancela los factores no deseados en el numerador. La última forma también se aplica cuando $n = 0$ .

Para un entero par no negativo $n = 2k con$ k $\geq 0$ , el factorial doble se puede expresar como $(2k)!!=2^{k}k!\,.$

Para $n impar = 2 k - 1$ con $k \geq 1$ , la combinación de las dos fórmulas anteriores produce $(2k-1)!!={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\,.$ La última forma también se aplica cuando $k$ $= 0$ , y se puede escribir en términos de $k$ -permutaciones de $2k$ o un factorial descendente como $(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.$

Aplicaciones en combinatoria enumerativa

Los factoriales dobles están motivados por el hecho de que aparecen con frecuencia en la combinatoria enumerativa y otros contextos. Por ejemplo, $n ‼$ para valores impares de $n$ cuenta

Emparejamientos perfectos del grafo completo $K n + 1$ para $n$ impar . En un grafo de este tipo, cualquier vértice v tiene $n$ posibles opciones de vértice con el que puede emparejarse, y una vez hecha esta elección, el problema restante es el de seleccionar un emparejamiento perfecto en un grafo completo con dos vértices menos. Por ejemplo, un grafo completo con cuatro vértices a , b , c y d tiene tres emparejamientos perfectos: ab y cd , ac y bd , y ad y bc . ^{[ 1 ]} Los emparejamientos perfectos pueden describirse de otras maneras equivalentes, incluidas las involuciones sin puntos fijos en un conjunto de $n + 1$ elementos ( permutaciones en las que cada ciclo es un par) ^{[ 1 ]} o los diagramas de cuerdas (conjuntos de cuerdas de un conjunto de $n + 1$ puntos espaciados uniformemente en un círculo de tal manera que cada punto es el extremo de exactamente una cuerda, también llamados diagramas de Brauer ). ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Los números de coincidencias en grafos completos, sin restringir que las coincidencias sean perfectas, vienen dados por los números de teléfono , que pueden expresarse como una suma que involucra factoriales dobles. ^{[ 12 ]}
Permutaciones de Stirling , permutaciones del multiconjunto de números $1, 1, 2, 2, ..., k, k$ en las que cada par de números iguales está separado solo por números mayores, donde $k = n + 1 / 2.$ Las dos copias de $k$ $deben ser adyacentes ;$ al eliminarlas de la permutación, queda una permutación en la que el elemento máximo es $k$ $- 1$ , con $n$ posiciones en las que se puede colocar el par adyacente de valores $k$ . A partir de esta construcción recursiva, se deduce por inducción una prueba de que las permutaciones de Stirling se cuentan mediante las permutaciones dobles. ^{[ 1 ]} Alternativamente, en lugar de la restricción de que los valores entre un par pueden ser mayores que él, también se pueden considerar las permutaciones de este multiconjunto en las que las primeras copias de cada par aparecen en orden ascendente; dicha permutación define un emparejamiento en las $2k posiciones$ de la permutación, por lo que nuevamente el número de permutaciones se puede contar mediante las permutaciones dobles. ^{[ 9 ]}
Árboles ordenados por montículo , árboles con $k + 1$ nodos etiquetados $0, 1, 2, ... k$ , de modo que la raíz del árbol tiene la etiqueta 0, cada nodo tiene una etiqueta mayor que su padre, y los hijos de cada nodo tienen un orden fijo. Un recorrido de Euler del árbol (con aristas duplicadas) da como resultado una permutación de Stirling, y toda permutación de Stirling representa un árbol de esta manera. ^{[ 1 ]}^{[ 13 ]}
Árboles binarios sin raíz con $n$ $+$ $5$ $/$ $2$ $hojas etiquetadas$ . Cada uno de estos árboles puede formarse a partir de un árbol con una hoja menos, subdividiendo una de las $n$ aristas del árbol y haciendo que el nuevo vértice sea el padre de una nueva hoja.
Árboles binarios enraizados con $n$ $+$ $3$ $/$ $2$ $hojas etiquetadas$ . Este caso es similar al caso sin raíz, pero el número de aristas que se pueden subdividir es par, y además de subdividir una arista es posible agregar un nodo a un árbol con una hoja menos agregando una nueva raíz cuyos dos hijos son el árbol más pequeño y la nueva hoja. ^[¹^]^[⁹^]

Callan (2009) y Dale & Moon (1993) enumeran varios objetos adicionales con la misma secuencia de conteo , incluyendo "palabras trapezoidales" ( numerales en un sistema de base mixta con bases impares crecientes), caminos de Dyck etiquetados por altura , árboles ordenados etiquetados por altura, "caminos de voladizo" y ciertos vectores que describen el descendiente hoja de menor número de cada nodo en un árbol binario con raíz. Para pruebas biyectivas de que algunos de estos objetos son equinumerosos, véanse Rubey (2008) y Marsh & Martin (2011) . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Los factoriales dobles pares dan el número de elementos de los grupos hiperoctaédricos (permutaciones con signo o simetrías de un hipercubo ).

Asintótica

La aproximación de Stirling para el factorial se puede utilizar para derivar un equivalente asintótico para el factorial doble. En particular, dado que $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ uno tiene como $n$ tiende al infinito que

$n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{si }}n{\text{ es par}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{si }}n{\text{ es impar}}.\end{cases}}$

Extensiones

Argumentos negativos

El factorial ordinario, cuando se extiende a la función gamma , tiene un polo en cada entero negativo, lo que impide que el factorial se defina en estos números. Sin embargo, el factorial doble de números impares se puede extender a cualquier argumento entero negativo impar invirtiendo su relación de recurrencia. $n!!=n\times (n-2)!!$ dar $n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.$ Utilizando esta recurrencia invertida, $(-1)!! = 1$ , $(-3)!! = -1$ , y $(-5)!! = ⁠ 1 / 3 ⁠$ ; los números impares negativos con mayor magnitud tienen factoriales dobles fraccionarios. ^{[ 1 ]} En particular, cuando $n$ es un número impar, esto da $(-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.$

argumentos complejos

Ignorando la definición anterior de $n!!$ para valores pares de $n$ , el factorial doble para enteros impares se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos $z$ al observar que cuando $z$ es un entero impar positivo entonces ^[¹⁶^]^[¹⁷^]

${\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}$ dónde $\Gamma (z)$ es la función gamma .

La expresión final está definida para todos los números complejos excepto los enteros pares negativos, y su recíproco está bien definido para todos los números complejos . Este factorial doble satisface $(z + 2)!! = (z + 2) \cdot z!!$ en todos los lugares donde está definido. Al igual que la función gamma que extiende la función factorial ordinaria, esta función factorial doble es logarítmicamente convexa en el sentido del teorema de Bohr-Mollerup . Asintóticamente, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$

La fórmula generalizada ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ ¡¡No coincide con la fórmula de producto anterior para $z!!$ para valores enteros pares no negativos de z . $En$ cambio, esta fórmula generalizada implica la siguiente alternativa: $(2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,$ con el valor para 0!! en este caso siendo

Utilizando esta fórmula generalizada como definición, el volumen de una hiperesfera $n$ - dimensional de radio $R$ se puede expresar como ^[¹⁸^].

$V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,,$ independientemente de si $n$ es par o impar.

identidades adicionales

Para valores enteros de $n$ , $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$ Utilizando en cambio la extensión del doble factorial de números impares a números complejos, la fórmula es $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.$

Los factoriales dobles también se pueden usar para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicados . ^{[ 8 ]}^{[ 19 ]}

Los factoriales dobles de números impares están relacionados con la función gamma mediante la identidad:

$(2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.$

Algunas identidades adicionales que involucran factoriales dobles de números impares son: ^{[ 1 ]}

${\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}$

Una aproximación para la razón del doble factorial de dos enteros consecutivos es ${\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.$ Esta aproximación se vuelve más precisa a medida que $n$ aumenta, lo que puede verse como un resultado de la integral de Wallis .

Generalizaciones

Definiciones

Del mismo modo que el factorial doble generaliza la noción del factorial simple , la siguiente definición de las funciones factoriales múltiples de valor entero (multifactoriales), o funciones $α$ -factoriales, extiende la noción de la función factorial doble para enteros positivos. $\alpha$ :

$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,.\end{cases}}$

Extensión alternativa del modelo multifactorial

Alternativamente, el multifactorial $z! (α)$ puede extenderse a la mayoría de los números reales y complejos $z$ observando que cuando $z$ es uno más que un múltiplo positivo del entero positivo $α$ entonces

${\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$ dónde $\Gamma (z)$ es la función gamma .

Esta última expresión se define de forma mucho más amplia que la original. Del mismo modo que $z!$ no está definida para enteros negativos, y $z ‼$ no está definida para enteros pares negativos, $z! (α)$ no está definida para múltiplos negativos de $α$ . Sin embargo, está definida y satisface $(z + α)! (α) = (z + α)\cdot z! (α)$ para todos los demás números complejos $z$ . Esta definición es consistente con la definición anterior solo para aquellos enteros $z$ que satisfacen $z$ $\equiv 1 mod$ $α$ . Esta versión es logarítmicamente convexa en el sentido del teorema de Bohr-Mollerup.

Además de extender $z! (α)$ a la mayoría de los números complejos $z$ , esta definición tiene la característica de funcionar para todos los valores reales positivos de $α$ . Además, cuando $α$ $= 1$ , esta definición es matemáticamente equivalente a la función $Π($ $z$ $)$ . Asimismo, cuando $α$ $= 2$ , esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa del factorial doble .

Números de Stirling generalizados que amplían las funciones multifactoriales

Una clase de números de Stirling generalizados de primera especie se define para $α > 0$ mediante la siguiente relación de recurrencia triangular:

$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.$

Estos coeficientes $α$ -factoriales generalizados generan entonces los distintos productos polinómicos simbólicos que definen las funciones factoriales múltiples, o $α$ -factoriales, $(x - 1)! (α)$ , como

${\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}$

Las distintas expansiones polinómicas en las ecuaciones anteriores definen en realidad los productos $α$ -factoriales para múltiples casos distintos de los residuos mínimos $x \equiv n 0 mod α$ para $n 0 \in {0, 1, 2, ..., α - 1}$ .

Los polinomios $α -factoriales generalizados,$ $σ (α) n (x)$ donde $σ (1) n (x) \equiv σ n (x)$ , que generalizan los polinomios de convolución de Stirling del caso factorial simple a los casos multifactoriales, se definen por

$\sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}$

para $0 \leq n \leq x$ . Estos polinomios tienen una función generadora ordinaria de forma cerrada particularmente agradable dada por

$\sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.$

Otras propiedades combinatorias y expansiones de estos triángulos $α$ -factoriales generalizados y secuencias polinómicas se consideran en Schmidt (2010) . ^{[ 20 ]}

Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales

Supongamos que $n \geq 1$ y $α \geq 2$ son enteros. Entonces podemos expandir las siguientes sumas finitas simples que involucran las funciones multifactoriales, o $α -factoriales,$ $(αn - 1)! (α)$ , en términos del símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales generalizados de valor racional como

${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}$

y además, de manera similar tenemos expansiones de suma doble de estas funciones dadas por

${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}$

Las dos primeras sumas anteriores son similares en forma a una identidad combinatoria no redonda conocida para la función factorial doble cuando $α := 2$ dada por Callan (2009) .

$(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.$

Se pueden obtener identidades similares mediante gramáticas libres de contexto. ^{[ 21 ]} Schmidt (2018) proporciona expansiones de suma finita adicionales de congruencias para las funciones ^α $-$ factoriales, $(αn - d)! (α)$ , módulo cualquier entero prescrito $h \geq 2$ para cualquier $0 \leq d < α$ . ^[²² ]

Referencias

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[2] Algunos autores definen el factorial doble de manera diferente para los números pares; véase Factorial doble § argumentos complejos más abajo.

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