Topología de doble origen

En matemáticas, más específicamente en topología general , la topología de doble origen es un ejemplo de una topología dada al plano R ² con un punto extra, digamos 0* , añadido. En este caso, la topología de doble origen da una topología en el conjunto X = R ² ⊔ {0*} , donde ⊔ denota la unión disjunta .

Dado un punto x perteneciente a X , tal que x ≠ 0 y x ≠ 0* , los entornos de x son aquellos dados por la topología métrica estándar en R ² −{0}. ^{[ 1 ]} Definimos una base infinita numerable de entornos alrededor del punto 0 y alrededor del punto adicional 0* . Para el punto 0 , la base, indexada por n , se define como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \ N(0,n)=\{(x,y)\in {\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y>0\}\cup \{0\}.}$

De manera similar, la base de vecindarios de 0* se define como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle N(0^{*},n)=\{(x,y)\in {\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y<0\}\cup \{0^{*}\}.}$

El espacio R² ^⊔ { 0* } , junto con la topología de doble origen , es un ejemplo de espacio de Hausdorff , aunque no es completamente de Hausdorff . Dado que tiene una base de conjuntos abiertos regulares , es un ejemplo de espacio semirregular que no es regular . En términos de compacidad, el espacio R² ^⊔ { 0* } , junto con la topología de doble origen , no es compacto , paracompacto ni localmente compacto ; sin embargo, X es segundo numerable . Finalmente, es un ejemplo de espacio conexo por arcos . ^{[ 2 ]}